第 7章
多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
第 7章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一．多元函数和一元函数中一些基本概念的比较
?? ?a ·ˉ ?ù
}),(/{ Dxxfyy ?=
′ú ?a ￡¨ ′ ?a ￡? ·ˉ ?ù }),(),,(/{ Dyxyxfzz ?=
?ú Dò
}/{)(
00
dd <-= xxxx
?ú Dò
})()(/),{()(
2
0
2
00
d<-+-= yyxxyxPU
?ò }/{)(
00
d<= PPPpU
?¤ íá ?ú Dò
}0/{)(
00
dd <-<=
·
xxxx
})()(0/),{()(
2
0
2
00
d<-+-<=
·
yyxxyxPU
?ò )(
0
PU
·
= }0/{
0
d<< PPP
?? ?? ′? Dú
0
x E? ￡? 2? ?ú )(
0
xd
?? )(
0
xd Eì ±?
0
x ?a 1ˉ ·ì E
3á áú 3á
?? ?? ′? Dú
0
x E? ￡? 2? ?ú )(
0
PU ?? )(
0
PU Eì
±?
0
x ?a 1ˉ ·ì E 3á áú 3á
?? ?? E áú à? ?? 3á ′1 ?? áú 3á
±? E ?a ?a 1ˉ
?? ?? E áú à? ?? 3á ′1 ?? áú 3á ±? E ?a ?a 1ˉ
?? ?? ?a 1ˉ E áú ?? ?à ?o
3á ′1 ?? Dà ò? ì? ?? oD ??
μà ò? ì? ?ì 3á 3á ′1 ?? Dú
E ±? E ?a ?? ê¨ 1ˉ
?? ?? ?a 1ˉ E áú ?? ?à ?o 3á ′1 ?? Dà ò? ì?
?? oD ?? μà ò? ì? ?ì 3á 3á ′1 ?? Dú E ±? E
?a ?? ê¨ 1ˉ
?? ê¨3 á ?a 1ˉ ±? ?÷ 1a ￡¨? a
?÷ 1a ￡?
?? ê¨ 3á ?a 1ˉ ±? ?÷ Dò ￡¨ ?a ?÷ Dò ￡?
3á
0
x 3á ?? ?? ?ú Dò áú 1?
Dí E 3á áú 3á Dó Dí E êà
3á 3á ￡? ±?
0
x ?a E 3á ±? o?
3á
3á
0
x 3á ?? ?? ?ú Dò áú 1? Dí E 3á áú 3á Dó
Dí E êà 3á 3á ￡? ±?
0
x ?a E 3á ±? o? 3á
?÷ 1a D? ?a ±? o? 3á 3á ·ê
1ˉ ±? ±ò ?÷ 1a
?÷ Dò D? ?a ±? o? 3á 3á ·ê 1ˉ ±? ±ò ?÷ Dò
2? ?ú òù ?ù K ￡? ?? ?? ?í
P E? D? á± ′¨ 3á A 3á ?′
?? KAP ￡ 3á 3á 1ˉ ±? Dí
o? 3á 1ˉ E
2? ?ú òù ?ù K ￡? ?? ?? ?í P E? D? á± ′¨3 á
A 3á ?′ ?? KAP ￡
Dí o? 3á 1ˉ E ￡? 2? ?ò ±? E ?a ?T o? 3á 1ˉ
′ú ￡? ?? Dú n ?? ?ò 1a ·ê n ?a ·ˉ ?ù 3á ?? í? μ? á?
1 ￡? n ?? ?ò 1a ￡· ±? Dí íò n ?a ),.,,,,(
21 n
xxx ?ù 3é 3á ?? é? ?a
n ?? ?ò 1a ￡? 1? 3?
n
R
2 ￡? n ?? ?ò 1a óí ?o 3á ),...,,(
21 n
xxxP
1° ),...,(
21 n
yyyQ ó? 1a 3á ?′ ??
22
22
2
11
)(.,,)()(
nn
xyxyxyPQ -++-+-=
3 ?￡ n ?? ?ò 1a óí ￡? 3á
0
P 3á d ?ú Dò 1? 3? ￡·
},/{),(
00
n
RPPPPpU ?<= dd
4 ￡? n ?a ·ˉ ?ù ′¨ ?? ?a ),.,,,(
21 n
xxxfu = ￡? 1ò 1? ?a )( Pfu = ￡?
?a óí ),...,,(
21 n
xxxP D? ￡? òà ?è D ?a n ?a ·ˉ ?ù 3á ′¨ ?? Dò ?￡
5 ￡? ′ú ?a ·ˉ ?ù ),( yxfz = ￡? Dyx ?),(
?2 ′¨ ?è ?? μ? ?ò 1a 3á 1ˉ ￡· }),(),,(/),,{( Dyxyxfzzyx ?= ￡?
òà μ? 3á 1ˉ ±? ?a ′ú ?a ·ˉ ?ù 3á ê1 í? ￡? ′ú ?a ·ˉ ?ù 3á ê1 í? ?? ?? ò? ??
à? ?￡
例：求下列函数的定义域,
￡¨ 1 ￡? /),{( yx 0122 >+- xy }
￡¨ 2 ￡? }0,0/),{( >->+ yxyxyx
￡¨ 3 ￡? },0,0/),{( 2 yxyxyx 333
￡¨ 4 ￡? }1,0,0/),{( 22 ￡+3>- yxxxyyx
￡¨ 5 ￡? }/),,{( 22222 Rzyxrzyx ￡++<
￡¨ 6 ￡? }0,0/),,[( 22222 1+3++ yxzyxzyx
三, 多元函数的极限
ì? μ2 ì° ?? ?a ·ˉ ?ù 3á 1? ìT
0
lim
xx ?
)( xf =A ? )0(
0
-xf =A ?? )0(
0
+xf =A ￡?
0
lim
xx ?
)( xf =A ? ?? ?? 0>e ￡? 2? ?ú 0>d ￡? 3±
d<-<
0
0 xx ￡? 3ü Dí e<- Axf )( ±? ?￠
￡¨ 3￠ ?à ￡· 0xx ? ?à ?′ 3? 3á x ?? 3? ?o μ? 2o ìò ?? Dú 0x ￡? 1? ??
00 +? xx Dó ?? 00 -? xx ￡?
′ú ?a ·ˉ ?ù 3á 1? ìT
0
0
l i m
yy
xx
?
? ),( yxf =A ? ?? ?? 0>e ￡?
2? ?ú 0>d ￡? 3± d<-+-<
2
0
2
0
)()(0 yyxx ￡?
3ü Dí e<- Ayxf ),( ±? ?￠ ?￡
￡¨ 3￠ ?à ￡· 3á ),(
00
yx 3á d ?ú Dò ?? ?? μ? ?° í? ?÷ Dò ￡? ?ú Dò áú 3á 3á
),( yx ?? Dú 3á ),(
00
yx 3á 2o ìò ·ê ?2 ?′ ′1 Dí ?T ?? ′ μ? ￡? o? 3± ?? è?
Dí 3á 2o ìò ·ê è? Dí 3á ê? ?′ ?? Dú 3á ),(
00
yx ?± 3á 1? ìT ′1 2? ?ú ?? ′1
3? Dú A ?± ￡? °? áü è3 ′ú ?a ·ˉ ?ù 3á 1? ìT
0
0
l i m
yy
xx
?
? ),( yxf =A
′ ?a ·ˉ ?ù 3á 1? ìT
0
lim
Pp ?
)( Pf =A ? ?? ?? 0>e ￡?
2? ?ú 0>d ￡? 3± d<<
0
0 PP ￡? 3ü Dí e<- APf )( ￡?
?a óí
0
P ?? n ?? ?ò 1a 3á ?? 3á ?￡
?ù 1 ￡· ó¤à?
)0,0(),(
l i m
?yx
),( yxf °? 2? ?ú
￡¨ 1 ￡? ),( yxf =
0,0
0,
22
22
22
=+
1+
+
yx
yx
yx
xy
￡¨ 2 ￡?
222
22
)(
),(
yxyx
yx
yxf
-+
=
ó¤￡· ￡¨ 1 ￡?
kxyx =?,0
l i m
),( yxf =
kxyx =?,0
l i m
22
yx
xy
+
=
0
l i m
?x
222
2
xkx
kx
+
=
2
1 k
k
+
￡? ?a ó3 è? K ′÷ ′¨ ￡?
?ò 2è
)0,0(),(
l i m
?yx
),( yxf °? 2? ?ú ￡¨ 2 ￡?
kxyx =?,0
l i m
222
22
)( yxyx
yx
-+
=
0
l i m
?x
2242
42
)1( xkxk
xk
-+
=
1,0
1,1
1
=
k
k
￡? ?ò 2è
)0,0(),(
l i m
?yx
),( yxf °?
2? ?ú
?ù 2 ￡· ?è
22
22 1
s i n)(),(
yx
yxyxf
+
+= ￡? )0(
22
1+ yx
?ó ó¤￡·
)0,0(),(
l i m
?yx
),( yxf =0
ó¤￡· ?? μ÷ 0>e ￡? D? 0),( -yxf = 0
1
s i n)(
22
22
-
+
+
yx
yx
22
yx +￡ e< ?? óa ￡? ó? ?a ?? ed = ￡?
á? á? 3± d<-+-<
22
)0()0(0 yx ?± ￡? ±? Dí 0),( -yxf e< ￡?
ó¤±ì ?￡
èá ￡? ′ ?a ·ˉ ?ù 3á ?? í÷ í?
?? ??
),(),(
l i m
00
yxyx ?
),( yxf ),(
00
yxf= ￡? ?ò ±? ·ˉ ?ù ),( yxf ?ú 3á
),(
000
yxP ?? í÷ ￡? 2? ?ò ±? ),(
000
yxP ?? ·ˉ ?ù ),( yxf 3á 1a ′ì 3á ?￡ ?ù ?? ￡?
02
2
=- xy ?? ·ˉ ?ù
xy
xy
z
2
2
2
2
-
+
= 3á 1a ′ì 3á ￡¨ ?? ?? é? ?? ì? ￡?
?? ?? ·ˉ ?ù ),( yxf ?ú ?÷ Dò ￡¨ ?ò ±ò ?÷ Dò ￡? D 3á à? ?? 3á ?ì ′1 ?? í÷ ￡?
?ò ±? ),( yxf ?? D ?ì 3á ?? í÷ ·ˉ ?ù
?? ?? ó¤à? ￡· ?? ?í ′ ?a ±? 3? ·ˉ ?ù ￡¨ D? ′ ?a ′ ì? ?o 1° ?? ±? ±? 3?
·ˉ ?ù ?- ?ù Dí ìT 2? èá ?ò ?è èá ·ê Dí ìT 2? μ2 ·ì è? ? ±? ￡? ?ú ?a ′¨ ??
?÷ Dò áú ?? ?? í÷ 3á ?￡ è? ?o ′¨ ?? ?÷ Dò ?? óμ °÷ ·? ?ú ′¨ ?? Dò áú 3á ?÷
Dò ?ò ±ò ?÷ Dò ?￡ ￡¨ 3￠ ?à ￡· ?÷ Dò ±? í? ?? ?? ê¨ 3á ￡? ?ù ?? ￡?
}0,0/),{( 11 yxyx °? ?? ?÷ Dò ?￡
?ù 3 ￡· 1? èá ì? ?í 1? ìT
￡¨ 1 ￡?
)1,0(),(
l i m
?yx 22
1
yx
xy
+
- =
1
10
101
22
=
+
×-
￡¨ 2 ￡? )0,0(),(l i m ?yx 11 -+xy xy = )0,0(),(l i m ?yx xyxyxy )11( ++ =2
￡¨ 3 ￡?
)2,0(),(
l i m
?yx x
xy )s i n (
=
)2,0(),(
l i m
?yx
y
xy
xy
×
)(
)sin(
=
0
l i m
?xy )(
)s i n (
xy
xy
2
l i m
?
×
y
y =
0
l i m
?t t
tsin
2
l i m
?
×
y
y = 221 =×
￡¨ 4 ￡?
)2,1(),(
l i m
?yx xy
yx +
2ó ?? ￡· ±? 3? ·ˉ ?ù
xy
yx +
3á ′¨ ?? Dò ?? }0,0/),{( 11= yxyxD ￡?
?ò ?a D °? ?? ?? ê¨ 3á ￡? ?ò 2è D °? ?? ?÷ Dò ?￡ 3?
}0,0/),{(
1
>>= yxyxD ?? ?÷ Dò ￡? 3á ￡¨ 1 ￡? 2 ￡? DD ì?
1
￡?
\
)2,1(),(
l i m
?yx xy
yx +
=
2
3
(5 )
)0,0(),(
l i m
?yx
22
)(
)cos(1
22
22
yx
eyx
yx
+
+-
=
)0,0(),(
l i m
?yx
22
22
)cos(1
yx
yx
+
+-
)0,0(),(
l i m
?yx
22
1
yx
e
=
)0,0(),(
l i m
?yx )(2
)
2
(s i n
22
22
2
yx
yx
+
+
=
4
1
)0,0(),(
l i m
?yx
)
2
sin(
22
yx +
0
l i m
?t t
tsin
( ?a óí
2
22
yx
t
+
= )
=
4
1
010 =××
闭区间上连续函数的性质,
性质 1 最大值, 最小值定理 在有界闭区域 D上的多
元连续函数在 D上一定有最大值和最小值 。
性质 2 介值定理 在有界闭区域 D上的多元连
续函数, 如果在 D上取得两个不同的函数值,
那末它在 D上取得介于这两个值之间的任何值
至少一次 。 作为特殊情况, 如果 u是函数介于
在 D上的最小值 m各最大值 M之间的一个数,
则在 D上至少有一点 Q,使得 f(Q)=u