第六节
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
（非封闭曲面） （封闭曲面）
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
有向曲面的 侧 是由曲面 法 向量的指向 决定的,
曲面的投影问题,（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积
分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题）
面在 xoyS?,在有向曲面 Σ 上取一小块,
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
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?
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?
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??
时当
时当
时当
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xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
分别是曲面在点（ x,y,z)的法线向量与 X,Y,Z轴正向的夹角
类似地有,
?? yzS )(
?
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?
?
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0c o s,)(
0c o s,0
0c o s,)(
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yz
yz
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)(
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?
??
xz
xz
xzS
???,,其中
二、概念的引入
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
v?
0n?
?
AvnvA
vA
????
?
????
??
0
c o s ?
流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
i
s? (
i
s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
),,(
iii
???,
1,分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 ?
?
????
n
i
iii Snv
1
iiiii
iiii
n
i
iiii
SR
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??
?? ?
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1
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xziiiiyz
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i
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SR
SQSP
))(,,(
))(,,())(,,([
1
??
???? ?
?
???
??????
3.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数 积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
常用的形式是组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
对坐标的曲面积分存在的充分条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
对坐标的曲面积分的物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
RkQjPiv ????
的稳定的密度为 1的不可压缩流体在单位时间内流向
指定侧的流量
表示流速为
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z
????
????
????
???
???
???
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??
??
d x d yzyxRd x d yzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2
???? ?
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(即
计算时把曲面积分化成二重积分,
一。将曲面 投影到 XOY坐标面上； ?
二。将被积函数中的 z用曲面方程 代替。 ),( yxzz ?
如果 是曲面的下侧，则有,?
例：教材 P.203 2,
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
四、计算法
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
（前侧为正，后侧为负）
（右侧为正，左侧为负）
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
? ? ??
2/
0
1
0
22 1s inc o s2
?
??? r d rrrd
15
2?
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?如果设曲面过点 (x,y,z)
的法线向量与 x,y,z轴正向的
夹角分别为 ???,,则有,
d x d yds
d z d xdsd y d zds
?
??
?
??
c o s
,c o s,c o s
所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系为
?
?
????
??
? dszyxpd yd zzyxp ?co s),,(),,(
????
??
? dszyxQd z d xzyxQ ?co s),,(),,(
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
dsRQP
R d zQ d yP d x
L
L
)c o sc o sc o s(?
?
???
??
???
与两类曲线积分之间的联糸,
相比较，两者有什么不同？
两类曲面积分之间的联系,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
复合形式
应如何计算？
逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不
同的坐标面上，比较麻烦。
注意到,
d x d yds
d z d xdsd y d zds
?
??
?
??
c o s
,c o s,c o s
0c o s ??
且当 时，（
因此有,
222222 1
1c o s,
1
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1
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y
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x
zzzz
z
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?? ???
0co s ?? 时变号）
d x d yzd z d xd x d yzd y d z yx ????,
??
?
??? d xd yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,(
?? ???? d x d yzyxRzyxQzzyxPz yx )],,(),,(),,([
这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算
?
同理还有,
d z d xzyxRyzyxQzyxPy zx )],,(),,(),,([ ???? ??
?
??
?
??? d y d zzyxRxzyxQxzyxP zy )],,(),,(),,([
原式
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解：原式 = ?
d xd yzxxz??
?
??? ]))([( 2
.8??
d x d yyxyxxx
xyD
)](21)(41[ 222222 ??????
=
?? ??
xyD
d x d yyxx )](
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1[ 222= r d rrrd )
2
1c o s( 22
0
2
0
22 ?? ?? ??=
例,P.203 3.（ 3）
例,P.203 3.（ 4）
对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，一般不用变量
的奇偶性和区域的对称性来简化计算。
本题涉及的是另一种形式的对称性，各变量在曲面积分
的被积函数和积分区域中处于同等的地位，可以用对称
性简化。
例,记分作业 计算,
??
?
?????? 2222222,,Rzyxd xd yzd z d xyd yd zx在第一挂限部分的上侧。
对坐标的曲面积分
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
（非封闭曲面） （封闭曲面）
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
有向曲面的 侧 是由曲面 法 向量的指向 决定的,
曲面的投影问题,（计算对坐标的曲面积分时要把曲面积
分化成二重积分，涉及曲面在坐标面上的投影问题）
面在 xoyS?,在有向曲面 Σ 上取一小块,
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为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
分别是曲面在点（ x,y,z)的法线向量与 X,Y,Z轴正向的夹角
类似地有,
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二、概念的引入
实例, 流向曲面一侧的流量,
(1) 流速场为常向量 v?,有向平面区域 A,求单位
时间流过 A 的流体的质量 ? ( 假定密度为 1),
A
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AvnvA
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流量
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
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给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
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都在 Σ 上连续,求在单位
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in?
把曲面 Σ 分成 n 小块
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s? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
在 is? 上任取一点
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iii
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1,分割
则该点流速为, iv?
法向量为, in?
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,2,1( niSnv iii ????
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2,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 ?
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常用的形式是组合形式,
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对坐标的曲面积分存在的充分条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
对坐标的曲面积分的物理意义,
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指定侧的流量
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21
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计算时把曲面积分化成二重积分,
一。将曲面 投影到 XOY坐标面上； ?
二。将被积函数中的 z用曲面方程 代替。 ),( yxzz ?
如果 是曲面的下侧，则有,?
例：教材 P.203 2,
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
四、计算法
则有给出由如果,),( zyxx ?? ???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(
则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
（前侧为正，后侧为负）
（右侧为正，左侧为负）
例 1 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
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15
2?
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?如果设曲面过点 (x,y,z)
的法线向量与 x,y,z轴正向的
夹角分别为 ???,,则有,
d x d yds
d z d xdsd y d zds
?
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所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
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( 注意取曲面的两侧均成立 )
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两类曲面积分之间的联系为
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相比较，两者有什么不同？
两类曲面积分之间的联系,
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?
复合形式
应如何计算？
逐个计算当然可以，但要将曲面投影在三个不
同的坐标面上，比较麻烦。
注意到,
d x d yds
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这样可将三个曲面积分简化成一个曲面积分统一计算
?
同理还有,
d z d xzyxRyzyxQzyxPy zx )],,(),,(),,([ ???? ??
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??? d y d zzyxRxzyxQxzyxP zy )],,(),,(),,([
原式
例 2 计算 z d xd ydy dzxz ????
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2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解：原式 = ?
d xd yzxxz??
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2
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例,P.203 3.（ 3）
例,P.203 3.（ 4）
对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分，一般不用变量
的奇偶性和区域的对称性来简化计算。
本题涉及的是另一种形式的对称性，各变量在曲面积分
的被积函数和积分区域中处于同等的地位，可以用对称
性简化。
例,记分作业 计算,
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?????? 2222222,,Rzyxd xd yzd z d xyd yd zx在第一挂限部分的上侧。
