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第三章 习题课
一、主要内容
二、典型例题
三、测 验 题
第三章 导数的应用
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本章的
重点与
难点
本章的
目的与
要求
本章的
复习指
导
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1、拉格朗日中值定理
拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那
末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
).10()( 0 ????????? ?? xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
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第三章 导数的应用
本章
的重
点与
难点
本章
的目
的与
要求
本章
的复
习指
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第 3 页
推论,
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
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2、洛必达法则
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及 ??00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2 ?????? ?
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型, ),00( )(??
注意,洛必达法则的使用条件,
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3、导数的应用
定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少
在，那末函数内如果在
上单调增加；
在，那末函数内如果在
可导
内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
(1) 函数单调性的判定法
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.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个点
内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
?
?
定义
(2) 函数的极值及其求法
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设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且
在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数
叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf ??
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
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( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf 符
号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
?xf,0)(
0
''
?xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
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求极值的步骤,
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号
在在驻点左右的正负号或检查 xfxf ???
.)4( 求极值
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步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题
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实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?
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第 12 页;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
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定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在导数
内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0" ?xf,
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方法 1,
,0)(
,)(
0
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
方法 2,
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线
是那末而且
的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
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.1.1 20 dxyds ???弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
?
??
?曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
??
???
(5) 弧微分 曲率 曲率圆
曲率的计算公式
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.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆
为半径作为圆心以使取一点
在凹的一侧处的曲线的法线上在点
处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
????
?
?
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 ???? kk
曲率圆.3 0
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典型例题,
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例 1,
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf目录 后退
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),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
?
?
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
? ? )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
?+ ?,得
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
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例 2 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即目录 后退
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例 3
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得目录 后退 主页
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y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???目录 后退 主页
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x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
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x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为目录 后退 主页
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x
y
o
xy?
1? 1
作图
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测 验 题
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一, 选择 题,
1,若 )( xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内可导，且
),( bax ? 时,0)( ?? xf,又 0)( ?af,则（ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
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2, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的（ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
3,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则（ ）,
（ A ） 极大值一定是最大值, 且极小值一定是最小值 ；
（ B ） 极大值一定是最大值, 或极小值一定是最小值 ；
（ C ） 极大值不一定是最大值, 极小值也不一定是
最小值 ；
（ D ） 极大值必大于极小值,
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4,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 (
),
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
5,设
0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中（点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在,
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件；（ D ）既非充分也非必要条
件, 目录 后退
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二、求极限,
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（ 0?a ）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
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三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
,
五、设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点（ 1, 2 ）,
并在该点有水平切线，
)( xf
交 x 轴于点（ 3, 0 ）,
求
)( xf
,
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一,1, D ； 2, B ； 3, C ； 4, D ； 5, B ；
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三、
1:2
,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
????? xxxxf,
测验题答案
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本章的目的与要求
1、了解拉格朗日中值定理及它的几何解释。
2、掌握函数单调性的判别法和函数极值的求法，会解简
单关于函数最大值和最小值的应用问题。
3、掌握曲线凹凸性的判别法和拐点的求法。
4、掌握应用洛必达法则求极限的方法。
5、了解曲率和曲率半径的概念并会一些简单的计算。
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本章的重点与难点
难点, 1,曲率的概念；
2、应用问题中最大值和最小值的列式。
重点,1,拉格朗日中值定理；
2、函数的单调性与极值的判定；
3、求应用问题中的最大值和最小值；
4、应用洛必达法则求极限。
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第三章 习题课
一、主要内容
二、典型例题
三、测 验 题
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1、拉格朗日中值定理
拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那
末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
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习指
导
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第 3 页
推论,
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
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第三章 导数的应用
本章
的重
点与
难点
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的与
要求
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第 4 页
2、洛必达法则
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及 ??00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2 ?????? ?
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型, ),00( )(??
注意,洛必达法则的使用条件,
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第三章 导数的应用
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3、导数的应用
定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少
在，那末函数内如果在
上单调增加；
在，那末函数内如果在
可导
内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
(1) 函数单调性的判定法
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.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个点
内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
?
?
定义
(2) 函数的极值及其求法
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设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且
在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数
叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf ??
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
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( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf 符
号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
定理 (第一充分条件 )
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
?xf,0)(
0
''
?xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
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求极值的步骤,
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号
在在驻点左右的正负号或检查 xfxf ???
.)4( 求极值
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步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题
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实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?
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第 12 页;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
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定理 1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在导数
内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是
0)( 0" ?xf,
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方法 1,
,0)(
,)(
0
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
方法 2,
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线
是那末而且
的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
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.1.1 20 dxyds ???弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
?
??
?曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
??
???
(5) 弧微分 曲率 曲率圆
曲率的计算公式
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.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆
为半径作为圆心以使取一点
在凹的一侧处的曲线的法线上在点
处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
????
?
?
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 ???? kk
曲率圆.3 0
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典型例题,
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例 1,
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf目录 后退
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),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
?
?
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
? ? )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
?+ ?,得
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
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例 2 ).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即目录 后退
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例 3
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得目录 后退 主页
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y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???目录 后退 主页
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x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
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x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为目录 后退 主页
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x
y
o
xy?
1? 1
作图
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测 验 题
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一, 选择 题,
1,若 )( xf 在 ],[ ba 上连续，在 ),( ba 内可导，且
),( bax ? 时,0)( ?? xf,又 0)( ?af,则（ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
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2, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的（ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
3,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则（ ）,
（ A ） 极大值一定是最大值, 且极小值一定是最小值 ；
（ B ） 极大值一定是最大值, 或极小值一定是最小值 ；
（ C ） 极大值不一定是最大值, 极小值也不一定是
最小值 ；
（ D ） 极大值必大于极小值,
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4,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 (
),
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
5,设
0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中（点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在,
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件；（ D ）既非充分也非必要条
件, 目录 后退
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二、求极限,
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（ 0?a ）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
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三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
,
五、设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点（ 1, 2 ）,
并在该点有水平切线，
)( xf
交 x 轴于点（ 3, 0 ）,
求
)( xf
,
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一,1, D ； 2, B ； 3, C ； 4, D ； 5, B ；
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三、
1:2
,
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
????? xxxxf,
测验题答案
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本章的目的与要求
1、了解拉格朗日中值定理及它的几何解释。
2、掌握函数单调性的判别法和函数极值的求法，会解简
单关于函数最大值和最小值的应用问题。
3、掌握曲线凹凸性的判别法和拐点的求法。
4、掌握应用洛必达法则求极限的方法。
5、了解曲率和曲率半径的概念并会一些简单的计算。
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本章的重点与难点
难点, 1,曲率的概念；
2、应用问题中最大值和最小值的列式。
重点,1,拉格朗日中值定理；
2、函数的单调性与极值的判定；
3、求应用问题中的最大值和最小值；
4、应用洛必达法则求极限。
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