第六章
空间解析几何与向量代数
第一节
空间直角坐标糸
x横轴
y 纵轴
z 竖轴
?坐标
原点
o
空间直角坐标系
三条坐标轴的正方向
符合 右手法则,
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x 轴以
2
?
角
度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向,
空间直角坐标糸中的三条坐标轴
Ⅶ x
yo
z
xoy 面
yoz 面
zox 面
空间直角坐标系
有三个坐标面和八个卦限
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
卦限 横坐标 x 纵坐标 y 竖坐标 z
1 + + +
2 - + +
3 - - +
4 + - +
5 + + -
6 - + -
7 - - -
8 + - -
空间的点 有序数组 ),,( zyx?? ?? ?? 11
特殊点的表示,
)0,0,0(O
),,( zyxM?
x
y
z
o
)0,0,(xP
)0,,0( yQ
),0,0( zR
)0,,( yxA
),,0( zyB
),,( zoxC
坐标轴上的点,P,Q,R
坐标面上的点,A,B,C
,121 xxPM ???
,12 yyPN ??
,122 zzNM ?? 22221 NMPNPMd ????
? ? ? ? ? ?,21221221221 zzyyxxMM ??????
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为,),,( zyxM )0,0,0(O
OMd ?,222 zyx ???
x
y
z
o
?1M
P NQ
R ?
2M
二、空间两点间的距离
设 ),,( 1111 zyxM, ),,( 2222 zyxM 为空间两点
21 ?? MMd
例 1 求证以 )1,3,4(1M, )2,1,7(2M, )3,2,5(3M
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解 ?221 MM,14)12()31()47( 222 ??????
?232 MM,6)23()12()75( 222 ??????
?213 MM,6)31()23()54( 222 ??????
32 MM?,13 MM? 原结论成立,
例 2 设 P 在 x 轴上，它到 )3,2,0(1P 的距离为
到点 )1,1,0(2 ?P 的距离的两倍，求点 P 的坐标,
解 设 P点坐标为 ),0,0,(x因为 P 在 x 轴上，
?1PP ? ? 222 32 ??x,112 ?? x
?2PP ? ? 222 11 ???x,22 ?? x
?1PP?,2 2PP 112 ?? x 22 2 ?? x
,1??? x 所求点为 ).0,0,1(),0,0,1( ?