第四节
数量积和向量积
一物体在常力 F
?
作用下沿直线从点 1M 移动
到点 2M,以 s
?
表示位移，则力 F
?
所作的功为
?c o s|||| sFW ??? ( 其中 ? 为 F? 与 s? 的夹角 )
向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba ?? ?
?c o s|||| baba ???? ?? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
实例
定义
一、两向量的数量积
由定义可知，两向量的数量积是一个数量,
a?
b? ? ?co s|||| baba ???? ??
,Prc o s|| bjb a ??? ??,Prc o s|| aja b ?? ??
ajbba b ???? Pr||???,Pr|| bja a ???
数量积也称为,点积,、,内积,,
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的
模和另一个向量在这向量的方向上的投影的
乘积,
关于数量积的说明,
0)2( ?? ba ?? ??,ba ???.||)1( 2aa ?? ??
数量积符合下列运算规律,
（ 1）交换律, ;abba ???? ???
（ 2）分配律, ;)( cbcacba ??????? ??????
（ 3）若 为数, ? ),()()( bababa ?????? ????? ???
若, 为数, ? ? ).()()( baba ???? ??? ????
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ???? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??,0??????? ikkjji ??????
,1|||||| ??? kji ????
.1??????? kkjjii ??????
zzyyxx babababa ????
??
数量积的坐标表达式
?co s|||| baba ???? ??,||||co s ba
ba ?? ?? ????
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??
两向量夹角余弦的坐标表示式
??? ba ?? 0??? zzyyxx bababa
由此可知两向量垂直的充要条件为
例 1 已知 }4,1,1{ ??a?, }2,2,1{ ??b
?
，求 （ 1 ）
ba
??
? ； （ 2 ） a? 与 b
?
的夹角； （ 3 ） a? 在 b
?
上的投影,
解 ba ?? ?)1( 2)4()2(111 ????????,9??
222222c o s)2(
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
????
??
??
,21??
ajbba b ???? Pr||)3( ??,3||Pr ??
???
b
baaj
b ?
??
?
???,43?
例 2 证明向量 c? 与向量 acbbca ?????? )()( ??? 垂直,
证 cacbbca ??????? ???? ])()[(
])()[( cacbcbca ???????? ??????
])[( cacabc ?????? ?????
0?
cacbbca ??????? ????? ])()[(
设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
?
作用
于这杠杆上 P 点处．力 F
?
与 OP 的夹角为 ?,力
F
?
对支点 O 的力矩是一向量 M
?
，它的模
|||||| FOQM ?? ?
?s i n|||| FOP ??M
?
的方向垂直于 OP 与 F
?
所决
定的平面,指向符合右手系,
实例
二、两向量的向量积
L
F?
P
QO
?
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac ??? ??
?si n|||||| bac ??? ? ( 其中 ? 为 a? 与 b? 的夹角 )
定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
?
，指向符合
右手系,
向量积也称为,叉积,、,外积,,
因此，两向量的向量积是一个向量。
向量积符合下列运算规律,
（ 1）,abba ???? ????
（ 2） 分配律,.)( cbcacba ??????? ??????
（ 3） 若 为数,? ).()()( bababa ?????? ????? ???
关于向量积的说明,
.0)1( ??? ?? aa )0s i n0( ??? ???
ba ??)2( // ??,0??? ?? ba )0,0( ???? ?? ba
,kajaiaa zyx ???? ??? kbjbibb zyx ???? ???设
??ba ?? )( kajaia zyx ??? ?? )( kbjbib zyx ??? ???
,kji ???? ??
,0???????? ?????? kkjjii
,jik ??? ??,ikj ??? ??
,kij ??? ???,jki ??? ???,ijk ??? ???
kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy ??? )()()( ??????
向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
???
??
??
ba ??// ??
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ??
由上式可推出
z
zyx
b
aaa ??
00 0,0 ??? yx aa
补充
|| ba
??
? 表示以 a? 和 b
?
为邻边
的平行四边形的面积,
xb, yb, zb 不能同时为零，但允许两个为零，
例如,
a?
b?
bac ??? ??
例 3 求与 kjia
????
423 ???, kjib
????
2??? 都
垂直的单位向量,
解
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
???
???
???
211
423
?
??
kji
???
,510 kj ?? ??
,55510|| 22 ???c??
||
0
c
cc ?????,
5
1
5
2 ?
?
??
?
? ??? kj ??
例 4 在顶点为 )2,1,1( ?A, )2,6,5( ?B 和
)1,3,1( ?C 的三角形中，求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{ ??AC
}0,5,4{ ??AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS ?? 222 16121521 ???,225?
|| AC,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC
||521225 BD???,5|| ?? BD
例 5 设向量 pnm
???,,
两两垂直，符合右手规则，且
4|| ?m?, 2|| ?n?, 3|| ?p?,计算 pnm ??? ?? )(,
解 ),s i n(|||||| nmnmnm ?????? ?? ?
,8124 ????
0),( ???? pnm ???? ?
pnm ??? ?? )( ?co s|||| pnm ??? ???,2438 ???
依题意知 nm ?? ? 与 p? 同向，
数量积和向量积
一物体在常力 F
?
作用下沿直线从点 1M 移动
到点 2M,以 s
?
表示位移，则力 F
?
所作的功为
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向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba ?? ?
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实例
定义
一、两向量的数量积
由定义可知，两向量的数量积是一个数量,
a?
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数量积也称为,点积,、,内积,,
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的
模和另一个向量在这向量的方向上的投影的
乘积,
关于数量积的说明,
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数量积符合下列运算规律,
（ 1）交换律, ;abba ???? ???
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两向量夹角余弦的坐标表示式
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例 1 已知 }4,1,1{ ??a?, }2,2,1{ ??b
?
，求 （ 1 ）
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??
? ； （ 2 ） a? 与 b
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的夹角； （ 3 ） a? 在 b
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上的投影,
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设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
?
作用
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?
与 OP 的夹角为 ?,力
F
?
对支点 O 的力矩是一向量 M
?
，它的模
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的方向垂直于 OP 与 F
?
所决
定的平面,指向符合右手系,
实例
二、两向量的向量积
L
F?
P
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?
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac ??? ??
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定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
?
，指向符合
右手系,
向量积也称为,叉积,、,外积,,
因此，两向量的向量积是一个向量。
向量积符合下列运算规律,
（ 1）,abba ???? ????
（ 2） 分配律,.)( cbcacba ??????? ??????
（ 3） 若 为数,? ).()()( bababa ?????? ????? ???
关于向量积的说明,
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补充
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? 表示以 a? 和 b
?
为邻边
的平行四边形的面积,
xb, yb, zb 不能同时为零，但允许两个为零，
例如,
a?
b?
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例 3 求与 kjia
????
423 ???, kjib
????
2??? 都
垂直的单位向量,
解
zyx
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例 4 在顶点为 )2,1,1( ?A, )2,6,5( ?B 和
)1,3,1( ?C 的三角形中，求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{ ??AC
}0,5,4{ ??AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS ?? 222 16121521 ???,225?
|| AC,5)3(4 22 ???? ||21 BDS ?? || AC
||521225 BD???,5|| ?? BD
例 5 设向量 pnm
???,,
两两垂直，符合右手规则，且
4|| ?m?, 2|| ?n?, 3|| ?p?,计算 pnm ??? ?? )(,
解 ),s i n(|||||| nmnmnm ?????? ?? ?
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依题意知 nm ?? ? 与 p? 同向，
