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I,引入定积分概念的实例
II.定积分的定义
III.定积分的性质
第一节 定 积 分 的 概 念
第五章 定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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一、预备知识
I,引入定积分概念的实例
1.矩形的面积公式
A矩形 =长 *宽
2.匀速直线运动的路程
S=速度 *时间
3.极限的概念
第一节 定积分的概念
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第 3 页
?A
1,求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线
、)0)(()( ?? xfxfy 和直线
所组成的平面图形。 bxaxx ???,、0
显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法
解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。
a b x
y
o
)(xfy ?
二、引入定积分概念的实例
第一节 定积分的概念
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a b x
y
o a b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积,
（四个小矩形） （九个小矩形）
第一节 定积分的概念
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观察下列演示过程，注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
播放
第一节 定积分的概念
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根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下,
（ 1） 分割,在区间 [a,b]中插入 n-1个分点
bxxxxxa ni ????????,,,.,,210
把 [a,b]分成 n个小区间
),...,2,1(],[ 1 nixx ii ??
其长度为
过各个分点作 x轴的垂线，将曲边梯形分成 n个
小曲边梯形，其面积为
a b x
y
o
)(xfy ?
1?ix ix ),.,,,2,1(
1 nixxx iii ???? ?
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（ 2） 近似,用小矩形的面积近似代替小曲边
梯形的面积
,)( iii xfA ????
（ 3） 求和,曲边梯形的面
积 A的近似值
.)(
1
ii
n
i
xfA ??? ?
?
],[ 1 iii xx ???
i?
（ 4） 取极限,当分割无限加细，
即小区间的最大长度
,)(l i m
10
ii
n
i
xfA ??? ?
???
? ?ini x??? ??1m a x
a b x
y
o
)(xfy ?
1?ix ix
趋于零 )0( ?? 时，有,
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2,求变速直线运动的路程
分析,把整段时间分割成若干小段，每小
段上近似匀速，求出各小段的路程再累加，
便得到路程的近似值，最后通过对时间的
无限细分求得路程的精确值,
设某物体作直线运动，其速度 )(tvv ?
,0)( ?tv
],[ ba t是时间间隔 上 的一个连续函数，且
求物体在这段时间内所经过的路
程。
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（ 1） 分割, bttttta nn ??????? ? 1210 ?
,1???? iii ttt
]),[()( 1 iiiiii tttvs ???????
（ 3） 求和 ii
n
i
tvs ??? ?
?
)(
1
（ 4） 取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ??? ?
???
)(l i m
10
路程的精确值
求路程的步骤如下,
（ 2） 近似,在每个小区间上以匀速直线运动
的路程近似代替变速直线运动的路程,
),...,2,1( nis i ??各个小区间物体运动的距离为
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bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?
1???? iii xxx, ),,2,1( ni ??,
ii
n
i
n xfS ??? ?
?
)(
1
,
II,定积分的定义
定义 设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有定义，任
取分点
把区间分成 n个小区间 ][ 1 ii xx ??,各个小区间的
长度为 记
? ?,m a x1 ini x??? ?? 取任意一点 ],,[ 1 iii xx ??? 作和式
如果不论对 ],[ ba 怎样分割,也不论在小区间
一、定积分的定义
第一节 定积分的概念
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? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
?],[ ba
，记为
积分上限
积分下限
积分和
上如何取点,i? 只要当 0?? 时，和式 nS
的极限存在，则称此极限为函数 )(xf 在区间
],[ ba 上的 定积分
积分区间
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注意,
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
也与区间的分法和 i? 的取法无关,
（ 2 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量用什么字母表示无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积 ；
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闭区间 ],[ ba 上连续函数 )( xf 在 ],[ ba 上的可积,
（ 3 ）在定积分的定义中假定了 ba ?,为了计算
方便，规定如下,
? ?? ba dxxfba 0)(时，当
? ???? ba ab dxxfdxxfba )()(时，当
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,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a? ?
? ? ?
二、定积分的几何意义
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几何意义,
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
?? ?
?
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III,定积分的性质
性质 1 ? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).性质 2
性质 3 假设 bca ??
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立, cba,,
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性质 4 dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
性质 6 如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
性质 7 设 M 及 m 分别是函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值,
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
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性质 8（定积分中值定理）
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
积分中值公式
积分中值公式的几何解释,
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
底边,
使得以区间 ],[ ba 为
以曲线 )( xfy ?
等于同一底边而高为 )( ?f
为曲边的曲边梯形的面积
的一个矩形的面积。x
y
o a b
)(?f
?
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性质 9（对称区间上奇偶函数的积分性质）
设 )(xf 在区间 ],[ aa? 上连续，则有
)(xf
)(xf
（ 1）如果
（ 2）如果
为奇函数，则
为偶函数，则
?? ?aa dxxf,0)(
? ?? ?a a a dxxfdxxf,)(2)( 0
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例 1
解
估计定积分 的值。 ? ? ?o dxx )s in1(
因为 在区间 上连续,
由积分估值定理，得
xxf s i n1)( ?? ],0[ ?
)0(2s in11 ?????? xx
又因为
????? ? ? 2)s in1(0 dxx
故在区间 ],0[ ? 上可积,
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例 2
解
比较定积分 的大小。 与
因为在区间 [1,2]上，有
由定积分性质得
dxx?21 2 dxx?21 3
32 xx ?
?dxx?2
1
2 dxx?2
1
3
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例 3
解
计算 x d xxx s in)(2
2
42?
? ?
因为函数 xxx s i n)( 42 ?
是对称区间 [-2,2]上的奇函数，
所以有
x d xxx s in)(2 2 42?? ?0?
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１．定积分的实质,特殊和式的极限,
２．定积分的思想和方法,
分割 化整为零
求和 积零为整
取极限 精确值 —— 定积分
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
3．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
小结
第一节 定积分的概念
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1,将 5.1.1中曲边梯形的面积和变速直线
运动的路程用定积分表示。
练习题
?? ba dxxfA )(
?? ba dttvS )(
解答,
第一节 定积分的概念
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解答
原式
??
?
??
? ??????????
?? n
n
n
n
nnnn s in
)1(s in2s ins in1lim ?
?? ?
???
n
in n
i
n 1 s in
1li m
nn
in
in
???
?
??
?
? ?
?? ???? 1 s i nlim
1
.s i n1 0? ??? xdx ix?i?
2,将和式极限,
??
?
??
? ???????
?? n
n
nnnn
)1(s in2s ins in1lim ?
表示成定积分,
第一节 定积分的概念
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3.利用定积分的几何意义说明下列等式,
??
??
?
?
? 2
0
2
2
c o s2c o s)1( xdxdxx
???? dxx
1
0
24)2(
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4.求下列定积分
? ?31 )21()1( dxx
??22 3)2( dxx
解答
解答
? ?31 )21( dxx? ??? 31 312 xdxdx
]2)31(21[22 ????? 10?
因为函数 3x 在对称区间 [-2.2]上为奇函数
所以 ??22 3dxx 0?
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习题 5-1
1.用定积分表示由曲线 12 ?? xy 与直线,1?x
xx 及4? 轴所围成的曲边梯形的面积。
2.利用定积分的几何意义，作图说明,
4
)2(
12)1(
2
0
22
1
0
R
dxxR
x d x
R ?
??
?
?
?
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3.用定积分下列各图中阴影部分的面积,
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4.估计下列定积分的值,
dxx xdxx? ? ??41 21 22 1)2()1()1(
5.根据定积分的性质，比较下列各组积分值的大小,
? ? ? ?
? ? ??
??
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
4
3
4
3
232
1
2
)1l n (,)4()1(,)3(
)( l n,ln)2(,)1(
dxxx d xdxxdxe
dxxx d xdxxdxx
x
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习题 5-1答案
? ? ? ?
? ?? ?
??
??
? ?
?
????
??
?
?
????
???
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
1
0
4
3
4
3
2
2
1
2
1
23
2
1
2
4
1
2
1
1
22
1
0
2
2
4
1
2
)1l n ()4()1()3(
ln)( l n)2()1.(5
2
1
15
2
)2(51)1(6)1.(4
)2()4()1()3(
)]()([)2(co s)1.(3
.2,)1(.1
xdxdxxdxxdxe
xdxdxxdxxdxx
dx
x
x
dxx
dxxxdxx
dxxgxfxdx
dxx
x
b
a
略
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1,理解定积分的定义
2,掌握定积分的几何意义
3,掌握定积分的其它性质
4,了解定积分定义中的数学思想方法。
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第一节 定积分的概念
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? 重点
1,利用定积分的几何意义写出曲边梯形
的面积表达式
2,定积分的性质
3,定积分定义中的数学思想方法。
? 难点
? 定积分定义中的数学思想方法 。
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I,引入定积分概念的实例
II.定积分的定义
III.定积分的性质
第一节 定 积 分 的 概 念
第五章 定积分
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与要求
本节重点
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一、预备知识
I,引入定积分概念的实例
1.矩形的面积公式
A矩形 =长 *宽
2.匀速直线运动的路程
S=速度 *时间
3.极限的概念
第一节 定积分的概念
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?A
1,求曲边梯形的面积
曲边梯形是指由连续曲线
、)0)(()( ?? xfxfy 和直线
所组成的平面图形。 bxaxx ???,、0
显然曲边梯形的面积无法用初等几何的方法
解决，但这一问题可以用极限的方法来求解。
a b x
y
o
)(xfy ?
二、引入定积分概念的实例
第一节 定积分的概念
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a b x
y
o a b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近
曲边梯形面积,
（四个小矩形） （九个小矩形）
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观察下列演示过程，注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系,
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根据上述分析求曲边梯形面积步骤如下,
（ 1） 分割,在区间 [a,b]中插入 n-1个分点
bxxxxxa ni ????????,,,.,,210
把 [a,b]分成 n个小区间
),...,2,1(],[ 1 nixx ii ??
其长度为
过各个分点作 x轴的垂线，将曲边梯形分成 n个
小曲边梯形，其面积为
a b x
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（ 2） 近似,用小矩形的面积近似代替小曲边
梯形的面积
,)( iii xfA ????
（ 3） 求和,曲边梯形的面
积 A的近似值
.)(
1
ii
n
i
xfA ??? ?
?
],[ 1 iii xx ???
i?
（ 4） 取极限,当分割无限加细，
即小区间的最大长度
,)(l i m
10
ii
n
i
xfA ??? ?
???
? ?ini x??? ??1m a x
a b x
y
o
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趋于零 )0( ?? 时，有,
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2,求变速直线运动的路程
分析,把整段时间分割成若干小段，每小
段上近似匀速，求出各小段的路程再累加，
便得到路程的近似值，最后通过对时间的
无限细分求得路程的精确值,
设某物体作直线运动，其速度 )(tvv ?
,0)( ?tv
],[ ba t是时间间隔 上 的一个连续函数，且
求物体在这段时间内所经过的路
程。
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（ 1） 分割, bttttta nn ??????? ? 1210 ?
,1???? iii ttt
]),[()( 1 iiiiii tttvs ???????
（ 3） 求和 ii
n
i
tvs ??? ?
?
)(
1
（ 4） 取极限 },,,m a x { 21 nttt ???? ??
i
n
i
i tvs ??? ?
???
)(l i m
10
路程的精确值
求路程的步骤如下,
（ 2） 近似,在每个小区间上以匀速直线运动
的路程近似代替变速直线运动的路程,
),...,2,1( nis i ??各个小区间物体运动的距离为
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bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?
1???? iii xxx, ),,2,1( ni ??,
ii
n
i
n xfS ??? ?
?
)(
1
,
II,定积分的定义
定义 设函数 )(xf 在区间 ],[ ba 上有定义，任
取分点
把区间分成 n个小区间 ][ 1 ii xx ??,各个小区间的
长度为 记
? ?,m a x1 ini x??? ?? 取任意一点 ],,[ 1 iii xx ??? 作和式
如果不论对 ],[ ba 怎样分割,也不论在小区间
一、定积分的定义
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? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(lim
10
?
?
被
积
函
数
被
积
表
达
式
积
分
变
量
?],[ ba
，记为
积分上限
积分下限
积分和
上如何取点,i? 只要当 0?? 时，和式 nS
的极限存在，则称此极限为函数 )(xf 在区间
],[ ba 上的 定积分
积分区间
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注意,
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(
也与区间的分法和 i? 的取法无关,
（ 2 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量用什么字母表示无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积 ；
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闭区间 ],[ ba 上连续函数 )( xf 在 ],[ ba 上的可积,
（ 3 ）在定积分的定义中假定了 ba ?,为了计算
方便，规定如下,
? ?? ba dxxfba 0)(时，当
? ???? ba ab dxxfdxxfba )()(时，当
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,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a? ?
? ? ?
二、定积分的几何意义
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几何意义,
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在
数和．之间的各部分面积的代直线
的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
??,
)(
?? ?
?
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III,定积分的性质
性质 1 ? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(,
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 ).性质 2
性质 3 假设 bca ??
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(,
补充,不论 的相对位置如何,上式总成立, cba,,
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性质 4 dxba ?? 1 dxba?? ab ??,
性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
性质 6 如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )(, )( ba ?
性质 7 设 M 及 m 分别是函数
)( xf 在区间 ],[ ba 上的最大值及最小值,
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
则 0)( ?? dxxfba, )( ba ?
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性质 8（定积分中值定理）
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ?, )( ba ?? ?
积分中值公式
积分中值公式的几何解释,
在区间 ],[ ba 上至少存在一
个点 ?,
底边,
使得以区间 ],[ ba 为
以曲线 )( xfy ?
等于同一底边而高为 )( ?f
为曲边的曲边梯形的面积
的一个矩形的面积。x
y
o a b
)(?f
?
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性质 9（对称区间上奇偶函数的积分性质）
设 )(xf 在区间 ],[ aa? 上连续，则有
)(xf
)(xf
（ 1）如果
（ 2）如果
为奇函数，则
为偶函数，则
?? ?aa dxxf,0)(
? ?? ?a a a dxxfdxxf,)(2)( 0
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例 1
解
估计定积分 的值。 ? ? ?o dxx )s in1(
因为 在区间 上连续,
由积分估值定理，得
xxf s i n1)( ?? ],0[ ?
)0(2s in11 ?????? xx
又因为
????? ? ? 2)s in1(0 dxx
故在区间 ],0[ ? 上可积,
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例 2
解
比较定积分 的大小。 与
因为在区间 [1,2]上，有
由定积分性质得
dxx?21 2 dxx?21 3
32 xx ?
?dxx?2
1
2 dxx?2
1
3
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例 3
解
计算 x d xxx s in)(2
2
42?
? ?
因为函数 xxx s i n)( 42 ?
是对称区间 [-2,2]上的奇函数，
所以有
x d xxx s in)(2 2 42?? ?0?
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１．定积分的实质,特殊和式的极限,
２．定积分的思想和方法,
分割 化整为零
求和 积零为整
取极限 精确值 —— 定积分
求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
3．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
小结
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1,将 5.1.1中曲边梯形的面积和变速直线
运动的路程用定积分表示。
练习题
?? ba dxxfA )(
?? ba dttvS )(
解答,
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解答
原式
??
?
??
? ??????????
?? n
n
n
n
nnnn s in
)1(s in2s ins in1lim ?
?? ?
???
n
in n
i
n 1 s in
1li m
nn
in
in
???
?
??
?
? ?
?? ???? 1 s i nlim
1
.s i n1 0? ??? xdx ix?i?
2,将和式极限,
??
?
??
? ???????
?? n
n
nnnn
)1(s in2s ins in1lim ?
表示成定积分,
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3.利用定积分的几何意义说明下列等式,
??
??
?
?
? 2
0
2
2
c o s2c o s)1( xdxdxx
???? dxx
1
0
24)2(
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4.求下列定积分
? ?31 )21()1( dxx
??22 3)2( dxx
解答
解答
? ?31 )21( dxx? ??? 31 312 xdxdx
]2)31(21[22 ????? 10?
因为函数 3x 在对称区间 [-2.2]上为奇函数
所以 ??22 3dxx 0?
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习题 5-1
1.用定积分表示由曲线 12 ?? xy 与直线,1?x
xx 及4? 轴所围成的曲边梯形的面积。
2.利用定积分的几何意义，作图说明,
4
)2(
12)1(
2
0
22
1
0
R
dxxR
x d x
R ?
??
?
?
?
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3.用定积分下列各图中阴影部分的面积,
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4.估计下列定积分的值,
dxx xdxx? ? ??41 21 22 1)2()1()1(
5.根据定积分的性质，比较下列各组积分值的大小,
? ? ? ?
? ? ??
??
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
4
3
4
3
232
1
2
)1l n (,)4()1(,)3(
)( l n,ln)2(,)1(
dxxx d xdxxdxe
dxxx d xdxxdxx
x
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习题 5-1答案
? ? ? ?
? ?? ?
??
??
? ?
?
????
??
?
?
????
???
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
1
0
1
0
4
3
4
3
2
2
1
2
1
23
2
1
2
4
1
2
1
1
22
1
0
2
2
4
1
2
)1l n ()4()1()3(
ln)( l n)2()1.(5
2
1
15
2
)2(51)1(6)1.(4
)2()4()1()3(
)]()([)2(co s)1.(3
.2,)1(.1
xdxdxxdxxdxe
xdxdxxdxxdxx
dx
x
x
dxx
dxxxdxx
dxxgxfxdx
dxx
x
b
a
略
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1,理解定积分的定义
2,掌握定积分的几何意义
3,掌握定积分的其它性质
4,了解定积分定义中的数学思想方法。
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第一节 定积分的概念
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? 重点
1,利用定积分的几何意义写出曲边梯形
的面积表达式
2,定积分的性质
3,定积分定义中的数学思想方法。
? 难点
? 定积分定义中的数学思想方法 。
