第九章
无穷级数
本章用到有关数列极限的一些知识
1。单调有界数列必收敛；
2。如果一数列收敛于 S，那么，其任一子数列均收敛于 S。
3。
??n
li m,
2 SS n ? ??n
li m,
12 SS n ?? 则 ??n
lim SS
n ?
4, 设
??n
l i m
,
11
SS
n
?
??n
l i m
22
SS
n
?
如果,
21
SS ? 则数列 }{ nS 发散；如果,
21
SS ? 则数列 }{ nS 可能收
敛也可能发散。
5, ??nlim ?? ???????? axNnNax nn,,,0
一、无穷级数的概念
1,级数的定义, ?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1
一般项
其中
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?
级数的前 n项的和称为级数的部分和,
,11 us ?,212 uus ??,,3213 ?uuus ??? ??,
21 nn uuus ????
如果级数中的每一项都是常数，称该级数为 常
数项级数
无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。
有限项之和不能称为级数
称为部分和数列，记作 }{
ns,.,,,.,,,,21 nsss
2,级数的收敛与发散,
对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数
收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。
观察如下级数,
??????????? ? 12 2 121211 n
????????????? )11()11()11(
??????????? n321
????????????? 111111
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
级数（ 1），（ 2）有确定的值，分别为 2和 0，级数（ 3），
（ 4）无确定的值。因此，称级数（ 1），（ 2）是收敛的，级
数（ 3），（ 4）是发散的。
当 n 无限增大时,如果级数 ?
?
? 1n
n
u 的部分和
数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
?
??
lim 则称无穷级数
?
?
? 1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数 ?
?
? 1n
n
u 的和, 并
写成
?? ?????
321
uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数 ?
?
? 1n
nu 发散,
从而，常数项级数收敛（或发散） ?
??n
lim
注意到,
??
?
?1n
nu ??n
lim nS
因此,
nS
存在或不存在。
??n
lim?
?
n
i
iu
1
=
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
?? ???????
?
?
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0( ?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 ?????? nn aqaqaqas ?
q
aqa n
?
??
1,11 q
aq
q
a n
????
,1时当 ?q 0lim ??? nn q? q
as
nn ??? ?? 1l i m
,1时当 ?q ???? nn qlim? ??? ?? nn slim
收敛
发散
时如果 1?q
,1时当 ?q
,1时当 ??q
??? nas n 发散
????? aaaa级数变为
不存在nn s??? lim 发散
综上 ??
?
?
???
? 发散时当
收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
等比级数是一个常
用的级数
例 2 判别无穷级数
?? ?
???
??
?
?
? )12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12(
1
??? nnu n? ),12
1
12
1(
2
1
???? nn
)12()12(
1
53
1
31
1
?????????? nns n ?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 ????????? nn?
)12 11(21l i ml i m ????
???? n
s
nnn
),12 11(21 ??? n
,21?
.21,和为级数收敛?
在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时,
“拆项”是常用的方法之一。
三、基本性质
性质 1 如果级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nku 亦收敛,
性质 2 设两收敛级数 ?
?
?
?
1n
n
us,?
?
?
??
1n
n
v,
则级数 ?
?
?
?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为 ??s,
结论, 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论, 收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
注意,
1。由性质 2。可知，两收敛级数的和或差是收敛级数
2。 两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如
? ? ? ?? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1 1 1 11 1
11,)1(1,)1(,1
n n n nn n
发散收敛而发散发散
3。一收敛级数和一发散级数的和或差必发散
? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
1 1 1 1
:,,
n n n n
nnnn vuvu 发散求证发散收敛设
用反证法,
? ? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
??
1 1 1 1
,,,
n n n n
nnnn wvuw 那末收敛如果记
? ?? ?
?
?
?
?
?
???
1 11
,,2
n n
nn
n
n uwv 证毕也收敛与原假设矛盾可知由性质
性质 3 若级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,则 ?
?
?? 1kn
n
u 也收敛
)1( ?k, 且其逆亦真,
证明,设
nkkkn uuu ??? ????? ?21
,kkn ss ?? ?
knknnnn ss ??????? ?? limlimlim ?则,kss ??
这说明在级数前面减去有限项不影响级数
的敛散性，类似地可以证明在级数前面加上有
限项也不影响级数的敛散性,
nn uuus ????,,,21
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛
于原来的和,
证明 ?????? )()( 54321 uuuuu
,21 s??
.limlim ss nnmm ?? ???? ?则
,52 s?? ?,93 s??,,nm s???
注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
????? )11()11(例如
????? 1111
推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级
数也发散,
收敛
发散
四、收敛的必要条件
级数收敛,0lim ?? ?? nn u
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,
1??? nnn ssu则
1l i ml i ml i m ??????? ??? nnnnnn ssuss??,0?
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛的必要条件,
级数收敛的必要条件只能用于判定级数是否发
散？不能用于判定级数是否收敛？
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 ??? nn u
?? ????? n131211例如调和级数
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
于是 ss??,0?
.级数发散?
)(210 ??? n便有,这是不可能的
调和级数 ??
?1
1
n n
也是一个常用的级数，它是发散的。
一、正项级数及其审敛法
1.定义,,中各项均有如果级数 0
1
??
?
?
n
n
n uu
这种级数称为正项级数,
2.正项级数收敛的充要条件,
由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
?? ???? nsss 21
必为单增数列正项级数的部分和数列 }{ ns
即
因此，正项级数收敛有如下的定理
且 ),2,1( ??? nvu
nn
,若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛；
反之，若 ?
?
? 1n
n
u 发散，则 ?
?
? 1n
n
v 发散,
证明
nn uuus ???? ?21且
??
?
??
1
)1(
n
nv设,nn vu ??
,??
即部分和数列有界,
1
收敛?
?
?
?
n
nu
均为正项级数，和设 ??
?
?
?
? 11 n
n
n
n vu3.比较审敛法
nvvv ???? ?2
nn s??则
)()2( ???? ns n设,nn vu ?且
?? 不是有界数列
.
1
发散?
?
?
?
n
nv
推论, 若 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ( 发散 )
且 ))((
nnnn
vkuNnkuv ???,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ).
定理证毕,
比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已
知的级数作为参考级数,
例 1 讨论 P- 级数
?? ??????
pppp n
1
4
1
3
1
2
1
1 的收敛性, )0( ?p
解,1?p设,11 nn p ??,级数发散则 ?P
,1?p设
o
y
x
)1(1 ?? pxy p
1 2 3 4
由图可知 ? ?? nn pp xdxn 11
pppn ns
1
3
1
2
11 ????? ? ??
????
n
n pp x
dx
x
dx
1
2
11 ?
)11,11,1( pp nxnxnxn ?????
??? n pxdx11 )11(111 1????? pnp 111 ??? p
,有界即 ns,级数收敛则 ?P
?
?
?
?
??
发散时当
收敛时当级数
,1
,1
p
pP
重要参考级数, 几何级数（等比级数）,P-级数,
调和级数（ 实际上就是 P=1的 P-级数）,
例 2 证明级数 ?
?
? ?1 )1(
1
n nn
是发散的,
证明,11)1( 1 ??? nnn?
,11
1
??
? ?n n
发散而级数
.)1( 1
1
??
? ?
?
n nn
发散级数
4.比较审敛法的极限形式,
设 ?
?
? 1 n
n u 与 ?
?
? 1 n
n v 都是正项级数,如果
则 (1) 当 时,二级数有相同的敛散性 ;
(2) 当 时，若 收敛,则 收敛 ;
(3) 当 时,若 ?
?
? 1 n
n v 发散,则 ?
?
? 1 n
n u 发散 ;
,l i m lvu
n
n
n
?
??
???? l0
0?l
???l
?
?
?1n
nv ?
?
?1n
nu
其中 ??
?1n
nv
是敛散性已知的用作比较的参考级数
证明 lvu
n
n
n
?
??
l i m)1( 由,0
2 ??
l?对于
,N?,时当 Nn ? 22
ll
v
ull
n
n ????
)(232 Nnvluvl nnn ???即
由比较审敛法的推论,得证,
由)2(
??n
lim
由)3(
??n
lim 有时当总存在任取可知,,,0,NnNMv
u
n
n ????
nn
n
n vMuM
v
u ?? 即,
也收敛收敛时当 ? ?
?
?
?
?
?
1 1
,
n n
nn uv
? ?
?
?
?
?
?
1 1
,
n n
nn uv 也发散发散时当
,,0,1,,0 时当一定存在如取那末 NnNvu
n
n ???? ?
nnnn
n
n vuvu
v
u ???,,1 即必有
nn Mvu ?
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
推论,
例 3 判定下列级数的敛散性,
(1 ) ?
?
? 1
1
s i n
n n; (2 ) ?
?
? ?1 3
1
n
n n;
解 )1(
n
n
n
n
3
1
3
1
l i m ?
??
? n
n
n 1
1
s i n
l i m
??
?
,1? 原级数发散,
)2(
nnn
1s i nl i m
??
?
n
n n
3
1
1
l i m
?
?
??,1?
,31
1
收敛?
?
?n
n? 故原级数收敛,
已 用到 罗必得法则
P.252 1,用比较审敛法判别下列级数的收敛性,
nn 2
1
12
1)1( ?
? 1121 11 1)2( 22 ???? ???? nnn nnn
2
1
)4)(1(
1)3(
nnn
?
??
??n
lim
（ 4） 1
2
2
sin
?
n
n
?
?
??
?
??
1
)0(1 1)5(
n
n aa
收敛,11 1,1 nn aaa ???
,10 ?? a
??n
lim 发散,011
1 ??
? na
,1?a
??
??
?
n
a n
发散,0
2
1
1
1l i m
比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点,
1。只适用于判定正项级数的收敛性；
2。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；
常用的是等比级数和 P级数。
3。技巧性较强。