第二节
二重积分的计算法
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续, )(1 x? )(2 x? ],[ ba
一、利用直角坐标系计算二重积分
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直线
与区域边界相交不多于两个交点,
若区域既不是 X型区域又不是 Y型区域（ 如图）,
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须对图形作分割,
具体计算的步骤,
1。按题意画出积分区域的草图；
2。判定积分区域是 X型,Y型或必须分块处理；
3。将二重积分化为二次积分（即两个定积分）；
值得关注的两点,
1。是否需要改变积分次序？（要掌握改变积分次序的方法）
2。是否能用对称性简化计算？ （要掌握用对称性简化计算的
方法）
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ??2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d x d yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee ??
2xy?
xy?
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解
二重积分的计算（ 2）
用极坐标计算二重积分
Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiiiii rrr ??? ?????????
22
2
1)(
2
1
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,co s(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
一、利用极坐标系计算二重积分
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
A
D
o
)(1 ???r )(2 ???r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
Ao
D
)(2 ???r
)(1 ???r
Ao
D
)(???r
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d??
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r
D
o A
)(???r
,2????0
例 1 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形
式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s i n
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)s in,c o s(20 1
c o ss in
1? ?
?
?
?
??
??? r d rrrfd
例 2 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ???? 20,
dxdye
D
yx?? ?? 22 ?? ?? ?? a r r d red
0
2
0
2
).1( 2ae ????
例 3 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 4 计算 d xd yyx
D
)(
22
?? ?,其 D 为由圆
yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 5 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 ???? yxyxD
.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
d x d y
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 6 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2c o s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分的应用
1,设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域,),( ?dyx ?点
如图,
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
,面上的投影在为 xoydAd ??
,co s ?? ??? dAd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
????? dffdA yx 221,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面面积公式为,
d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
一。曲面的面积
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
),( yx
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
二。平面薄片的重心
当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为 nmmm,,,21 ?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴
的 转动惯量 依次为
?
?
?
n
i
iix
ymI
1
2
,?
?
?
n
i
iiy
xmI
1
2
.
三。平面薄片的转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??
.),(2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于 轴的转动惯量 x
薄片对于 轴的转动惯量 y
,0 ???? r
,20 ????
.?????? z
一、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影
在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
?
?
规定,
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
??
?
?
?
?
?
?
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
?
? 柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面,
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
???
?
? d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(???
?
? dzr d r dzrrf ???
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd 如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzrd rddv ??
二、利用球面坐标计算三重积分
?
?
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
，轴上的投影为在点
，面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA ???则
,r ????0,20 ????,0 ????
规定,
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平面,
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d
?
?d ?sinr
如图,
二重积分的计算法
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续, )(1 x? )(2 x? ],[ ba
一、利用直角坐标系计算二重积分
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直线
与区域边界相交不多于两个交点,
若区域既不是 X型区域又不是 Y型区域（ 如图）,
3D
2D
1D
在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须对图形作分割,
具体计算的步骤,
1。按题意画出积分区域的草图；
2。判定积分区域是 X型,Y型或必须分块处理；
3。将二重积分化为二次积分（即两个定积分）；
值得关注的两点,
1。是否需要改变积分次序？（要掌握改变积分次序的方法）
2。是否能用对称性简化计算？ （要掌握用对称性简化计算的
方法）
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ??2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
dxdyyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d x d yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y d x d yex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
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4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee ??
2xy?
xy?
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解
二重积分的计算（ 2）
用极坐标计算二重积分
Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiiiii rrr ??? ?????????
22
2
1)(
2
1
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,co s(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
一、利用极坐标系计算二重积分
.)s in,c o s()( )(2
1??
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??
A
D
o
)(1 ???r )(2 ???r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
区域特征如图
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
Ao
D
)(2 ???r
)(1 ???r
Ao
D
)(???r
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d??
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
).(0 ???? r
D
o A
)(???r
,2????0
例 1 写出积分 ??
D
d x d yyxf ),( 的极坐标二次积分形
式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s i n
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)s in,c o s(20 1
c o ss in
1? ?
?
?
?
??
??? r d rrrfd
例 2 计算 dxdye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ???? 20,
dxdye
D
yx?? ?? 22 ?? ?? ?? a r r d red
0
2
0
2
).1( 2ae ????
例 3 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 4 计算 d xd yyx
D
)(
22
?? ?,其 D 为由圆
yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 5 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 ???? yxyxD
.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
d x d y
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 6 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2c o s2
,得交点 )
6,(
?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分的应用
1,设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域,),( ?dyx ?点
如图,
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
,面上的投影在为 xoydAd ??
,co s ?? ??? dAd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
????? dffdA yx 221,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面面积公式为,
d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
一。曲面的面积
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
),( yx
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
二。平面薄片的重心
当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为 nmmm,,,21 ?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴
的 转动惯量 依次为
?
?
?
n
i
iix
ymI
1
2
,?
?
?
n
i
iiy
xmI
1
2
.
三。平面薄片的转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??
.),(2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于 轴的转动惯量 x
薄片对于 轴的转动惯量 y
,0 ???? r
,20 ????
.?????? z
一、利用柱面坐标计算三重积分
的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影
在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
?
?
规定,
x
y
z
o
),,( zyxM
),( ?rP?
r
?
?
??
?
?
?
?
?
?
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
?
? 柱面坐标与直角坐标的关系为
为常数r
为常数z
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆柱面；
半平面；
平 面,
? ),,( zyxM
),( ?rP?? r
z
x
y
z
o
???
?
? d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(???
?
? dzr d r dzrrf ???
?d
r
x
y
z
o
dzdr
?rd 如图，柱面坐标系中的体积元素为
,dzrd rddv ??
二、利用球面坐标计算三重积分
?
?
?
?
?
?
?
?
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
?
??
??
rz
ry
rx
球面坐标与直角坐标的关系为
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
，轴上的投影为在点
，面上的投影为在设点
AxP
PxoyM
.,,zPMyAPxOA ???则
,r ????0,20 ????,0 ????
规定,
为常数r
为常数?
为常数?
如图，三坐标面分别为
圆锥面；
球 面；
半平面,
???
?
?d x d y d zzyxf ),,(
???
?
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 ???????? dd rdrrrrf
球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ??? ddrdrdv ?
?d
r
x
y
z
o
dr
??dsinr?rd
?d
?
?d ?sinr
如图,
