第四节
函数的幂级数展开式
一、泰勒级数
上节告诉我们,
n
n
n xxaxf )()( 0
0
?? ?
?
?
幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来
说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。
我们的问题是：任意给定的函数 f(x)
2,如果能展开,是什么? na 3.展开式是否唯一?
1.在什么条件下才能展开成幂级数?
证明 即内收敛于在 ),()()( 00
0
xfxuxxa n
n
n ??
?
?
?
?? ??????? nn xxaxxaaxf )()()( 0010
定理 1 如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内具有任意阶导
数,且在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级数,
即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
（定理 1回答了问题 2和问题 3）
?? ?????? ? )(23)1(!)( 01)( xxannanxf nnn
即得令,0xx ?
),2,1,0()(!1 0)( ??? nxfna nn
泰勒系数是唯一的,.)( 的展开式是唯一的xf?
?? ???????? ? 10021 )()(2)( nn xxnaxxaaxf
逐项求导任意次,得
??
泰勒系数
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 00 ?x 的 麦克劳林级数,
n
n
n
xxn xfxf )(! )(?)( 0
0
0
)(
??
?
???
定义
只要函数 f(x)在已知点任意阶可导,f(x)
在该点的泰勒级数总是可以写出的，
那末这个泰勒级数在收敛区间内是否
一定收敛于 f(x)呢?
不一定, 即
问题,
??
?
?
?
?
??
?
0,0
0,)(
2
1
x
xexf x例如
),2,1,0(0)0()( ??? nf n且
?
?
?
??
0
0)(
n
nxxf 的麦氏级数为
.0)(),( ????? xs内和函数该级数在 可见
).()(,0 xfxfs 于的麦氏级数处处不收敛外除 ?
在 x=0点任意可导,
0
lim
?x
?? )0(f ?
?
?
?
0
02
1
x
e x
0
lim
?x ?
2
1
1
xe
x
0
lim
?x 2
1
2 xe
x
0?比如
定理 2 )( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
.
证明 必要性
)()(! )()( 0
0
0
)(
xRxxi xfxf ni
n
i
i
??? ?
?
?
),()()( 1 xsxfxR nn ????
,)( 能展开为泰勒级数设 xf
)()(l i m 1 xfxs nn ?????
?? ?? )(l i m xR nn )]()([lim 1 xsxf nn ??? ?;0?
充分性 ),()()( 1 xRxsxf nn ?? ??
)]()([lim 1 xsxf nn ??? ?? )(lim xR nn ???,0?
),()(lim 1 xfxs nn ????即
).()( xfxf 的泰勒级数收敛于?
二、函数展开成幂级数
1.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
并求其收敛域
的幂级数在点写出求
?
?
?
?
?
0
0
0
0
)(
)(
)(,
!
)(
)1(
n
n
n
n
n
xxa
xxf
n
xf
a
如条件满足,
(2) 判定 是否成立？
??
?
n
xR n 0)(lim
例 1
解,)()( xn exf ? ),2,1,0(.1)0()( ??? nf n
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
???R
111
)1(
)!1()!1()!1(
)()( ????
??????
n
x
nn
n
n xn
ex
n
ex
n
fxR ??
?
?
?
?
? 0
1
!)!1(,,n
nn
x
n
x
n
xex 的一般项是收敛级数而有界确定后当
)(,0 ??? n
?
?
的幂级数展开成将 xe x
...!...!21!
0
2
??????
?
?n
nn
x
n
xx
n
xe 的麦克劳林级数为
例 2,s i n)( 的幂级数展开成将 xxxf ?
解 ),2s i n()()( ??? nxxf n,2s i n)0()( ?? nf n
,0)0()2( ?? nf,)1()0()12( nnf ??? ),2,1,0( ??n
?)()( xf n且 )2s i n (
?? nx 1? ),( ?????x
?? ?????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
例 3,)()1()( 的幂级数展开成将 xRxxf ??? ??
解,
)1,1(??x
??? ????????????????
?? ?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2
注意,,1 的取值有关处收敛性与在 ???x
有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）
0?? 绝对收敛
- 1 <? <0 条件收敛x =1
? 1??
发散
?
>0 绝对收敛x =- 1
?
<0 发散
有时当,21,1 ????
)1,1()1(11 1 32 ?????????? ?? nn xxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!32()1(
642
31
42
1
2
111 32
?
?????
??
??
?
???? ?? nn x
n
nxxxx
]1,1[
!)!2(
!)!12()1(
642
531
42
31
2
11
1
1 32
?
?????
??
???
?
????
?
?? nn x
n
nxxx
x
双阶乘
2.间接法
根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,
四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方
法,求展开式,
例如 )(s i nco s ?? xx
?? ???????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
??? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
? ?? x xdxx 0 21a rc ta n
?? ????????
?
12)1(5
1
3
1 1253
n
xxxx nn
]1,1[??x
? ??? x xdxx 0 1)1l n(
?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
例 4 处展开成泰勒级数在将 14 1)( ???? xxxxf
解
).1()1( )( nfx 并求的幂级数展开成 ?
)1(3
1
4
1
???? xx?
,
)
3
11(3
1
??? x
])3 1()3 1(3 11[31 2 ?? ????????? nxxx
31 ??x
xxx
x
????
??
4
1)1(
4
1
?? ?????????? n
nxxx
x 3 )1(3 )1(3 )1()1(31 3
3
2
2
31 ??x
!
)1()(
n
f n于是
.3 !)1()( nn nf ?故
,31n?
常用函数的幂级数展开式,
11 ??? x
11 ??? x
?????? x（ 3）
?????? x
,
1
1
0
?
?
?
?
? n
nx
x
（ 1）
（ 2） ??
?
??
? 0
2
2,)1(1
1
n
nn x
x
,
!0?
?
?
?
n
n
x
n
xe
（ 4）
)!12()1(s in
12
0 ?
??
??
?
? nxx
n
n
n
11 ??? x
（ 5）
?
?
?
??
0
2
,
)!2(
)1(c o s
n
n
n
n
xx ?????? x
（ 6）
,)1()1l n (
1
1?
?
?
????
n
n
n
n
xx
（ 7）
...! )1),,, (1(...!2 )1(1)1( 2 ??????????? nxn nxxx ???????
1,! )1),,, (1(1
1
?????? ?
?
?
Rxn n n
n
???
本章要掌握的主要内容
二。求幂级数的收敛半径与收敛区间
三。求幂级数的和函数（经常要通过逐项微分和逐项积分
来处理，幂级数通过逐项微分和逐项积分以后收敛半径不
变，但端点的收敛性可能改变），求常数项级数的和函数，
要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡。
四。将函数展开成幂级数 （要写出展开式与收敛区间）
应掌握 展开条件和两种方法。直接法要记住六个基本公式，
实际处理问题时一般用间接法。
一。常数项级数（正项级数，交错级数，任意项级数）的收
敛性的判定