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第五章 定积分及其应用
习题课
一、主要内容
二、典型例题
第五章 定积分
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本章的
重点与
难点
本章的
目的与
要求
本章的
复习指
导
三、测 验 题
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第 2 页
问题 1,
曲边梯形的面积
问题 2,
变速直线运动的路程
存在定理 广义积分 定积分
定
积
分
的
性
质
定
积
分
的
计
算
法
牛顿 -莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ???
一、主要内容
第五章 定积分
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退
出
本章
的重
点与
难点
本章
的目
的与
要求
本章
的复
习指
导
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第 3 页
1、问题的提出
实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
第五章 定积分
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实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)( ?tv,求
物体在这段时间内所经过的路程 S.
方法,分割、求和、取极限,
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2、定积分的定义
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意
若干若干个分点 bxxxxxa
nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1???? iii xxx, ),2,1( ??i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x??? ），
定义
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx ??
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怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(l i m
10
?
?
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i
点 i? 怎样
并作和 ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
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可积的两个 充分 条件,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
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4、定积分的性质
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca ??性质 3
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则 0)( ?? dxxfba )( ba ?
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
推论,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba?? )()( ba ?（ 2）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??性质 4
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如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?
性质 7 (定积分中值定理 )
设 M 及 m 分别是函数
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba性质 6
上的最大值及最小值，
积分中值公式
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5、牛顿 — 莱布尼茨公式
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??定理 1
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上
连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是
)( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
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定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
???
.)]([)( baba xFdxxf ??也可写成
牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间
上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
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6、定积分的计算法
dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法
分部积分公式
?? ?? bababa v d uuvud v ][
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７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
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(2)无界函数的广义积分
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(lim 0
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0
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例 1
解
.2s i n120?
?
? dxx求
?
?
?? 20 co ss i n dxxx原式
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222 ??
二、典型例题
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例 2
解
.c o ss i n s i n2
0?
?
? dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
?
?? dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
?
?? dxxx
xJ设
,220 ???? ?
?
dxJI则
?
?
?
??? 2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI ? ?
?
??? 2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22 ??I故得,4??I即
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例 3
解
.12ln0 2? ?? dxe x求
,s i n te x ??令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx ????则
?
?
? ??
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
?
??
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
?
6
?
??
?
?
?
? ??
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln ( ???
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例 4
解
.2s i nln40?
?
x d x求
,2 tx ?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0 ??
??
? t d tx d x
?
?
? 40 2s i nln x d xI ?
?
? 40 )co ss i n2l n ( dxxx
?
?
??? 40 )co slns i nln2( ln dxxx
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
?
?
??? 2
0
s inln2ln4 x d xI22ln
4 ?
??
.2ln4???? I
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例 5,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8?? ??? dxxx
x求
解 dxx?
?
??? 2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx ?? ????
?
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23 ??
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例 6,},
1m i n {2
2
2?
?
dxxx求
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
?
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
?原式
?? ?? 2110 2 122 dxxdxx,2ln232 ??
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第 22 页
例 7,)()1(,)(
1
0
2
0
22 ?? ?? ?? dxxfxdyexf x yy 求设
解 ? ? ???? 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
?? ???? ???? 10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
? ???? ???10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux ?? 2)1(令 ? ?? 0
16 duue
e u ).2(
6
1 ??? e
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第 23 页
例 8,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2 ??
??
?
?
?
?
?
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设
证,tx ???令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft ????? ??左边
,dtdx ??
dxx xfx? ? ???? 0 2co s1 )( s i n)(
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dxxxxfdxxxf ?? ?? ????? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf ?? ?? ???? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf ?? ?? ?????
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例 9,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
???
?
??证明
上连续，且在区间设
证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
??? ??
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
?????? ???
,2)( )()( )( ??? ??? x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
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0)2)( )()( )(()( ????? ? dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( ??? xf tftf xf,0)( ?xf?
.)( 单调增加xF
,0)( ?aF?又,0)()( ??? aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
??? ??即
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例 10,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22 ?? ????
??
?? xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分
解 (1) ??
??
?? ?????? 0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
?? ?????? ?????? bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim ????
??????
.5??
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(2),123 1lim)(lim 2
11
?????
?? xxx
xf
xx
?
.)(1 的瑕点为 xfx ??
? ?? ??? ? 21 20 123lim ?? xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
? ??
??
?
??
? ??
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim ?
? ??
?
??
?
x.
4
3a rcs i n
2 ?
??
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一,选择题：
1, ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
22222
21
l i m
nn
n
n
n
n
n
n
? ( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4
?； （ D ）
2
?
,
2,
?
?
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1l n (
2
?x ； （ B ） )1l n (
2
?t ；
（ C ） )1l n (2
2
?xx ； （ D ） )1l n (2
2
?tt,
测 验 题
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3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
?
?
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ） ?,
4,,定积分 ?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
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5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
?
?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
?
?
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ） ?
?
?
?2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令
ux ??
2
1；
（ D ） ?
?
?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx ?
,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ） ?
?
1
1
2 dxx ； ( B ）
? ?
2
1
3 dxx ；
（ C ） ?
?
1
1
dx ； （ D ） ?
?
1
1
2 s i n x d xx
,
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7, 已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
??? fff,
则
?
?
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
?
?
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ）
)
1
1l n (1
e
??； （ B ）
3ln)1l n (2
2
??? e；
（ C ）
2ln)
1
1l n (1 ???
e; （ D ）
)
1
1l n (1
e
??
.
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9,广义积分
?
??
??
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
?
?
??
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1 ? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
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二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
??
?
?
?
n
x
dx
n
?
.
三、求下列函数的导数：
1, ?
?
?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s i n
2
2
00
??
??
xy
t
dt
t
t
dte, 的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
第五章 定积分
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第 35 页
四、求下列定积分：
1, ?
?
4
1
)1( xx
dx； 2, ?
??
a
xax
dx
0 22；
3, ?
?
3
0
1
a r c s i n dx
x
x； 4, ?
?
??
5
2
2
32 dxxx ；
5, ?
?
?
1
1
1
21
x
dx； 6, ?
??
??
?? 94
2
xx
dx；
7, ?
??
2
1 2
123 xxx
dx； 8, ?
??
?
1
1
1
dx
xx
.
第五章 定积分
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重点与
难点
本章的
目的与
要求
本章的
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第 36 页
五,设 ? ?1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0( ?f
且 1)(0 ??? xf,试证：
? ? ? ??? ?
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0, 1] 上有二阶连续导数，证明：
? ?
??
????
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
第五章 定积分
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重点与
难点
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目的与
要求
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第 37 页
一,1, C ； 2, A ； 3, C ； 4, D ； 5, C ；
6, D ； 7, B ； 8, A ； 9, C ； 1 0, D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
?
?
?； 2,
2
s i n2
2
xe
y?
?,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4
?； 3, 3
3
4
?? ； 4,
3
71；
5, 1 ； 6,
5
?； 7,
4
3
a rc s i n
2
?
?； 8,
?
.
测验题答案
第五章 定积分
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难点
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要求
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本章的目的与要求
1、了解定积分的定义，定积分的几何意义以及定积分
的性质 ;
2、熟练掌握与应用微积分的基本公式 ；
3、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法 ；
4、知道变上限积分函数的概念，会计算变上限积分函
数的导数，知道广义积分的收敛与发散 ；
5,理解微元法的解题思路，并能应用此法来计算数学
上的及物理上的计算；
第五章 定积分
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难点
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要求
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第 39 页
本章的重点与难点
难点,1,定积分 的定义 ；
2,变上限积分函数的导数；
3、利用微元法解决数学及物理上的实际问题。
重点,1,定积分 的定义和几何意义 ；
2,微积分的基本公式 ；
3,微元法。
第五章 定积分
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要求
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第 1 页
第五章 定积分及其应用
习题课
一、主要内容
二、典型例题
第五章 定积分
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三、测 验 题
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第 2 页
问题 1,
曲边梯形的面积
问题 2,
变速直线运动的路程
存在定理 广义积分 定积分
定
积
分
的
性
质
定
积
分
的
计
算
法
牛顿 -莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ???
一、主要内容
第五章 定积分
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本章
的重
点与
难点
本章
的目
的与
要求
本章
的复
习指
导
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1、问题的提出
实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
第五章 定积分
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实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)( ?tv,求
物体在这段时间内所经过的路程 S.
方法,分割、求和、取极限,
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2、定积分的定义
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意
若干若干个分点 bxxxxxa
nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1???? iii xxx, ),2,1( ??i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x??? ），
定义
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx ??
第五章 定积分
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怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(l i m
10
?
?
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i
点 i? 怎样
并作和 ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
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第 7 页
可积的两个 充分 条件,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，定理 1
定理 2 设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
第五章 定积分
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4、定积分的性质
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(性质 1
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )性质 2
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca ??性质 3
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则 0)( ?? dxxfba )( ba ?
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
推论,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba?? )()( ba ?（ 2）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??性质 4
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如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?
性质 7 (定积分中值定理 )
设 M 及 m 分别是函数
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba性质 6
上的最大值及最小值，
积分中值公式
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5、牛顿 — 莱布尼茨公式
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??定理 1
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上
连续，则积分上限的函数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是
)( xf 在 ],[ ba 上的一个原函数,
第五章 定积分
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定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
???
.)]([)( baba xFdxxf ??也可写成
牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间
上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
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6、定积分的计算法
dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法
分部积分公式
?? ?? bababa v d uuvud v ][
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７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
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(2)无界函数的广义积分
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(lim 0
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0
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例 1
解
.2s i n120?
?
? dxx求
?
?
?? 20 co ss i n dxxx原式
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222 ??
二、典型例题
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第 17 页
例 2
解
.c o ss i n s i n2
0?
?
? dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
?
?? dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
?
?? dxxx
xJ设
,220 ???? ?
?
dxJI则
?
?
?
??? 2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI ? ?
?
??? 2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22 ??I故得,4??I即
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例 3
解
.12ln0 2? ?? dxe x求
,s i n te x ??令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx ????则
?
?
? ??
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
?
??
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
?
6
?
??
?
?
?
? ??
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln ( ???
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例 4
解
.2s i nln40?
?
x d x求
,2 tx ?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0 ??
??
? t d tx d x
?
?
? 40 2s i nln x d xI ?
?
? 40 )co ss i n2l n ( dxxx
?
?
??? 40 )co slns i nln2( ln dxxx
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
?
?
??? 2
0
s inln2ln4 x d xI22ln
4 ?
??
.2ln4???? I
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例 5,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8?? ??? dxxx
x求
解 dxx?
?
??? 2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx ?? ????
?
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23 ??
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第 21 页
例 6,},
1m i n {2
2
2?
?
dxxx求
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
?
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
?原式
?? ?? 2110 2 122 dxxdxx,2ln232 ??
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第 22 页
例 7,)()1(,)(
1
0
2
0
22 ?? ?? ?? dxxfxdyexf x yy 求设
解 ? ? ???? 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
?? ???? ???? 10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
? ???? ???10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux ?? 2)1(令 ? ?? 0
16 duue
e u ).2(
6
1 ??? e
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例 8,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2 ??
??
?
?
?
?
?
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设
证,tx ???令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft ????? ??左边
,dtdx ??
dxx xfx? ? ???? 0 2co s1 )( s i n)(
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dxxxxfdxxxf ?? ?? ????? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf ?? ?? ???? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf ?? ?? ?????
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例 9,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
???
?
??证明
上连续，且在区间设
证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
??? ??
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
?????? ???
,2)( )()( )( ??? ??? x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
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第 26 页
0)2)( )()( )(()( ????? ? dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( ??? xf tftf xf,0)( ?xf?
.)( 单调增加xF
,0)( ?aF?又,0)()( ??? aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
??? ??即
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第 27 页
例 10,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22 ?? ????
??
?? xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分
解 (1) ??
??
?? ?????? 0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
?? ?????? ?????? bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim ????
??????
.5??
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第 28 页
(2),123 1lim)(lim 2
11
?????
?? xxx
xf
xx
?
.)(1 的瑕点为 xfx ??
? ?? ??? ? 21 20 123lim ?? xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
? ??
??
?
??
? ??
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim ?
? ??
?
??
?
x.
4
3a rcs i n
2 ?
??
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第 29 页
一,选择题：
1, ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
22222
21
l i m
nn
n
n
n
n
n
n
? ( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4
?； （ D ）
2
?
,
2,
?
?
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1l n (
2
?x ； （ B ） )1l n (
2
?t ；
（ C ） )1l n (2
2
?xx ； （ D ） )1l n (2
2
?tt,
测 验 题
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第 30 页
3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
?
?
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ） ?,
4,,定积分 ?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
第五章 定积分
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第 31 页
5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
?
?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
?
?
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ） ?
?
?
?2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令
ux ??
2
1；
（ D ） ?
?
?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx ?
,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ） ?
?
1
1
2 dxx ； ( B ）
? ?
2
1
3 dxx ；
（ C ） ?
?
1
1
dx ； （ D ） ?
?
1
1
2 s i n x d xx
,
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重点与
难点
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要求
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7, 已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
??? fff,
则
?
?
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
?
?
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ）
)
1
1l n (1
e
??； （ B ）
3ln)1l n (2
2
??? e；
（ C ）
2ln)
1
1l n (1 ???
e; （ D ）
)
1
1l n (1
e
??
.
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9,广义积分
?
??
??
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
?
?
??
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1 ? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
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二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
??
?
?
?
n
x
dx
n
?
.
三、求下列函数的导数：
1, ?
?
?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s i n
2
2
00
??
??
xy
t
dt
t
t
dte, 的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
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四、求下列定积分：
1, ?
?
4
1
)1( xx
dx； 2, ?
??
a
xax
dx
0 22；
3, ?
?
3
0
1
a r c s i n dx
x
x； 4, ?
?
??
5
2
2
32 dxxx ；
5, ?
?
?
1
1
1
21
x
dx； 6, ?
??
??
?? 94
2
xx
dx；
7, ?
??
2
1 2
123 xxx
dx； 8, ?
??
?
1
1
1
dx
xx
.
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五,设 ? ?1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0( ?f
且 1)(0 ??? xf,试证：
? ? ? ??? ?
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0, 1] 上有二阶连续导数，证明：
? ?
??
????
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
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一,1, C ； 2, A ； 3, C ； 4, D ； 5, C ；
6, D ； 7, B ； 8, A ； 9, C ； 1 0, D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
?
?
?； 2,
2
s i n2
2
xe
y?
?,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4
?； 3, 3
3
4
?? ； 4,
3
71；
5, 1 ； 6,
5
?； 7,
4
3
a rc s i n
2
?
?； 8,
?
.
测验题答案
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本章的目的与要求
1、了解定积分的定义，定积分的几何意义以及定积分
的性质 ;
2、熟练掌握与应用微积分的基本公式 ；
3、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法 ；
4、知道变上限积分函数的概念，会计算变上限积分函
数的导数，知道广义积分的收敛与发散 ；
5,理解微元法的解题思路，并能应用此法来计算数学
上的及物理上的计算；
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本章的重点与难点
难点,1,定积分 的定义 ；
2,变上限积分函数的导数；
3、利用微元法解决数学及物理上的实际问题。
重点,1,定积分 的定义和几何意义 ；
2,微积分的基本公式 ；
3,微元法。
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