第五节 隐函数的求导公式 ?o ￡? ?- 3￡ ?? μ? μ? ?· ? ?ú 1ˉ éù ?° ?? ?ó μ? ?? é?
1 ￡? 0),( =yxF 2 ￡? 0),,( =zyxF
3 ￡?
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
4 ￡?
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
?? ?? ?ú 1ˉ éù ?è ?ó ±í é? 3è ?ó 1ˉ éù ￡?
?? ?? ?ú 1ˉ éù 1 μ? ?ó 1ˉ éù ía )( xfy = ￡?
?ú 1ˉ éù 2 μ? ?ó 1ˉ éù ía ),( yxfz = ￡?
?ú 1ˉ éù 3 μ? ?ó 1ˉ éù ía
)(
)(
xgz
xfy
=
=
￡?
?ú 1ˉ éù 4 μ? ?ó 1ˉ éù ía
),(
),(
yxgv
yxfu
=
=
?? )( xfy = ′? ?è 0),( =yxF μ? 0))(,( =xfxF ￡? μ? é? à? ±? ì? é±? ó x
?ó μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a 0=+
dx
dy
FF
yx
￡? ?ò ′ê
ò? ?ú 1ˉ éù 1 μ? ?ó μ? ?? é?
y
x
F
F
dx
dy
-=
?? ),( yxfz = ′? ?è 0),,( =zyxF μ? 0)),(,,( =yxfyxF ￡? μ? é? à? ±?
ì? é± ?ó x 1ì y ?ó ?? μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a
0
0
=+
=+
yzy
xzx
zFF
zFF
￡?
?ò ′ê ￡?
z
y
y
z
x
x
F
F
z
F
F
z -=-=,
??
)(
)(
xgz
xfy
=
=
′? ?è
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
￡? μ?
0))(),(,(
0))(),(,(
=
=
xgxfxG
xgxfxF
￡? μ? é? à?
±? ì? é± ?ó x ?ó μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a
0
0
=++
=++
dx
dz
G
dx
dy
GG
dx
dz
F
dx
dy
FF
zyx
zyx
￡? èè
zy
zy
GG
FF
=D ￡? óò
D
=
D
-
-
=
xz
xz
zx
zx
GG
FF
GG
FF
dx
dy
￡?
D
=
D
-
-
=
yx
yx
xy
xy
GG
FF
GG
FF
dx
dz
??
),(
),(
yxgv
yxfu
=
=
′? ?è
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
μ?
0)),(),,(,,(
0)),(),,(,,(
=
=
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
￡?
μ? é? à? ±? ì? é± ?ó x 1ì y ?ó ?? μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é?
?è ?a ￡?
0
0
=++
=++
xvxux
xvxux
vGuGG
vFuFF
￡?
0
0
=++
=++
yyyuy
yvyuy
vGuGG
vFuFF
￡?
?ò ′ê μ? P ?￡ 40 ?a 41 μ? ê? ·? ?? é? ?è 2? ±e ?ó 3? yyxx vuvu,,,
?ù 1 ￡? èè
x
y
yx a r c t a nln
22
=+ ￡? ?ó
dx
dy
?a ￡1 èè
x
y
yxyxF a r c t a nln),(
22
-+= ￡?
22
2
2
22
)(1
)(
yx
yx
x
y
x
y
yx
x
F
x
+
+
=
+
-
-
+
=
22
2
22
)(1
1
yx
xy
x
y
x
yx
y
F
y
+
-
=
+
-
+
= ￡?
dx
dy
=
yx
yx
F
F
y
x
-
+
=-
?ù 2 ￡? èè
y
z
z
x
ln= ￡? ?ó
x
z
?
?
1ì
y
z
?
?
?a ￡1 èè ),,( zyxF = yz
z
x
lnln +- ￡?
z
F
x
1
= ￡?
zz
x
F
y
F
zy
1
,
1
2
--== = )(
2
z
zx +
- ￡?
x
z
?
?
=
z
x
F
F
- =
zx
z
+
￡?
y
z
?
?
=
z
y
F
F
- =
)(
2
zxy
z
+
?ù 3 ￡? èè ),(),,(),,( yxzzzxyyzyxx === ?? é? òè 2? 3?
0),,( =zyxF
ê? ?2 ?¨ μ? ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù μ? 1ˉ éù ￡? ?¤?? ￡1 1-=
?
?
×
?
?
×
?
?
x
z
z
y
y
x
?a ￡1 yx?? =
x
y
F
F- ￡?
z
y
?
?
y
z
F
F-= ￡?
x
z
?
? =
z
x
F
F- ￡? ?ò ′ê 1-=
?
?×
?
?×
?
?
x
z
z
y
y
x
?ù 4 ￡? èè ),( vuF ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù ￡? ?¤ ?? òè 2? 3?
0),( =--F bzcyazcx
ê? ?2 ?¨ μ? 1ˉ éù ),( yxfz = á? 3? a
x
z
?
?
+ c
y
z
b =
?
?
?a 2¨ 1 ￡1 )(,,2121 F+F-=FF=FF=F bacc zyx
x
z
?
? =
z
x
F
F
- ￡?
z
y
y
z
F
F
-=
?
?
￡? ′? ?è ?a ?¤μ? μ? é? 3ó ±? ?ì ?è ?¤?? ?￡
?a 2¨ 2 ￡1 èè bzcyazcxu -=-=,
?? ?? ),( yxfz = ′? ?è 2? 3? 0),( =--F bzcyazcx
μ? 0)),(),,(( =--F yxbfcyyxafcx ￡?
μ? é? à? ±? 2? ±e ?ó yx,?ó μ? ￡? μ?
0)()( =-F+-F
xvxu
bzazc ￡? 0)()( =-F+-F
yvyu
bzcaz
?ò ′ê ￡?
vu
u
x
ba
c
z
F+F
F
= ￡?
vu
v
y
ba
c
z
F+F
F
= ￡? a
x
z
?
?
+ c
y
z
b =
?
?
解法 1称为公式法，左端函数在对 x求偏导数时，要把 y,z看
成常数,在对 y求偏导数时，要把 x,z看成常数,在对 z求偏导数时，
要把 x,y看成常数；
解法 2是复合函数求导法，等式两边的函数对 x或 y求导时，
要把 z看成 x,y的函数。
?ù 5 ￡? èè 10222 =++ =++ zyx zyx ?ó dzdydzdx,
?a ￡1
dz
dx
+
dz
dy
+1 =0 ￡?
2x
dz
dx
+2 y
dz
dy
+2 z =0,
yx 22
11
=D =2 (y - x )
dz
dx
=
D
-
yz 22
11
=
yx
zy
-
-
,
dz
dy
=
yx
xzzx
-
-
=
D
-
22
11
′ò è? ?ù ?è ?? ￡? ?ó òú ?ú 1ˉ éù 0),( =yxF 1ì 0),,( =zyxF à? ? ?′ ?ì ￡?
ò? ?? é? 2¨ ?ó μ? ±? ?? 2? ±? ?￡ μ? ?ó òú
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
1ì
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
?a à? ? ?′ ?ì ￡? òè òú ?? é? ±? ?? ·′ óò ￡? ê? 1? °′ ·′ 1? 1ˉ éù ?ó μ? μ? ê?
á2 3a oˉ 3è ?ú óa ?o ′í ?? ?ó 2? 3? 3é ￡? óù ò? ?ú ?3 ?? à? é? ?ó ?a ?a 2? ±?
?o ?? ?￡
?ù 6 ￡? èè
),(
),(
2 yvxugv
yvuxfu
-=
+=
￡? ?? ?? gf,?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
?ó
x
u
?
? ￡?
x
v
?
?
?a ￡1
x
u
?
?
=
21
)( f
x
v
f
x
u
xu
?
?
+
?
?
+ ￡?
121
)1( uf
x
v
f
x
u
xf -=
?
?
+
?
?
-
x
v
?
?
=
21
2)1( g
x
v
vyg
x
u
?
?
+-
?
?
￡?
121
)12( g
x
v
vyg
x
u
g =
?
?
-+
?
?
12
1
21
21
-￠￠
￠-￠
=D
gvyg
ffx
=
1221
)12)(1( gfgvyfx ￠￠--￠-￠
x
u
?
?
=
D
￠￠--￠￠-
1221
)12( gfgvyfu
￡?
x
v
?
?
=
D
-￠+￠￠ )1(
111
fufxg
?ù 7 ￡? èè ),( txfy = ￡? ?÷ t é? òè 2? 3? 0),,( =tyxF
ê? ?2 ?¨ μ? yx,μ? 1ˉ éù ￡? ?? ?? Ff,?? ?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
éó ?¤?? ￡1
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
?ù 7 ￡? èè ),( txfy = ￡? ?÷ t é? òè 2? 3? 0),,( =tyxF
ê? ?2 ?¨ μ? yx,μ? 1ˉ éù ￡? ?? ?? Ff,?? ?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
éó ?¤?? ￡1
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
?¤￡1 òè ),( txfy = ?è μ?
dx
dy
=
xtx
tff + ￡? òè 0),,( =tyxF ?è μ?
0=++
xtyx
tF
dx
dy
FF ￡? óò
x
t =
t
yx
F
dx
dy
FF +
-
dx
dy
= (
tx
ff +
t
yx
F
dx
dy
FF +
- ) =
t
ytxttx
F
dx
dy
FfFfFf --
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
二, 隐函数满足什么条件才存在显函数？
（ 三个隐函数存在定理 ）
1 ￡? 0),( =yxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 1 ￡? ￡?
èè ),( yxF óú μ? ),(
00
yxP μ? ?3 ?o àú òò ?ú ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
?? 0),(
00
=yxF ￡? 0),(
00
1yxF
y
￡?
óò 2? 3? 0),( =yxF óú μ? ),(
00
yxP μ? ?3 ?o àú òò ?ú
1? ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o ·? μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù )( xfy = ￡?
ê÷ á? 3? ?? ?ú )(
00
xfy =
2 ￡? 0),,( =zyxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 2 ￡? ￡? ?? P ?￡ 38 ?a 39
3 ￡? 0),,,(,0),,,( == vuyxGvuyxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 3 ￡? ￡?
?? P ?￡ 40
?ù 1 ￡? Dé ?¤2? 3? 122 =+ yx óú μ? )1,0( μ? ?3 àú òò ?ú ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o
·? μ￥ ?μ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù ￡? ê÷ á? 3? ?? ?ú 1)0( =y
?¤￡1 èè
22
),( yxyxF += 1- ￡?
óò yFxF
yx
2,2 == ￡? 0)1,0(,0)1,0( 1=
y
FF,
òè ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 1 ?è ?a ￡? 2? 3? 1
22
=+ yx óú μ? )1,0( μ? ?3 àú òò
?ú ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o ·? μ￥ ?μ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù )( xfy = ?? á?
3? ?? ?ú 1)0( =y ?￡ éá éμ è? ￡? ·? 1ˉ éù ía
2
1 xy -=
?ù 2 ￡? èè 1ˉ éù ),(),,( vuyyvuxx == óú μ? ),( vu μ? ?3 ?o àú òò ?ú à? ?÷
?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù
vuvu
yyxx,,,￡? ò? 0
),(
),(
1
?
?
vu
yx
)
),(
),(
(
vv
uu
yx
yx
vu
yx
=
?
?
￡¨ 1 ￡? ?¤??2 ? 3? 3é
),(
),(
vuyy
vuxx
=
=
óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú ?ü í¨? o ?2
?¨ ?o ·? μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù μ? 2′ 1ˉ éù
),(),,( yxvvyxuu ==
￡¨ 2 ￡? ?ó 2′ 1ˉ éù ),(),,( yxvvyxuu == ?ó yx,μ? ?? μ? éù
?a ￡1 ￡¨ 1 ￡? èè
0),(),,,(
0),(),,,(
=-o
=-o
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
￡?
óò ),,,(),,,,( vuyxGvuyxF óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú
?? ò? ?ó ·? ·? ±? à? μ? à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
ò? J= 0
),(
),(
),(
),(
1
?
?
=
--
--
==
?
?
vu
yx
yx
yx
GF
GF
vu
GF
vv
uu
vv
uu
?ò ′ê ￡? òè ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 3 ?è ?a ￡? 2? 3? 3é
0),(),,,(
0),(),,,(
=-o
=-o
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú 1? ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o 3é μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò?
à? ?÷ ?? μ? éù μ? 2′ 1ˉ éù ),(),,( yxvvyxuu == ?￡
￡¨ 2 ￡? ?? ),(),,( yxvvyxuu == ′? ?è
),(
),(
vuyy
vuxx
=
=
μ?
)],(),,([
)],(),,([
yxvyxuyy
yxvyxuxx
o
o
￡? à? ±? 2? ±e ?ó x ?ó ?? μ? éù ￡? μ?
x
v
v
y
x
u
u
y
x
v
v
x
x
u
u
x
?
?
×
?
?
+
?
?
×
?
?
=
?
?
×
?
?
+
?
?
×
?
?
=
0
1
￡? ?a ?? ￡? μ?
u
y
Jx
v
v
y
Jx
u
?
?
-=
?
?
?
?
=
?
? 1
,
1
ì? ?í ?è μ?
u
x
Jy
v
v
x
Jy
u
?
?
=
?
?
?
?
-=
?
? 1
,
1
1 ￡? 0),( =yxF 2 ￡? 0),,( =zyxF
3 ￡?
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
4 ￡?
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
?? ?? ?ú 1ˉ éù ?è ?ó ±í é? 3è ?ó 1ˉ éù ￡?
?? ?? ?ú 1ˉ éù 1 μ? ?ó 1ˉ éù ía )( xfy = ￡?
?ú 1ˉ éù 2 μ? ?ó 1ˉ éù ía ),( yxfz = ￡?
?ú 1ˉ éù 3 μ? ?ó 1ˉ éù ía
)(
)(
xgz
xfy
=
=
￡?
?ú 1ˉ éù 4 μ? ?ó 1ˉ éù ía
),(
),(
yxgv
yxfu
=
=
?? )( xfy = ′? ?è 0),( =yxF μ? 0))(,( =xfxF ￡? μ? é? à? ±? ì? é±? ó x
?ó μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a 0=+
dx
dy
FF
yx
￡? ?ò ′ê
ò? ?ú 1ˉ éù 1 μ? ?ó μ? ?? é?
y
x
F
F
dx
dy
-=
?? ),( yxfz = ′? ?è 0),,( =zyxF μ? 0)),(,,( =yxfyxF ￡? μ? é? à? ±?
ì? é± ?ó x 1ì y ?ó ?? μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a
0
0
=+
=+
yzy
xzx
zFF
zFF
￡?
?ò ′ê ￡?
z
y
y
z
x
x
F
F
z
F
F
z -=-=,
??
)(
)(
xgz
xfy
=
=
′? ?è
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
￡? μ?
0))(),(,(
0))(),(,(
=
=
xgxfxG
xgxfxF
￡? μ? é? à?
±? ì? é± ?ó x ?ó μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é? ?è ?a
0
0
=++
=++
dx
dz
G
dx
dy
GG
dx
dz
F
dx
dy
FF
zyx
zyx
￡? èè
zy
zy
GG
FF
=D ￡? óò
D
=
D
-
-
=
xz
xz
zx
zx
GG
FF
GG
FF
dx
dy
￡?
D
=
D
-
-
=
yx
yx
xy
xy
GG
FF
GG
FF
dx
dz
??
),(
),(
yxgv
yxfu
=
=
′? ?è
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
μ?
0)),(),,(,,(
0)),(),,(,,(
=
=
yxgyxfyxG
yxgyxfyxF
￡?
μ? é? à? ±? ì? é± ?ó x 1ì y ?ó ?? μ? ￡? òè ?′ óa ·′ 1? 1ˉ éù μ? ?ó μ? ?? é?
?è ?a ￡?
0
0
=++
=++
xvxux
xvxux
vGuGG
vFuFF
￡?
0
0
=++
=++
yyyuy
yvyuy
vGuGG
vFuFF
￡?
?ò ′ê μ? P ?￡ 40 ?a 41 μ? ê? ·? ?? é? ?è 2? ±e ?ó 3? yyxx vuvu,,,
?ù 1 ￡? èè
x
y
yx a r c t a nln
22
=+ ￡? ?ó
dx
dy
?a ￡1 èè
x
y
yxyxF a r c t a nln),(
22
-+= ￡?
22
2
2
22
)(1
)(
yx
yx
x
y
x
y
yx
x
F
x
+
+
=
+
-
-
+
=
22
2
22
)(1
1
yx
xy
x
y
x
yx
y
F
y
+
-
=
+
-
+
= ￡?
dx
dy
=
yx
yx
F
F
y
x
-
+
=-
?ù 2 ￡? èè
y
z
z
x
ln= ￡? ?ó
x
z
?
?
1ì
y
z
?
?
?a ￡1 èè ),,( zyxF = yz
z
x
lnln +- ￡?
z
F
x
1
= ￡?
zz
x
F
y
F
zy
1
,
1
2
--== = )(
2
z
zx +
- ￡?
x
z
?
?
=
z
x
F
F
- =
zx
z
+
￡?
y
z
?
?
=
z
y
F
F
- =
)(
2
zxy
z
+
?ù 3 ￡? èè ),(),,(),,( yxzzzxyyzyxx === ?? é? òè 2? 3?
0),,( =zyxF
ê? ?2 ?¨ μ? ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù μ? 1ˉ éù ￡? ?¤?? ￡1 1-=
?
?
×
?
?
×
?
?
x
z
z
y
y
x
?a ￡1 yx?? =
x
y
F
F- ￡?
z
y
?
?
y
z
F
F-= ￡?
x
z
?
? =
z
x
F
F- ￡? ?ò ′ê 1-=
?
?×
?
?×
?
?
x
z
z
y
y
x
?ù 4 ￡? èè ),( vuF ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù ￡? ?¤ ?? òè 2? 3?
0),( =--F bzcyazcx
ê? ?2 ?¨ μ? 1ˉ éù ),( yxfz = á? 3? a
x
z
?
?
+ c
y
z
b =
?
?
?a 2¨ 1 ￡1 )(,,2121 F+F-=FF=FF=F bacc zyx
x
z
?
? =
z
x
F
F
- ￡?
z
y
y
z
F
F
-=
?
?
￡? ′? ?è ?a ?¤μ? μ? é? 3ó ±? ?ì ?è ?¤?? ?￡
?a 2¨ 2 ￡1 èè bzcyazcxu -=-=,
?? ?? ),( yxfz = ′? ?è 2? 3? 0),( =--F bzcyazcx
μ? 0)),(),,(( =--F yxbfcyyxafcx ￡?
μ? é? à? ±? 2? ±e ?ó yx,?ó μ? ￡? μ?
0)()( =-F+-F
xvxu
bzazc ￡? 0)()( =-F+-F
yvyu
bzcaz
?ò ′ê ￡?
vu
u
x
ba
c
z
F+F
F
= ￡?
vu
v
y
ba
c
z
F+F
F
= ￡? a
x
z
?
?
+ c
y
z
b =
?
?
解法 1称为公式法，左端函数在对 x求偏导数时，要把 y,z看
成常数,在对 y求偏导数时，要把 x,z看成常数,在对 z求偏导数时，
要把 x,y看成常数；
解法 2是复合函数求导法，等式两边的函数对 x或 y求导时，
要把 z看成 x,y的函数。
?ù 5 ￡? èè 10222 =++ =++ zyx zyx ?ó dzdydzdx,
?a ￡1
dz
dx
+
dz
dy
+1 =0 ￡?
2x
dz
dx
+2 y
dz
dy
+2 z =0,
yx 22
11
=D =2 (y - x )
dz
dx
=
D
-
yz 22
11
=
yx
zy
-
-
,
dz
dy
=
yx
xzzx
-
-
=
D
-
22
11
′ò è? ?ù ?è ?? ￡? ?ó òú ?ú 1ˉ éù 0),( =yxF 1ì 0),,( =zyxF à? ? ?′ ?ì ￡?
ò? ?? é? 2¨ ?ó μ? ±? ?? 2? ±? ?￡ μ? ?ó òú
0),,(
0),,(
=
=
zyxG
zyxF
1ì
0),,,(
0),,,(
=
=
vuyxG
vuyxF
?a à? ? ?′ ?ì ￡? òè òú ?? é? ±? ?? ·′ óò ￡? ê? 1? °′ ·′ 1? 1ˉ éù ?ó μ? μ? ê?
á2 3a oˉ 3è ?ú óa ?o ′í ?? ?ó 2? 3? 3é ￡? óù ò? ?ú ?3 ?? à? é? ?ó ?a ?a 2? ±?
?o ?? ?￡
?ù 6 ￡? èè
),(
),(
2 yvxugv
yvuxfu
-=
+=
￡? ?? ?? gf,?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
?ó
x
u
?
? ￡?
x
v
?
?
?a ￡1
x
u
?
?
=
21
)( f
x
v
f
x
u
xu
?
?
+
?
?
+ ￡?
121
)1( uf
x
v
f
x
u
xf -=
?
?
+
?
?
-
x
v
?
?
=
21
2)1( g
x
v
vyg
x
u
?
?
+-
?
?
￡?
121
)12( g
x
v
vyg
x
u
g =
?
?
-+
?
?
12
1
21
21
-￠￠
￠-￠
=D
gvyg
ffx
=
1221
)12)(1( gfgvyfx ￠￠--￠-￠
x
u
?
?
=
D
￠￠--￠￠-
1221
)12( gfgvyfu
￡?
x
v
?
?
=
D
-￠+￠￠ )1(
111
fufxg
?ù 7 ￡? èè ),( txfy = ￡? ?÷ t é? òè 2? 3? 0),,( =tyxF
ê? ?2 ?¨ μ? yx,μ? 1ˉ éù ￡? ?? ?? Ff,?? ?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
éó ?¤?? ￡1
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
?ù 7 ￡? èè ),( txfy = ￡? ?÷ t é? òè 2? 3? 0),,( =tyxF
ê? ?2 ?¨ μ? yx,μ? 1ˉ éù ￡? ?? ?? Ff,?? ?? ò? ?o ?3 à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
éó ?¤?? ￡1
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
?¤￡1 òè ),( txfy = ?è μ?
dx
dy
=
xtx
tff + ￡? òè 0),,( =tyxF ?è μ?
0=++
xtyx
tF
dx
dy
FF ￡? óò
x
t =
t
yx
F
dx
dy
FF +
-
dx
dy
= (
tx
ff +
t
yx
F
dx
dy
FF +
- ) =
t
ytxttx
F
dx
dy
FfFfFf --
t
F
y
F
t
f
x
F
t
f
t
F
x
f
dx
dy
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
-
?
?
?
?
=
二, 隐函数满足什么条件才存在显函数？
（ 三个隐函数存在定理 ）
1 ￡? 0),( =yxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 1 ￡? ￡?
èè ),( yxF óú μ? ),(
00
yxP μ? ?3 ?o àú òò ?ú ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
?? 0),(
00
=yxF ￡? 0),(
00
1yxF
y
￡?
óò 2? 3? 0),( =yxF óú μ? ),(
00
yxP μ? ?3 ?o àú òò ?ú
1? ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o ·? μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù )( xfy = ￡?
ê÷ á? 3? ?? ?ú )(
00
xfy =
2 ￡? 0),,( =zyxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 2 ￡? ￡? ?? P ?￡ 38 ?a 39
3 ￡? 0),,,(,0),,,( == vuyxGvuyxF ?ì ￡¨ ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 3 ￡? ￡?
?? P ?￡ 40
?ù 1 ￡? Dé ?¤2? 3? 122 =+ yx óú μ? )1,0( μ? ?3 àú òò ?ú ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o
·? μ￥ ?μ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù ￡? ê÷ á? 3? ?? ?ú 1)0( =y
?¤￡1 èè
22
),( yxyxF += 1- ￡?
óò yFxF
yx
2,2 == ￡? 0)1,0(,0)1,0( 1=
y
FF,
òè ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 1 ?è ?a ￡? 2? 3? 1
22
=+ yx óú μ? )1,0( μ? ?3 àú òò
?ú ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o ·? μ￥ ?μ ?? ?? ò? à? ?÷ μ? éù μ? 1ˉ éù )( xfy = ?? á?
3? ?? ?ú 1)0( =y ?￡ éá éμ è? ￡? ·? 1ˉ éù ía
2
1 xy -=
?ù 2 ￡? èè 1ˉ éù ),(),,( vuyyvuxx == óú μ? ),( vu μ? ?3 ?o àú òò ?ú à? ?÷
?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù
vuvu
yyxx,,,￡? ò? 0
),(
),(
1
?
?
vu
yx
)
),(
),(
(
vv
uu
yx
yx
vu
yx
=
?
?
￡¨ 1 ￡? ?¤??2 ? 3? 3é
),(
),(
vuyy
vuxx
=
=
óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú ?ü í¨? o ?2
?¨ ?o ·? μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò? à? ?÷ ?? μ? éù μ? 2′ 1ˉ éù
),(),,( yxvvyxuu ==
￡¨ 2 ￡? ?ó 2′ 1ˉ éù ),(),,( yxvvyxuu == ?ó yx,μ? ?? μ? éù
?a ￡1 ￡¨ 1 ￡? èè
0),(),,,(
0),(),,,(
=-o
=-o
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
￡?
óò ),,,(),,,,( vuyxGvuyxF óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú
?? ò? ?ó ·? ·? ±? à? μ? à? ?÷ ?? μ? éù ￡?
ò? J= 0
),(
),(
),(
),(
1
?
?
=
--
--
==
?
?
vu
yx
yx
yx
GF
GF
vu
GF
vv
uu
vv
uu
?ò ′ê ￡? òè ?ú 1ˉ éù ′? óú ?¨ ?í 3 ?è ?a ￡? 2? 3? 3é
0),(),,,(
0),(),,,(
=-o
=-o
vuyyvuyxG
vuxxvuyxF
óú μ? ),,,( vuyx μ? ?3 àú òò ?ú 1? ?ü í¨ ?o ?2 ?¨ ?o 3é μ￥ ?μ à? ?÷ ?? ?? ò?
à? ?÷ ?? μ? éù μ? 2′ 1ˉ éù ),(),,( yxvvyxuu == ?￡
￡¨ 2 ￡? ?? ),(),,( yxvvyxuu == ′? ?è
),(
),(
vuyy
vuxx
=
=
μ?
)],(),,([
)],(),,([
yxvyxuyy
yxvyxuxx
o
o
￡? à? ±? 2? ±e ?ó x ?ó ?? μ? éù ￡? μ?
x
v
v
y
x
u
u
y
x
v
v
x
x
u
u
x
?
?
×
?
?
+
?
?
×
?
?
=
?
?
×
?
?
+
?
?
×
?
?
=
0
1
￡? ?a ?? ￡? μ?
u
y
Jx
v
v
y
Jx
u
?
?
-=
?
?
?
?
=
?
? 1
,
1
ì? ?í ?è μ?
u
x
Jy
v
v
x
Jy
u
?
?
=
?
?
?
?
-=
?
? 1
,
1
