第七节 平面及其方程
本节必须掌握的问题,
一。平面方程 三元一次方程 ?
二。 平面方程常用的四种形式：点法式（重要），
一般式（重要）,三点式，截距式。
三。如何表示特殊位置的平面方程？
四。两平面的位置关系：相交（包括垂直），平行
或重合；两平面的夹角公式；空间一点到平面的距
离公式 。
五。在讨论平面的问题时，平面的法线向量是特别
重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的，
通常用最简形式来表示。比如,XOY平面的法线
向量常表示成 {0,0,1}。
0???? DCzByAx
x
y
z
o
0M M 如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
法线向量的 特征, 垂直于平面内的任一向量,
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ??nMM ?
一、平面的点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
平面上的点都满足上列方程，不在平面上
的点都不满足上列方程。
其中法向量 },,,{ CBAn ?? 已知点 ).,,( 000 zyx
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
二、平面的一般方程
由此可以证明：平面与三元一次方程一一对应。
平面一般方程的几种特殊情况,
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A ??
?
?
?
,0
,0
D
D 平面通过 轴； x
平面平行于 轴； x
,0)3( ?? BA 平面平行于 坐标面； xoy
类似地可讨论 情形, 0,0 ???? CBCA
0,0 ?? CB类似地可讨论 情形,
设
是平面上的已知三点，求平面方程。
},,{
},,{
131313
121212
zzyyxxb
zzyyxxa
????
????
?
?
解,
口答 P.423 4,P。 423 8。
三。平面的三点式方程
??? ?? ban
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
???
????
),,(),,,(),,,( 333322221111 zyxMzyxMzyxM
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
???
???
???
?
得所求平面的方程
0?
在平面上任取一点 ),,( zyxP 由 ??
? PMn 1
132
643
412
43)1(220
42)1(321
412
??
??
???
?
????
??????
??? zyxzyx
0)4()1(9)2(14 ??????? zyx
四。平面的截距式方程
将 ),0,0(),0,,0(),0,0,( cba 代入平面的一般方程,
Ax+By+Cz+D=0 得平面的截距式方程,
1???
c
z
b
y
a
x
五。两平面的位置关系
平行,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ??
2
1
D
D?
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ??重合,
2
1
D
D?
相交,
222111,::,CBACBA ?
垂直,
0212121 ??? CCBBAA
六。两平面的夹角（指锐角）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121c o s
CBACBA
CCBBAA
????
????
七。空间一点到平面的距离
222
000
CBA
DCzByAx
d
??
???
?
04573 ???? zyx
0121692 ???? zyx
043 ???? zyx
在讨论平面问题时，平面的法线向量特别重要。