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第三节 定积分的换元法和分部积分法
I,定积分的换元积分法
II,定积分的分部积分法
第五章 定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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一、预备知识
I,定积分的换元积分法
1.不定积分的换元法（凑微分法、第二
类换元法）
2.牛顿 -莱布尼兹公式
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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定理 假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
则 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(,
二、定积分的换元积分法
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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应用换元公式时应注意,
（ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t? 后，不
必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原
变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限
分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变,
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例 1 计算 ? ?30 1 dxxx
解,1 tx ??令,12 ?? tx则,2 td tdx ?;10 ??? tx 23 ??? tx
td ttt 2121
2
??? ?原式 dtt? ?? 21 2 )1(2
2
1
3
]3[2 tt ?? 38?
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例 2 计算 ?
?
2
0
3 co ss i n xdxx
解,c o s,s in xdtdttx ?? 则令
12;00 ??????? txtx
dtt?? 10 3原式 104 ]41[ t? 41?
注意 使用定积分换元法，最后不必回代过
程。但必须在换元的同时积分上下限也要
作相应的变换。
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例 3 计算
解
? ???a adxxax0 22 )0(.1
令,s i n tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式 ?
?
??
? 2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
?
?
??
2
0 co ss in
co s dt
tt
t? ? ?
?
??
?
?
?
??? 2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
? ? 20c o ss inln21221 ?????? tt.4??
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例 4 设 )( xf 在 ],[ aa? 上连续,证明
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
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?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
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奇函数
例 5 计算
解
.
1
co s2)2(s i n)1( 1
1 2
2
2
8 ??
?
?
?? ?
? dx
x
xxxdxx
（ 2）原式 ?? ?? 1 1 21 2 dxx?? ?? 1 1 21c o s dxxxx
偶函数
? ?? 10 21 14 dxx??2 10][ a r c s in4 x?
xxxf s i n)( 8?在对称区间 ]22[ ???,
上是奇函数，故
（ 1）因为
?
?
?? ?
2
2
8 0s i n x d xx
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一、预备知识
II,定积分的分部积分法
1.不定积分的分部积分法
2.牛顿 -莱布尼兹公式
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设函数 )( xu, )( xv 在区间 ? ?ba,上具有连续
导数，则有 ? ? ?? ??
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式
例 6
解
计算 ?10 dxxe x
?? 21 )( xexd
dxxxe x ??? 1010][ 10][ xee ??
二、定积分的分部积分法
?10 dxxe x
1?
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例 7 计算 ? ?20 s i n xdxx
解 ? ?2
0 s i n xdxx ?
??? 2
0 )( c o s xxdx
? ?? ??? 00 c o s]c o s[ dxxx
???? 0][ s in x
??
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例 8 计算,2co s140?
?
? x
x d x
解,co s22co s1 2 xx ???
? ? ?? 40 2co s1 xxdx? ?? 40 2c o s2 xxdx ? ?xdx t a n240? ??
? ? 40t a n21 ?? xx x d xt a n21 40? ??
? ? 40s ecln218 ???? x.4 2ln8 ???
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例 8 计算 dxe x?10
解 令 ),0(2 ?? ttx 则,2 td tdx ? 且当;00 ?? tx 时,。时，当 11 ?? tx
dxe x?10 ?? 102 dtte t
由例 6得 ? ?10 1dtte t
所以 dxe x?10 2?
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1.定积分的换元法
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
2.定积分的分部积分公式
? ?,?? ?? bab
a
b
a v d uuvud v
（注意与不定积分分部积分法的区别）
小结
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? ?
? ? ??
3
0
4
1
4
0
1
0
22
ln
)4(a rct a n)3(
1)2(
1
1
)1(
dx
x
x
xdx
dxxxdx
x
练习题
求下列定积分
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练习题解答
解 )0(.1 2 ?? ttx令 且则,2 td tdx ?;00 ?? tx 时，当 于是时，当,24 ?? tx
? ?40 1 xdx dttt? ?? 20 1 2 dtt? ??? 20 )1 11(2
20]1ln[2 tt ???
3ln24 ??
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tx s in.2 ?令 且则,c o s td tdx ?;00 ?? tx 时，当 于是时，当,21 ??? tx
? ?10 22 1 dxxx ? ?? 20 22 co ss i n t d tt
?
?
? 20 2 )2(s in41 dtt?
?
?? 20 )4c o s1(81 dtt
2
0)]4s i n4
1(
8
1[ ??? tx
16
??
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3.令,a r c t a n xu ?,,xvdxdv ??
? 30 a rct a n x d x
? ??? 30 230 1]a rc t a n[ xxdxxx
? ????? 30 2
2
1
)1(
2
1
3
3
x
xd
3
0
2 )]1ln (
2
1[
3
3 x????
2ln33 ???
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? 41 ln.4 dxxx?? 41 ln2 xxd
? ??? 4141 1]ln2[ dxxxxx
??? 4124ln4 xdx 41]4[4ln4 x??
)12ln2(4 ??
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习题 5-3
1.求下列定积分
?? ?
?? ?
???
? ?
?? ?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
??
?
?
?
?
1
1
22
2
1
1
1
2
72
2
0
2
4
0
3
0
1
0
2
1
00
2
0 0
36
2
1
2
1
1
0 1
2
)1()14(
1
)13(
1
)12(
2)11(
11
)10(
1
)9(
1
a rc t a n
)8()7(2co s1)6(
s i ns i n)5(s i nco s)4(
)3(
ln1
)2(1)1(
dxxx
x
dxx
dx
x
x
dxx
x
x d x
x
dx
dx
x
x
ee
dx
dxx
dxxxx d xx
dx
x
e
x
dx
dxxx
xx
x
e
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2.求下列定积分
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
2
0
2
0
22
1
0
2
0
1
2
1
0
co s)6(s i n)5(
s i n)4()3(
a rcs i n)2(ln)1(
x d xxx d xx
x d xedxxe
x d xx d xx
xx
e
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习题 5-3答案
2
2
2
2
)6(2)5(
2
)1(
)4(
2
1)3(1
2
3
12
)2(
4
)1(
)1.(2
2)14(0)13(
3
3)12(
2
)11(
3
5
)10(3ln24)9(
32
)8(
4
a rc t a n)7(22)6(
3
4
)5(
7
1
)4()3()12(2)2(
3
1
)1.(1
???
?
???
??
?
?
?
?
??
?
??
?
e
e
e
e
ee
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六、证明：
? ?
?
???
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
?
?
?
? ?
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
? ?1,0)( 在xf
上连续，
证明 ? ?
?
?
?
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,第三节 定积分的换元法和分部积分法
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练习题答案
一,1, 0 ； 2,
3
4
?? ； 3,
2
?； 4,
32
3
?； 5, 0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2 ? ； 3, 2ln21 ? ； 4,
3
4；
5,
22； 6, ?
2
3； 7,
4
?； 8,
8
?；
9,
4
17； 1 0, 时当 0??,?2
3
8
? ； 当
20 ?? ?
时,
3
2
3
8
3
?
? ??； 当
2??
时,?2
3
8
??,
三,)1l n (1
1?
?? e,
六,2,
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与难
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指导
1,掌握定积分换元积分公式
2,理解定积分换元积分法并用其进行基
本计算
3,掌握定积分分部换元积分公式
4,理解定积分分部换元积分法并用其进
行基本计算。
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
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本节的重点与难点
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与难
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? 重点
1,理解定积分换元积分法并用其进行基本计算 ;
2,理解定积分分部换元积分法并用其进行基本
计算,
? 难点
1,正确用定积分换元积分法进行基本计算 ;
2,正确用定积分分部换元积分法进行基本计
算 。
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
I,定积分的换元积分法
II,定积分的分部积分法
第五章 定积分
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与要求
本节重点
与难点
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一、预备知识
I,定积分的换元积分法
1.不定积分的换元法（凑微分法、第二
类换元法）
2.牛顿 -莱布尼兹公式
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定理 假设
（ 1 ） )( xf 在 ],[ ba 上连续；
（ 2 ）函数 )( tx ?? 在 ],[ ?? 上是单值的且有连续
导数；（ 3 ）当 t 在区间 ],[ ?? 上变化时,)( tx ?? 的值
在 ],[ ba 上变化，且 a?)( ??, b?)( ??,
则 有 dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(,
二、定积分的换元积分法
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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应用换元公式时应注意,
（ 1） 求出 )()]([ ttf ?? ? 的一个原函数 )( t? 后，不
必象计算不定积分那样再要把 )( t? 变换成原
变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限
分别代入 )( t? 然后相减就行了,
（ 2）
用 )( tx ?? 把变量 x 换成新变量 t 时，积分限也
相应的改变,
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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例 1 计算 ? ?30 1 dxxx
解,1 tx ??令,12 ?? tx则,2 td tdx ?;10 ??? tx 23 ??? tx
td ttt 2121
2
??? ?原式 dtt? ?? 21 2 )1(2
2
1
3
]3[2 tt ?? 38?
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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例 2 计算 ?
?
2
0
3 co ss i n xdxx
解,c o s,s in xdtdttx ?? 则令
12;00 ??????? txtx
dtt?? 10 3原式 104 ]41[ t? 41?
注意 使用定积分换元法，最后不必回代过
程。但必须在换元的同时积分上下限也要
作相应的变换。
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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例 3 计算
解
? ???a adxxax0 22 )0(.1
令,s i n tax ?
ax?,2??? t 0?x,0?? t
,c o s td tadx ?
原式 ?
?
??
? 2
0 22 )s i n1(s i n
co s dt
tata
ta
?
?
??
2
0 co ss in
co s dt
tt
t? ? ?
?
??
?
?
?
??? 2
0 c o ss in
s inc o s1
2
1 dt
tt
tt
? ? 20c o ss inln21221 ?????? tt.4??
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例 4 设 )( xf 在 ],[ aa? 上连续,证明
① )( xf 为偶函数，则
? ?
?
?
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)( ；
② )( xf 为奇函数，则 ?
?
?
a
a
dxxf 0)(,
证,)()()(
0
0? ??
? ? ??
a
a
a
a dxxfdxxfdxxf
在 ??0 )(a dxxf 中令 tx ??,
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf,)(0? ?a dttf
① )( xf 为偶函数，则 ),()( tftf ??
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(;)(2 0?? a dttf
② )( xf 为奇函数，则 ),()( tftf ???
? ??? ? ??a a aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(,0?
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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奇函数
例 5 计算
解
.
1
co s2)2(s i n)1( 1
1 2
2
2
8 ??
?
?
?? ?
? dx
x
xxxdxx
（ 2）原式 ?? ?? 1 1 21 2 dxx?? ?? 1 1 21c o s dxxxx
偶函数
? ?? 10 21 14 dxx??2 10][ a r c s in4 x?
xxxf s i n)( 8?在对称区间 ]22[ ???,
上是奇函数，故
（ 1）因为
?
?
?? ?
2
2
8 0s i n x d xx
第三节 定积分的换元法和分部积分法
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一、预备知识
II,定积分的分部积分法
1.不定积分的分部积分法
2.牛顿 -莱布尼兹公式
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设函数 )( xu, )( xv 在区间 ? ?ba,上具有连续
导数，则有 ? ? ?? ??
b
a
b
a
b
a
v d uuvu d v,
定积分的分部积分公式
例 6
解
计算 ?10 dxxe x
?? 21 )( xexd
dxxxe x ??? 1010][ 10][ xee ??
二、定积分的分部积分法
?10 dxxe x
1?
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例 7 计算 ? ?20 s i n xdxx
解 ? ?2
0 s i n xdxx ?
??? 2
0 )( c o s xxdx
? ?? ??? 00 c o s]c o s[ dxxx
???? 0][ s in x
??
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例 8 计算,2co s140?
?
? x
x d x
解,co s22co s1 2 xx ???
? ? ?? 40 2co s1 xxdx? ?? 40 2c o s2 xxdx ? ?xdx t a n240? ??
? ? 40t a n21 ?? xx x d xt a n21 40? ??
? ? 40s ecln218 ???? x.4 2ln8 ???
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例 8 计算 dxe x?10
解 令 ),0(2 ?? ttx 则,2 td tdx ? 且当;00 ?? tx 时,。时，当 11 ?? tx
dxe x?10 ?? 102 dtte t
由例 6得 ? ?10 1dtte t
所以 dxe x?10 2?
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1.定积分的换元法
dxxfba? )( dtttf? ?? ?? ?? )()]([
2.定积分的分部积分公式
? ?,?? ?? bab
a
b
a v d uuvud v
（注意与不定积分分部积分法的区别）
小结
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? ?
? ? ??
3
0
4
1
4
0
1
0
22
ln
)4(a rct a n)3(
1)2(
1
1
)1(
dx
x
x
xdx
dxxxdx
x
练习题
求下列定积分
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练习题解答
解 )0(.1 2 ?? ttx令 且则,2 td tdx ?;00 ?? tx 时，当 于是时，当,24 ?? tx
? ?40 1 xdx dttt? ?? 20 1 2 dtt? ??? 20 )1 11(2
20]1ln[2 tt ???
3ln24 ??
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tx s in.2 ?令 且则,c o s td tdx ?;00 ?? tx 时，当 于是时，当,21 ??? tx
? ?10 22 1 dxxx ? ?? 20 22 co ss i n t d tt
?
?
? 20 2 )2(s in41 dtt?
?
?? 20 )4c o s1(81 dtt
2
0)]4s i n4
1(
8
1[ ??? tx
16
??
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3.令,a r c t a n xu ?,,xvdxdv ??
? 30 a rct a n x d x
? ??? 30 230 1]a rc t a n[ xxdxxx
? ????? 30 2
2
1
)1(
2
1
3
3
x
xd
3
0
2 )]1ln (
2
1[
3
3 x????
2ln33 ???
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? 41 ln.4 dxxx?? 41 ln2 xxd
? ??? 4141 1]ln2[ dxxxxx
??? 4124ln4 xdx 41]4[4ln4 x??
)12ln2(4 ??
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习题 5-3
1.求下列定积分
?? ?
?? ?
???
? ?
?? ?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
???
??
?
?
?
?
1
1
22
2
1
1
1
2
72
2
0
2
4
0
3
0
1
0
2
1
00
2
0 0
36
2
1
2
1
1
0 1
2
)1()14(
1
)13(
1
)12(
2)11(
11
)10(
1
)9(
1
a rc t a n
)8()7(2co s1)6(
s i ns i n)5(s i nco s)4(
)3(
ln1
)2(1)1(
dxxx
x
dxx
dx
x
x
dxx
x
x d x
x
dx
dx
x
x
ee
dx
dxx
dxxxx d xx
dx
x
e
x
dx
dxxx
xx
x
e
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2.求下列定积分
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
2
0
2
0
22
1
0
2
0
1
2
1
0
co s)6(s i n)5(
s i n)4()3(
a rcs i n)2(ln)1(
x d xxx d xx
x d xedxxe
x d xx d xx
xx
e
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习题 5-3答案
2
2
2
2
)6(2)5(
2
)1(
)4(
2
1)3(1
2
3
12
)2(
4
)1(
)1.(2
2)14(0)13(
3
3)12(
2
)11(
3
5
)10(3ln24)9(
32
)8(
4
a rc t a n)7(22)6(
3
4
)5(
7
1
)4()3()12(2)2(
3
1
)1.(1
???
?
???
??
?
?
?
?
??
?
??
?
e
e
e
e
ee
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六、证明：
? ?
?
???
a
a
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(,
并求
?
?
?
? ?
4
4
s i n1 x
dx
.
七、设
? ?1,0)( 在xf
上连续，
证明 ? ?
?
?
?
2
0
2
0
)c o s(
4
1
)c o s( dxxfdxxf,第三节 定积分的换元法和分部积分法
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练习题答案
一,1, 0 ； 2,
3
4
?? ； 3,
2
?； 4,
32
3
?； 5, 0,
二,1,
4
1； 2,
3
32
2 ? ； 3, 2ln21 ? ； 4,
3
4；
5,
22； 6, ?
2
3； 7,
4
?； 8,
8
?；
9,
4
17； 1 0, 时当 0??,?2
3
8
? ； 当
20 ?? ?
时,
3
2
3
8
3
?
? ??； 当
2??
时,?2
3
8
??,
三,)1l n (1
1?
?? e,
六,2,
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
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本节的学习目的与要求
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目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,掌握定积分换元积分公式
2,理解定积分换元积分法并用其进行基
本计算
3,掌握定积分分部换元积分公式
4,理解定积分分部换元积分法并用其进
行基本计算。
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
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本节的重点与难点
本节
知识
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与要
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本节
重点
与难
点
本节
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指导
? 重点
1,理解定积分换元积分法并用其进行基本计算 ;
2,理解定积分分部换元积分法并用其进行基本
计算,
? 难点
1,正确用定积分换元积分法进行基本计算 ;
2,正确用定积分分部换元积分法进行基本计
算 。
