第八节
空间直线及其方程
本节必须掌握的问题,
一。空间直线方程的四种形式,
1。一般方程； 2。对称式方程（或称标准方程）；
3。两点式方程； 4。参数方程。
二。如何将直线的一般方程化为对称式方程？
三。两直线的位置关系
四。直线与平面的位置关系
五。关于平面束方程的概念
一。空间直线方程的几种形式,
一般方程,
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
对称式方程,
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
称 为直线的方向向量 },,{ pnms ??
参数方程,
?
?
?
?
?
??
??
??
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
两点式方程,
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
?
（重要）
（重要）
二。如何将直线的一般方程化为对称式方程？
?
?
?
????
????
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
p
zz
n
yy
m
xx 000 ?????
一般方程,
可得对称式方程,
（ 1）
（ 2）
设平面（ 1）和（ 2）的法线向量分别为,??
21,nn
直线的方向向量为,},,{ pnms ??
则有,
???? ??
21,nsns
222
11121
CBA
CBA
kji
nns ????
??
},,{
22
11
22
11
22
11
BA
BA
AC
AC
CB
CB
?
再在直线上取定一点
),,( 000 zyx
许多习题都涉及 求（用一般方程表示的）直线的方向向量
的问题,这是直线问题中最基本的运算之一。
三。两直线的位置关系
设有直线
21,LL
其方向向量分别为
},,{},,,{ 22221111 pnmSpnmS ??
),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM 分别在 上
21,LL
1。异面
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx ???
?? 0?
2。共面
0??
其中：相交
222111,::,pnmpnm ?
平行
121212222111,::::,zzyyxxpnmpnm ?????
重合
121212222111,::::,zzyyxxpnmpnm ?????
3。垂直 0
212121 ??? ppnnmm
两直线的夹角（指锐角）,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121c o s
pnmpnm
ppnnmm
????
??
??
四。直线与平面的位置关系
设有：平面
0,???? DCzByAx?
和直线
p
zz
n
yy
m
xxL 000,?????
直线与平面平行,
?
?
?
???
???
DCzByAx
CpBnAm
000
0
?
?
?
???
???
DCzByAx
CpBnAm
000
0
0?
0?
直线在平面上,
直线与平面相交,
直线与平面垂直,
p
C
n
B
m
A ??
0??? CpBnAm
五。平面束方程
过直线 L,
?
?
?
????
????
)2(0
)1(0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
的平面方程的全体称平面方程束。记为,
0)()( 22221111 ???????? DzCyBxADzCyBxA ?
其中 为任意常数，它包括了过 L的除（ 2）以外的所有平面。 ?
当 =0，（ 3）为（ 1），当,（ 3）为（ 2）。 ? ? ??
讲解记分作业,P。 26 八。
5
1
2
1
9
1
?
????? zyx
本节必须掌握的问题,
一。平面方程 三元一次方程 ?
二。 平面方程常用的四种形式：点法式（重要），
一般式（重要）,三点式，截距式。
三。如何表示特殊位置的平面方程？
四。两平面的位置关系：相交（包括垂直），平行
或重合；两平面的夹角公式；空间一点到平面的距
离公式 。
五。在讨论平面的问题时，平面的法线向量是特别
重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的，
通常用最简形式来表示。比如,XOY平面的法线
向量常表示成 {0,0,1}。
0???? DCzByAx
x
y
z
o
0M M 如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
法线向量的 特征, 垂直于平面内的任一向量,
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ??nMM ?
一、平面的点法式方程 n?
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
平面上的点都满足上列方程，不在平面上
的点都不满足上列方程。
其中法向量 },,,{ CBAn ?? 已知点 ).,,( 000 zyx
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAx D?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
二、平面的一般方程
由此可以证明：平面与三元一次方程一一对应。
平面一般方程的几种特殊情况,
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A ??
?
?
?
,0
,0
D
D 平面通过 轴； x
平面平行于 轴； x
,0)3( ?? BA 平面平行于 坐标面； xoy
类似地可讨论 情形, 0,0 ???? CBCA
0,0 ?? CB类似地可讨论 情形,
设
是平面上的已知三点，求平面方程。
},,{
},,{
131313
121212
zzyyxxb
zzyyxxa
????
????
?
?
解,
三。平面的三点式方程
??? ?? ban
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
???
????
),,(),,,(),,,( 333322221111 zyxMzyxMzyxM
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
???
???
???
?
得所求平面的方程
用此公式验证 P。 418 例 2。
0?
在平面上任取一点 ),,( zyxP 由 ??
? PMn 1
132
643
412
43)1(220
42)1(321
412
??
??
???
?
????
??????
??? zyxzyx
0)4()1(9)2(14 ??????? zyx
四。平面的截距式方程
将 ),0,0(),0,,0(),0,0,( cba 代入平面的一般方程,
Ax+By+Cz+D=0 得平面的截距式方程,
1???
c
z
b
y
a
x
五。两平面的位置关系
平行,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ??
2
1
D
D?
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ??重合,
2
1
D
D?
相交,
222111,::,CBACBA ?
垂直,
0212121 ??? CCBBAA
六。两平面的夹角（指锐角）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121c o s
CBACBA
CCBBAA
????
????
七。空间一点到平面的距离
222
000
CBA
DCzByAx
d
??
???
?