第三节
幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.定义,
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上的
函数,则 ?? ??????
?
?
)()()()(
21
1
xuxuxuxu
n
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数
2.收敛点与收敛域,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
)()(lim xsxs nn ???
函数项级数的部分和记为
余项记为 )()()( xsxsxr nn ??
那末在收敛域上,0)(lim ??? xrnn
注意 函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上
是常数项级数的收敛问题,
3.和函数,
?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
(定义域是?)
),(xsn
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1 ?
???
?
的收敛域,
解 由达朗贝尔判别法
)(
)(1
xu
xu
n
n?
xn
n
???? 1
1
1 )(1
1 ??
?? nx
,11 1)1( ?? x当
,20 时或即 ??? xx 原级数绝对收敛,
,11 ??? x
,11 1)2( ?? x当,11 ??? x
,02 时即 ??? x原级数发散,
,0时当 ?x ?
?
?
?
1
)1(
n
n
n级数 收敛 ;
,2 时当 ??x ?
?
? 1
1
n n
级数 发散 ;
).,0[)2,( ??????故级数的收敛域为
,1|1|)3( ?? x当,20 ???? xx 或
例 1 求级数 n
n
n
xn
)
1
1
(
)1(
1 ?
???
?
的收敛域,
（续）
二、幂级数及其收敛性
1.定义, 形如
n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,,0
0
0
n
n
n xax ?
?
?
? 时当 其中
na 为 幂级数系数,
2.收敛性,
,1 2
0
??????
?
?
xxx
n
n例如级数;,1 收敛时当 ?x ;,1 发散时当 ?x
);1,1( ?收敛域 );,1[]1,( ??????发散域
定理 1 ( Abel 定理 )如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
证明,0lim 0 ??
??
n
nn xa,)1(
0
0 收敛?
?
?n
n
n xa?
),2,1,0(0 ??? nMxa nn使得,M?
n
n
n
n
n
n x
xxaxa
0
0 ??
n
n
n x
xxa
0
0 ?
n
x
xM
0
?
,1
0
时当 ?xx?,
0 0
收敛等比级数
n
n x
xM??
?
,
0
收敛?
?
?
?
n
n
n xa
（如果数列的极限存在，则该数列有界）
绝对收敛即级数 ?
?
? 0n
n
n xa
,)2( 0 时发散假设当 xx ?
而有一点 1x 适合 01 xx ? 使级数收敛,
则级数当 0xx ? 时应收敛,
这与所设矛盾,
由 (1)结论
xo? ?? ?? ?? ?? ??R? R
几何说明
收敛区域
发散区域 发散区域
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
定义, 正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
,0?R
),,[ RR? ],,( RR? ].,[ RR?
规定
,???R
收敛区间 0?x ;
收敛区间 ),( ????,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
),,( RR?
(1 ) 幂级数只在 0?x 处收敛,
(2) 幂级数对一切 x 都收敛,
幂级数 的收敛区间有以下四种可能的情况,
定理 2 如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数 0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
lim ( 或 ??
??
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
( 3 ) 当 ???? 时,0?R,
( 2 ) 当 0?? 时,???R ;
证明 应用达朗贝尔判别法对级数 ?
?
? 0n
n
n xa
n
n
n
n
n xa
xa 11
l i m
?
?
?? xa
a
n
n
n
1lim ?
??
?,x??
,)0(l i m)1( 1 存在如果 ???
??
??
n
n
n a
a
由比值审敛法,,1|| 时当
??x,||0 收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa
,1|| 时当 ??x,||
0
发散级数 ?
?
?n
n
n xa;1??R收敛半径综上所述，级数的
?
?
1
.
,,
,)(1
1
1
1
1
?
?
????
?
?
?
?
R
xaxaxaxa
nnx
xa
xa
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
于是收敛半径级数发散
也不能趋于零不能趋于零因此一般项
开始从某一可知并由
,0)2( ??如果,0??x
),(0
1
1 ???
?
? n
xa
xa
n
n
n
n有
,||
0
收敛级数 ?
?
?n
n
n xa
.
0
收敛绝对从而级数 ?
?
?n
n
n xa ;???R收敛半径
,)3( ????如果
,0??x,
0
??
?n
n
n xa 必发散级数
)||01(
0
收敛使知将有点否则由定理 ?
?
?
?
n
n
n xax
.0?R收敛半径 定理证毕,
例 2 求下列幂级数的收敛区间,
解 )1(
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1l i m ?? ?? n
n
n 1? 1?? R
,1时当 ?x
,1时当 ??x
,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
,1
1
??
?n n
级数为
该级数收敛
该级数发散;)1()1(
1 n
x n
n
n?
?
?
? ;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x,)
2
1(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
故收敛区间是 ]1,1( ?,
n n
n a???? l i m? nn ??? lim,???
,???? R
级数只在 0?x 处收敛,
n
n
n a
a 1l i m ?
??
??? 11l i m ??
?? nn,0?
,0?? R
收敛区间 ),( ????,;)()2(
1
??
?
?
n
nnx;!)3(
1
??
?n
n
n
x
n
n
n a
a 1l i m ?
??
???
1
2lim
?? ?? n
n
n
2?,21?? R
,2121 收敛即 ??x,)1,0( 收敛?x
.)21(2)1()4(
1
n
n
n
n x
n ???
?
?
,0时当 ?x,
1
1
?
?
?n n
级数为
,1时当 ?x,)1(
1
?
?
?
?
n
n
n级数为
发散
收敛
故收敛区间为 (0,1],
例 3 求幂级数 ?
?
?
?
1
12
2n n
nx
的收敛区间,
解 ?? ??? 3
5
2
3
222
xxx级数为 缺少偶次幂的项
应用达朗贝尔判别法
)(
)(l i m 1
xu
xu
n
n
n
?
?? n
n
n
n
n x
x
2
2l i m
12
1
12
?
?
?
??
?
,21 2x?
级数收敛,,121 2 ?x当,2时即 ?x
,121 2 ?x当,2时即 ?x 级数发散,
,2时当 ?x,21
1
??
?n
级数为
,2时当 ??x,2
1
1
?
?
?
?
n
级数为
级数发散,
级数发散,
原级数的收敛区间为 ).2,2(?
注意：在求 缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收
敛半径时，不能直接用 P。 257的定理 2，应从常数
项正项级数的比值判定法出发求收敛半径
三、幂级数的运算
1.代数运算性质,
(1) 加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
(2) 乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
00ba 10ba 20ba 30ba
01ba 11ba 21ba 31ba
02ba 12ba 22ba 32ba
03ba 13ba 23ba 33ba
?
?
????
?
?
?
柯
西
乘
积
?321 xxx
(3) 除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
(相除后的收敛区间比原来
两级数的收敛区间小得多 )
2.和函数的分析运算性质,
(1 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
,
0
Rxa
n
n
n 的收敛半径为设幂级数 ?
?
?
( 2 ) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
? ??
?
?
? x
n
n
n
x dxxadxxs
0 00
)()(即
? ?
?
?
?
0 0n
x n
n dxxa,1
1
0
?
?
?
? ?? n
n
n x
n
a
(收敛半径不变 )
(3) 幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
?
?
?
???
0
)()(
n
n
n xaxs即
?
?
?
??
0
)(
n
n
n xa,
1
1?
?
?
??
n
n
n xna
(收敛半径不变 )
例 4 求级数 ?
?
?
??
1
1)1(
n
n
n
n
x 的和函数,
解,0)0( ?s显然
两边积分得
)1l n ()(0 xdttsx ????
,1 1 x?? )11( ??? x
?
?
?
???
1
1,)1()(
n
n
n
n
xxs设
?
?
?
?? ???????
1
211,..1)1()(
n
nn xxxxS
,1 时又 ?x,1)1(
1
1 收敛?
?
?
??
n
n
n
).1l n ()1(
1
1 x
n
x
n
n
n ???? ?
?
?
? )11( ??? x
),1l n ()( xxs ???
)1l n ()0()( xsxs ???即
11,
2
1
)1(1
1
)1()(
),()1()1()1()1(
0 1
1
1
1
??
?
?
?
??
?
???
??????
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xdxxS
xSxxnxxn
x
n
n
n
n
n
n
P.318 8.(3)
22 )2(
1
)2(
)1(2)(
xx
xxxs
?
?
?
????
例 5 求 ?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn
的和,
解,)1(
1
n
n
xnn?
?
?
?考虑级数 收敛区间 (-1,1),
?
?
?
??
1
)1()(
n
nxnnxs则 )(
1
1 ??? ?
?
?
?
n
nxx
)1(
2
???? xxx,)1( 2 3xx??
?
?
?
?
1 2
)1(
n
n
nn故
)21(s?,8?
思考题
幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那
么它的收敛域是否也不变？
思考题解答
不一定,
例,)(
1
2?
?
?
?
n
n
n
xxf,)(
1
1
?
?
?
?
??
n
n
n
xxf
,)1()(
2
2
?
?
?
??
???
n
n
n
xnxf 它们的收敛半径都是 1,
但它们的收敛域各是 )1,1(),1,1[],1,1[ ???
判定下列级数的收敛性,
?
?
? ?1
1.1
n
n nn
)](,1
),(,1)(,0
ln
)(ln),1()([
)(,1
11
:
1
1
????
????????
????
?
?
nn
xxf
x
x
xfxxxf
n
nnn
n
n
x
nn
解
原级数发散
是常数项级数
)0,0(.2
1
??
??
?
?
ba
ba
x
n
nn
n 是函数项级数
aR
a
a
b
ba
a
b
ba
ba
ba
n
n
nn
nn
??
?
?
?
?
?
?
??
,
1
)(
)(1
,:
11
解
bR
b
b
b
a
a
b
a
ba
ba
ba
n
n
nn
nn
??
?
?
?
?
?
?
??
,
1
)(
1)(
,
11
同理，当,bx ??,原级数也发散。
当,ax ?? ),(01
)(1
1
)(
)()( ????
??
??
??
?? n
a
bba
axu
n
nn
n
n 原级数发散；
当 ba ? 时,aR ? 或,bR ?
因此，级数的收敛域为,)),m a x (),,m a x (( baba?