6,比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ A l e m b e r t 判别法 ),
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
证明,为有限数时当 ?,0???对
,N?,时当 Nn ?,1 ?????
n
n
u
u有
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
第二节 审敛法
,1时当 ??
,1时当 ??
,1 ????取,1?????r使
,11 ??? ? NmmN uru
,12 ?? ? NN ruu,1223 ??? ?? NNN urruu,?
,
1
1
1??
?
?
?
m
N
m ur 收敛而级数
,
11
收敛?? ?
??
?
?
? ??
Nn
u
m
mN uu 收敛
,1?? ??取,1??? ??r使
,时当 Nn ?,1 nnn uruu ???,0lim ??? nn u 发散
)(1 Nnuu
n
n ????? ? ????即
比值审敛法的优点, 不必找参考级数,
两点注意,
1,当 1?? 时比值审敛法失效 ;
,1
1
发散级数例 ?
?
?n n
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
)1( ?
??
? ?
但两个级数都有
??n
lim 11 ??
n
n
u
u
即两个级数都是
1??
,232 )1(2 nnn
n
n vu ??
????例
,2 )1(2
11
收敛级数 ??
?
?
?
?
????
n
n
n
n
nu
,))1(2(2 )1(2
1
1
nn
n
n
n a
u
u ?
??
??? ??但,
6
1l i m
2 ??? nn a
,23l i m 12 ??
?? nn
a,l i ml i m 1 不存在n
nn
n
n
auu
??
?
??
??
2,条件是充分的,而非必要,
例 4 判别下列级数的收敛性,
(1 ) ?
?
? 1 !
1
n n; (2 ) ?
?
? 1 10
!
n
n
n; (3 ) ?
?
? ??1 2)12(
1
n nn
.
解 )1(
!
1
)!1(
1
1
n
n
u
u
n
n ????
1
1
?? n ),(0 ??? n
.!1
1
收敛故级数 ?
?
?n n
),( ???? n)2( !
10
10
)!1(
1
1
n
n
u
u n
n
n
n ???
?
??
10
1?? n
.10 !
1
发散故级数 ?
?
?n
n
n
)3( )22()12(
2)12(limlim 1
???
???
??
?
?? nn
nn
u
u
nn
n
n
?,1?
比值审敛法失效,改用比较审敛法
,1
1
2 收敛级数 ?
?
?n n
?
.)12(2 1
1
收敛故级数 ?
?
? ??n nn
4
1
1
2)12(
1
2
?
??
n
nn
??n
lim
7,根值审敛法 ( 柯西判别法 ),设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 ??
??
n
n
n
ulim
)( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ;
,1,
1
??
?n
nn设级数例如
n nn n
nu
1??
n
1? )(0 ??? n 级数收敛,
1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,证略。
（注意：与比值审敛法类似，在 时，可证得
）
1??
??n
lim 0?nu
??
?
?
?1
12)
13(n
n
n
n
解,
??
???
?
?
?
n
u
n
n
u
n
n
n
n
n
n
1
9
1
)
3
1
(lim
,)
13
(
2
12
原级数收敛
应作讨论
凡含有参数的级数，通常应作讨论
小结：对于正项级数收敛性的判定，除了可用一般常
数项级数的方法以外，还有许多只适用正项级数的方法。
它们分两大类,
1。比较判定法（包括比较判定法和极限形式的比较判
定法）。特点是必须用参考级数，技巧性也较强；
2。比值判定法（包括比值和根值判定法）。特点是方
法比较规范便于操作，通常被作为判定正项级数收敛性
的首选方法（级数收敛的必要条件通常被作为判定级数
是否发散的首选方法）。
注意,1。这些方法只适用于正项级数，使用前必须确认
被判定的级数是正项级数；
2。当比值判定法失效时，根值判定法也必定失效，反之
亦反。因此两种方法只选其中之一。
二、交错级数及其审敛法
定义, 正、负项相间的级数称为交错级数,
?n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ??
11
1 )1()1( 或
莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(
1
???
?
nuu
nn;( ⅱ ) 0lim ?
??
n
n
u,
则级数收敛,且其和
1
us ?,其余项
n
r 的绝对值
1?
?
nn
ur,
)0( ?nu其中
证明
nnnn uuuuuus 212223212 )()( ??????? ???又
)()()( 21243212 nnn uuuuuus ??????? ???
1u?
,01 ??? nn uu?
.l i m 12 uss nn ??? ??,0l i m 12 ???? nn u?
,2 是单调增加的数列 ns
,2 是有界的数列 ns
)(limlim 12212 ?????? ??? nnnnn uss,s?
.,1uss ?? 且级数收敛于和
),( 21 ????? ?? nnn uur余项
,21 ???? ?? nnn uur
满足收敛的两个条件,.1??? nn ur
定理证毕,
是收敛的交错级数
由莱布尼兹定理可知
...
4
1
3
1
2
1
1
1
)1(
,
1
1 ???????
?
?
?
n
n
n
例 5 判别级数 ?
?
? ?
?
2 1
)1(
n
n
n
n
的收敛性,
解 2)1(2
)1()
1( ?
????
? xx
x
x
x?
)2(0 ?? x
,1 单调递减故函数 ?x x,1??? nn uu
1limlim ?? ???? n
nu
nnn
又,0? 原级数收敛,
为了证明 nu 单调递减，常用的方法之一是设,),( axxu ? 如果当
ax ? 时，,0)( ?? xu 则
nu 单调递减。
三、绝对收敛与条件收敛
定义, 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数, 定理 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nu 收敛,
证明 ),,2,1()(21 ???? nuuv nnn令
,0?nv显然,nn uv ?且,
1
收敛?
?
?
?
n
nv
),2(
11
?? ?
?
?
?
??
n
nn
n
n uvu?又 ?
?
?
?
1n
nu 收敛,
上述定理的作用,
将讨论任意项级数 讨论正项级数
定义, 若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
转化成
必收敛因此收敛 ??
?
?
?
? 11
,.1
n
n
n
n uu
?? ?
?
?
? 11
,.2
n
n
n
n uu 收敛但发散
也发散发散 ??
?
?
?
? 11
,.3
n
n
n
n uu
此时，可能出现如下三种情况,
称绝对收敛
称条件收敛
可以证明,
?
?
?
?
?
?
1
1
,
n
n
n
n
u
u
也必定发散
发散时判定法判定当用比值判定法或根值
?? ?
?
?
? 11
,
n
n
n
n uu 可能收敛也可能发散发散时如用其它方法判定
需要另行判定。
也必定发散发散时当用必要条件判定 ??
?
?
?
? 11
,
n
n
n
n uu
例 6 判别级数 ?
?
? 1
2
s i n
n n
n
的收敛性,
解,
1s i n
22 nn
n ??,1
1
2 收敛而 ?
?
? n
,s in
1
2?
?
?
?
n n
n 收敛
故由定理知原级数绝对收敛,
P。 318 5。
原级数发散
因此条件收敛数原级数为收敛的交错级发散
原级数绝对收敛收敛
),(,0
1
,0
,,
1
,10;,
1
,1)1(
1
1
??????
??
?
?
?
?
?
?
?
n
n
P
n
p
n
P
p
n
p
n
p
原级数绝对收敛,1)2( 1?? nnu ?
原级数条件收敛
但数原级数为收敛的交错级
?
???
?
?
?
)(,1
1
)
1
1ln (
1
1
ln
,)3(
n
n
n
n
n
n
及1?P
及0?P
??
?
??
1
1
!
2)1( 2
n
n
n
n
解,
)(,
1
2
2
!
)!1(
2 12)1(
2
2
????
?
??
?
??
n
n
n
n
n
n
n
原级数发散
原级数绝对收敛
)(,
1
)
1
1(
1
11
2
)1()!1(
)!2(
2
1
???
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
n
e
n
n
n
n
n
nn
nn
n
n
n（ 4）
四、小结
正 项 级 数 任意项级数
审
敛
法
1,
2,
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
思考题
设正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,能否推得 ?
?
? 1
2
n
n
u 收敛?
反之是否成立?
思考题解答 由正项级数 ??
? 1n
nu 收敛，可以推得 ?
?
? 1
2
n
nu 收敛,
n
n
n u
u 2lim
??
? n
n u??? lim 0? 由比较审敛法知 收敛, ?
?
?1
2
n
nu
反之不成立, 例如,?
?
?1
2
1
n n
收敛,?
?
?1
1
n n
发散,
对于非正项级数，上述结论也不成立。
??
?
??
1
1 1)1(
n
n
n
例如 收敛,??
?1
1
n n
发散。
不一定，本题末确认题中的级数是正项级数
)(,1
1
)1(1
1
)1(
11
)1(
,]
11
)1[(,
1
)1(
11
??????
?
??
??? ??
?
?
?
?
n
n
n
nn
nnn
n
n
n
n
n
n
n
发散但收敛例如
?
?
? 2
10ln
1
n n
??n
l i m
?
n
n
1
)( l n
1
10
??n
l i m
10
)( l n n
n
=
??n
li m
9
)( l n10 n
n
=.,, =
??n
l i m
n
n
ln!10
=
??n
l i m
,
!10
??
n
?
?
? 1
1
n n
发散，所以原级数发散。