第四节
格林公式及其应用
一、区域连通性的分类
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区
域,否则称为复连通区域,
复连通区域 单连通区域
D
D
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
二、格林公式
定理 1
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在它的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
那就是说，对于平面单连通区域，边界曲线的逆时针方
向为正向；对于平面复连通区域，边界曲线的外圈，逆
时针方向为正向，边界曲线的里圈，顺时针方向为正向。
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
x o a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
x o
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
??? ?????? 321 LLL Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
? ?? L Q d yP d x
1D
2D3D
L1L
2L3L
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL QdyPdx )(}3
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x? ?? L Q d yP d x
1。分段光滑的闭曲线 L是区域 D的取正向
的边界曲线； 2。函数 P(x,y)及 Q(x,y)在 D
的每一点上都具有一阶连续偏导数。
格林公式不要求区域 D是单连通的。
注意格林公式的条件,
如果 闭曲线 L是区域 D的取反向的边
界曲线，则有,
?? ?????
D
d x d yyPxQ )(
? ???
L
Q d yP d x
格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
注意, 如果 L不是闭曲线或函数
P(x,y),Q(x,y)在区域 D的个别点上一阶偏导数
不连续，格林公式不能直接使用，此时往往
需添加辅助线，然后再作计算。
三、格林公式的简单应用
1,在闭曲线上的对坐标的曲线积分和二重积
分可以相互转化，从而可在两者中选择较简便
的方法进行计算。
2,可用曲线积分计算平面区域的面积
例 3 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
x o
?? ????? lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?
?
??
?
? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2?? ?
?? d
r
rr
2
2222 s inc o s ?? ?? 2
0
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
??? ???????? ?????
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G? ?
思考题
思考题解答
o x
y
A B
CD
E F
G?由两部分组成 L
外 边界,
内 边界,
B C D A B
EG FE
计算曲线积分
,
)(2 22? ?
?
L yx
x d yy d x
其中 L为园周
,2)1( 22 ??? yx
L的方向为逆时针方向
解,作辅助园,
222 ??? yx
其边界曲线取为顺时针方向，记为 L1，则
? ??
? ?
?????
1 1LL LL
Q d yP d xQ d yP d xQ d yP d x
??? ????????
?
?
?
????????2
0
22
)s in(c o s)c o s(s in)( dddd x d y
y
P
x
Q
D
?? ????? )(0
第三节
格林公式及其应用 （ 2）
G
y
x o
? ?1L Q d yP d x
则称曲线积分 ? ?L Q d yP d x 在 G 内 与路径无关,
一、平面曲线积分与路径无关的
定义
? ?2L Q d yP d x
1L
2L
?B
?A
如果在区域 G内有
?
否则与路径有关,
二、平面曲线积分与路径无关的条
件
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导数,
则曲线积分 ? ?
L
Q d yPd x 在 G 内与路径无关
（或沿 G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 2
(1) 开区域 G 是一个单连通域,
(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连
续偏导数,
在此条件下，如果在 G内有
平面的曲线积分与路径无关，有
两个基本前提必须满足,
y
P
x
Q
?
??
?
?
那么,曲线积分与路径无关
三、二元函数的全微分求积
设开区域 G 是一个单连通域,函数
),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连续偏导
数,则 dyyxQdxyxP ),(),( ? 在 G 内为某一
函数 ),( yxu 的全微分的充要条件是等式
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
在 G 内恒成立,
定理 3
要满足什么条件,dyyxQdxyxP ),(),( ?
在 G内才是某一函数的全微 分？
(1) 开区域 G 是一个单连通域,(2 ) 函数 ),(),,( yxQyxP 在 G 内具有一阶连
续偏导数,
在此条件下，如果在 G内有
y
P
x
Q
?
??
?
?
那么,
dyyxQdxyxP ),(),( ?
是某一函数的全微分,
dyyxQdxyxP ),(),( ?
由此可见，它与平面曲线积分与路径无关应满足的是条件完
全一致的 。
du =
即存在函数 u(x,y)，使
? ??
),(
),( 00
),(),(),(
yx
yx
dyyxQdxyxPyxu
可以证明由公式
确定的函数,就满足 du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
),(),,( yxQ
y
uyxP
x
u ?
?
??
?
?
证,
? ?
??
???????
),(
),(
),(
),(00 00
),(),(
yxx
yx
yx
yx
Q d yP d xQ d yP d xyxuyxxu
??
????
?????????
xx
x
yxx
yx
xyxxPdxyxPdyyxQdxyxP )10(),(),(),(),(
),(
),(
??
???? xu
0
lim
??x
),(),(),( yxPx yxuyxxu ?? ???
同理,
),( yxQ
y
u ?
?
?
(只需证明 )
? ??
),(
),( 00
),(),(),(
yx
yx
dyyxQdxyxPyxu
具体计算
x
y
o
),( 00 yxA ),(
0yxB
),( yxC),( 0 yxD
可采用如右图的路径,
??? ????
y
y
x
x
yx
yx
dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxu
0000
),(),(),(),(),( 0
),(
),(
? ???
y
y
x
x
dxyxPdyyxQ
0 0
),(),( 0
),( 00 yx 这里起点 可任意取,
但必须在单连通的开区域 G内。
为计算方便起见，如 G为全平
面，可取 =(0,0);如 G为
右半平面，可取 =（ 1,0）
),( 00 yx
),( 00 yx
如 G为上半平面，可取
),( 00 yx =（ 0,1）
? ?),( ),( 11 00 yxB yxA Q d yP d x则
dyyxQdxyxP yyxx ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??
),( 01 yxC?
),( 11 yxB?
x
y
o
),( 00 yxA?
dxyxPdyyxQ xxyy ),(),( 1
0
1
0 10 ??
??或
如果平面曲线积分与路
径无关的条件被满足，原
来给定的积分路径又比较
复杂，那么，可用右图所
示的路径进行替代
例 1 计算 ? ???
L
dyyxdxxyx )()2( 422, 其中
L 为由点 )0,0(O 到点 )1,1(B 的曲线弧
2
s i n
x
y
?
?,
xxyx
yy
P
2)2(
2
??
?
?
?
?
?
xyx
xx
Q
2)(
42
??
?
?
?
?
?解
x
Q
y
P
?
?
?
?
?
?,
原积分与路径无关
故原式 ? ? ???
1
0
1
0
42 )1( dyydxx
.1523?
例 2 设曲线积分 ? ??
L
dyxydxxy )(
2
与路径无
关,其中 ? 具有连续的导数,且 0)0( ??,
计算 ? ??
)1,1(
)0,0(
2
)( dyxydxxy,
积分与路径无关 xQyP ?????,
解
,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxyxxQ ? ????????
,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??
由 0)0( ??, 知 0?c 2)( xx ???,
故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy
由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(
?? ?? 1010 0 y d ydx,21?
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条
件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立,
? ?L Q d yP d xD 与路径无关内在)1( ? ???
C DCQd yP d x 闭曲线,0)2( Q d yP d xduyxUD ??使内存在在 ),()3(
x
Q
y
PD
?
??
?
?,)4( 内在
等
价
命
题