第五节 曲面及其方程
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面
与三元方程 F(x,y,z)=0一一对应。
本节必须掌握哪些内容？
讨论两类问题,
1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面
的方程？
2。已知方程 F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的
曲面的形状。
二。旋转曲面及其方程特点
三。柱面及其方程特点
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面
与三元方程 F(x,y,z)=0一一对应。
平面曲线 Dxxfy ??? ),( 即 DxyxF ??,0),(
曲面
Dyxyxfz ??? ),(),,(
即 DyxzyxF ?? ),(,0),,(
主要讨论两类问题,
1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面的方程？
2。已知方程 F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的曲面的形状。
通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。
例 1。求球心在点 半径为 R的球面方程。 ),,(
000 zyx
例 2。求以 为端点的线段 AB的垂直平分
面的方程。
),,(),,,( 222111 zyxBzyxA
例 3。方程 0222 ??????? GFzEyDxAzAyAx
表示怎样的曲面？
0222 ??????? GFzEyDxAzAyAx
方程
的特点是,
1。是三元二次方程； 2。平方项糸数相等； 3。缺非平方
二次项。
经配方得,
2
222
222
4
4)
2()2()2( A
GFED
A
Fz
A
Ey
A
Dx ?????????
如果 GFED 4222 ???
GFED 4222 ???
GFED 4222 ???
,0? 为球面。
,0? 为一点。
,0? 无点的实轨迹。
二。旋转曲面及其方程
平面上的一条曲线（称母线）绕其上的一条定直线（称旋转轴）
旋转一周所得的曲面称 旋转曲面。
为使方程形式简单，常取定直线作为坐标轴（比如 Z轴）。
旋转曲面的形成（如图）,
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋
转一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例如，园 绕 z轴旋转一周所得的旋转曲面方
程为球面,1
22 ?? zy
1222 ??? zyx
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生
成的旋转曲面的方程,
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
或写成,)(c o t)( 2222222 yxayxz ???? ?
三。柱面及其方程
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
称定直线 L为柱面的母线，称定曲线 C为柱面的准线。
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
注意柱面方程的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴 x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴 z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴 y
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面
与三元方程 F(x,y,z)=0一一对应。
本节必须掌握哪些内容？
讨论两类问题,
1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面
的方程？
2。已知方程 F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的
曲面的形状。
二。旋转曲面及其方程特点
三。柱面及其方程特点
一。曲面是动点在空间的几何规迹。曲面
与三元方程 F(x,y,z)=0一一对应。
平面曲线 Dxxfy ??? ),( 即 DxyxF ??,0),(
曲面
Dyxyxfz ??? ),(),,(
即 DyxzyxF ?? ),(,0),,(
主要讨论两类问题,
1。曲面作为点的几何规迹，如何建立这个曲面的方程？
2。已知方程 F(x,y,z)=0，研究这个方程所表示的曲面的形状。
通过常见曲面的举例来讨论这两类问题。
例 1。求球心在点 半径为 R的球面方程。 ),,(
000 zyx
例 2。求以 为端点的线段 AB的垂直平分
面的方程。
),,(),,,( 222111 zyxBzyxA
例 3。方程 0222 ??????? GFzEyDxAzAyAx
表示怎样的曲面？
0222 ??????? GFzEyDxAzAyAx
方程
的特点是,
1。是三元二次方程； 2。平方项糸数相等； 3。缺非平方
二次项。
经配方得,
2
222
222
4
4)
2()2()2( A
GFED
A
Fz
A
Ey
A
Dx ?????????
如果 GFED 4222 ???
GFED 4222 ???
GFED 4222 ???
,0? 为球面。
,0? 为一点。
,0? 无点的实轨迹。
二。旋转曲面及其方程
平面上的一条曲线（称母线）绕其上的一条定直线（称旋转轴）
旋转一周所得的曲面称 旋转曲面。
为使方程形式简单，常取定直线作为坐标轴（比如 Z轴）。
旋转曲面的形成（如图）,
x
o
z
y
0),( ?zyf
),,0( 111 zyM??M),,,( zyxM设
1)1( zz ?
（ 2 ）点 M 到 z 轴的距离
|| 122 yyxd ???
将 代入 2211,yxyzz ????
0),( 11 ?zyf
d
将 代入 2211,yxyzz ???? 0),( 11 ?zyf
? ?,0,22 ??? zyxf
y o z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf 绕 z 轴旋
转一周的 旋转曲面方程,
得方程
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),( ?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
? ?,0,22 ??? zxyf
例如，园 绕 z轴旋转一周所得的旋转曲面方
程为球面,1
22 ?? zy
1222 ??? zyx
例 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生
成的旋转曲面的方程,
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
??
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zyax
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
双
曲
面
（ 2 ）椭圆
??
?
?
?
?
??
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转
绕 z 轴旋转
12
22
2
2
??? c zxay
12
2
2
22
??? cza yx
旋
转
椭
球
面
（ 3 ）抛物线
?
?
?
?
?
0
22
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 ?? 旋转抛物面
例 5 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫 圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的
顶点,两直线的夹角 ?
?
?
?
?
? ?
????
2
0 叫圆锥面的 半顶
角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶
角为 ? 的圆锥面方程．
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
?c o tyz ? ),,0( 111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
?c o t22 yxz ???
?
或写成,)(c o t)( 2222222 yxayxz ???? ?
三。柱面及其方程
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线
所形成的曲面称为柱面,
C L
称定直线 L为柱面的母线，称定曲线 C为柱面的准线。
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22 ?
抛物柱面
xy?
平面
注意柱面方程的 特征,
只含 yx,而缺 z 的方程 0),( ?yxF,在
空间直角坐标系中 表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 x o y 面上曲线 C,（其他类推）
实
例
12
2
2
2
?? czby 椭圆柱面 // 轴 x
12
2
2
2
?? byax 双曲柱面 // 轴 z
pzx 22 ? 抛物柱面 // 轴 y
