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Ⅰ, 原函数的概念
Ⅱ, 不定积分的定义和几何意义
Ⅲ, 基本积分公式
第一节 不定积分的概念
第四章 不定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
Ⅳ,不定积分的性质
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第 2 页
Ⅰ, 原函数的概念
一、预备知识
1.导基本公式和运算
2.微分的定义 dxxfxdf )()( ??
第一节 不定积分的概念
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例 ? ?,xx c o ss in ?? xs i n 是 xc o s 的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的
即 Ix ??,都有 )()( xfxF ??
或 dxxfxdF )()( ?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
? ?,c o s1s i n xx ???
二、原函数的定义
第一节 不定积分的概念
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问题,
定理 1（原函数族定理）,
如果函数 )(xf 有原函数，那么，它就有无
限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差
是常数。
(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
Cxxx ?? s i n1s i ns i n,,都是 xc os 的原函数,
? ? xCx c o ss in ???（ C为任意常数）
三、原函数族定理和原函数存在定理
第一节 不定积分的概念
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定理 2（原函数存在定理）,
简言之：连续函数一定有原函数,
问题,任何一个函数是否一定有原函数？
如果函数 )(xf 在某一区间上连续，则函数
)(xf 在该区间上的原函数一定存在。
)()( xfxF 是 的 一个原函数，那么,
)()( xfCxF 是?的所有原函数即原函数族,
其中 C为任意常数。
若
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关于原函数的说明,
（ 1）若,则对于任意常数, )()( xfxF ?? C
CxF ?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数,)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF ?? )()(
（ 为任意常数） C
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一,不定积分的定义
不定积分,记为 ? dxxf )(,
CxFdxxf ??? )()(
积
分
号
被
积
函
数
被
积
表
达
式
意
任
常
数
积
分
变
量
定义：如果 )()( xfxF 是 的一个原函数,
的所有原函数 )( xf那么 CxF ?)( 叫做 的)( xf
Ⅱ, 不定积分的定义和几何意义
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例 1 用微分法验证下列各式,
Cxdxx ??? 54 51)1(
Cxxdx ???? 3co s313s i n)2(
验证
)3co s31( ??? Cx?
4x?
?? dxx 4 Cx ?? 551
)1(
)2( x3s in?
?? x d x3s i n Cx ??? 3co s31
)51( 5 ?? Cx?
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二,不定积分的几何意义
函数 )( xf 的任何一个原函数的图象称为 )( xf
的 积分曲线, 函数 )( xf 的所有原函数的图象组成 )( xf 的
积分曲线族,)( CxFy ??
对于每一条积分曲线，
在相同的横坐标处，其斜
率均为 。)(xf 因此：在每
一条积分曲线上横坐标相
同的点处的切线彼此平行。
o x
y
)( xFy ?
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例 2 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的
切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2? ?? Cxx d x?,)( 2 Cxf ???
由曲线通过点（ 1,2）,1?? C
所求曲线方程为,12 ?? xy
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由不定积分的定义，可知
? ? ),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
结论,
微分运算与求不定积分的运算是, 互逆”
的,
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?
??
?
?
???
?
???
?
??
xx
1
1
.1
1
Cxdxx ????
??
??
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 根据积分运算和微分运算的“互逆”
关系，因此可以从求导基本公式得出
基本积分公式,
)1( ???
一、预备知识,
由公式
得 ?x 的所有原函数为,1
1
Cx ???
??
)1( ???
即
Ⅲ, 基本积分公式
第一节 不定积分的概念
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初等函数的求导公式,
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
xxx
xx
xx
xx
co tcs c)( cs c
cs c)( co t
s i n)( co s
)(
2
1
???
???
???
??? ???
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)(
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
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基
本
积
分
表
?
);1(1)2(
1
???????
??
?? Cxdxx;ln)3( ? ?? Cxxdx
说明,??,0x,ln? ?? Cxxdx
???? ])[l n (,0 xx,1)(1 xxx ????
,)l n(? ???? Cxxdx,||ln? ??? Cxxdx
)()(' xfxF ? ? ? )(')( xFdxxf
? ?? Cxdx1)1(
二、基本积分公式
第一节 不定积分的概念
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? ?x d xco s)6( ;s i n Cx ?
? ?x d xs i n)7( ;c o s Cx ??
?? xdx 2co s)8( ? ?xdx2s e c ;t a n Cx ?
?? xdx 2s i n)9( ? ?xdx2c s c ;c o t Cx ??
?? dxa x)4( ;ln Caa
x
?
?? dxe x)5( ;Ce x ?
第一节 不定积分的概念
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? ?xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx ?
? ?xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx ??
??? dxx 21 1)( 13 ;a r c t a n Cx ?
??? dxx 21 1)( 12 ;a r c s i n Cx ?
第一节 不定积分的概念
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例 3 求下列不定积分
.)2( 3 dxxx?
解
dxxx? 3)2( dxx?? 2
7
C
x
?
?
?
?
1
2
7
1
2
7
.92 2
9
Cx ??
根据积分公式 C
xdxx ?
???
??
??
1
1
dxx?
3
1)1(
dxx?
3
1)1( dxx?
?? 3
Cx ????
??
13
13
Cx ??? 22 1
第一节 不定积分的概念
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18
Ⅳ,不定积分的性质
一,不定积分的性质
二,直接积分法
第四章 不定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
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19
? ?? dxxgxf )]()([)2( ;)()(? ?? dxxgdxxf
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
一,不定积分的性质
? ?dxxkf )()1(,)(? dxxfk （ k 是常数,)0?k
例 1 求积分 dxexx x? ??? )co s31( 2
解 dxexx x? ??? )co s31( 2
dxex d xdxxdx x? ?? ? ???? co s3 2
xexxx ???? s in3C?目录 后退
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第一节 不定积分的概念
20
二,直接积分法
一、预备知识
1.不定积分基本公式。
2.等式恒等变形的一般技巧。其中常用的三
角公式有,
xxxx 2222 s e ct a n1)2(1c o ss i n)1( ????
x
xxxx
co s
s i nt a n)4(cs cco t1)3( 22 ???
同角三角函数公式
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指导
第一节 不定积分的概念
21
xxx
xx
co s
1s ec)6(
s in
co sco t)5( ??
xx s i n
1cs c)7( ?
倍角公式
xxx 22 s i nco s2co s ??
1co s2 2 ?? x
x2s i n21 ??
和差化积、积化和差公式等（略） 目录 后退 主页
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指导
第一节 不定积分的概念
22
解
C?
将被积函数经过适当的恒等变形，再利用
积分基本公式和基本性质求出结果的方法称为
直接积分法
例 2 求积分 dxxxxx? ?? )1co s2(
dxxxxx? ?? )1co s2(
? ?? ???? dxxx d xx d x 3
2
co s2
3
12 3s in xxx ???
二、直接积分法
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指导
第一节 不定积分的概念
23
例 3 求积分,)1( 3 dxxx? ?
dxxx? ? 3)1(解 dxx? ?? 3)11(
dxxxx? ???? )1331( 32
dxxdxxdxxdx? ??? ???? 32 1113
??x ?xln3 ?x3 221x C?
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第一节 不定积分的概念
24
例 4 求积分
解
dxe xx? 3
C?dxe xx? 3 dxe x)3(?? )3ln ( )3( ee x?
例 5 求积分 dxxx? ? 2
2
1
dxxx? ? 2
2
1解 dxx
xx?
?
???
2
2
1
1
?? ??? 21 xdxdx xx a r c t a n?? C?目录 后退 主页
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第一节 不定积分的概念
25
例 6 求积分
解
.2co s1 1? ? dxx
? ? dxx2co s1 1 ? ??? dxx 1c o s21
1
2
?? dxx2co s121 xta n21?
说明,以上几例中的被积函数都需要进行
恒等变形，才能使用基本积分表,
C?
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第一节 不定积分的概念
26
例 7 求积分
解
.t a n 2? xdx
? ?? dxx )1( s ec 2
?? ?? dxxdx2s ec,t a n Cxx ???
? xdx2t a n
例 8 求积分,2c o s 2? dxx
解 ?
?? dxx
2
c o s1
?? ?? x d xdx co s2121,s i n2121 Cxx ???
.2c o s 2? dxx
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与难
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第一节 不定积分的概念
27
例 9 求积分
解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
?
?
dxxx x? ?? )1( 21 22
2 dx
xx
xx?
?
???
)1(
1
22
22
dxxdxx ?? ??? 22 1 11
.a rct a n1 Cxx ????
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第一节 不定积分的概念
28
例 8 求
解
dxxx? 22 co ss i n 1
dxxx xx? ?? 22
22
c o ss in
c o ss in dx
xx? 22 co ss i n
1
dxxx )co s1s i n1( 22? ??
Cxx ??? c o tt a n
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本节
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本节
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求
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与难
点
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第一节 不定积分的概念
29
基本积分表
原函数的概念,)()( xfxF ??
不定积分的概念,? ?? CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系
小结
第一节 不定积分的概念
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求
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与难
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本节
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不定积分的性质
直接积分法
30
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本节的学习目的与要求
本节
知识
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本节
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与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
第一节 不定积分的概念
1,理解原函数的概念
2,了解原函数存在定理
3,理解不定积分的概念
4,了解不定积分的几何意义
5,基本积分公式 。
6,掌握基本积分公式；
7,掌握不定积分的性质；
8,熟练运用直接积分法 。
31
第二节 不定积分的性质
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本节的重点与难点
本节
知识
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本节
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本节
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与难
点
本节
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指导
? 重点
1,原函数的概念；
2,理解不定积分的概念；
3,基本积分公式 。
4,基本积分公式；
5,熟练运用直接积分法解题 。
? 难点
1,正确理解不定积分的概念 。
2,熟练运用直接积分法解题
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第 32 页
练习题
1.判断下列各式是否正确,
2
2
1)1( xx d x? ?
Cxdxx ??? 43)2(
)0(ln1)3( ???? xCxdxx
Cedxe xx ??? 22)4(
Cxdxx ????? )a r c s in(1 1)5( 2
错
错
正确
错
错
第一节 不定积分的概念
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与难
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2.填空题,
cxxdx ???? 3)()1( 32
1 21 ??x
cxxdx ???? 2co s)()2( x2s in21 ?
)()()3( ??? dxxe x Cxe x ?
)(a rct a n2)4( ?? dxxdxd x xx a rc t a n2
第一节 不定积分的概念
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习题 4-1
Cxdxx ???? 34 311)1(
1.利用微分法验证下列各等式
Cxxdxxx ?????? s i nco s)co s( s i n)2(
Cexdxe x
x
xx ?????
ln
5)5()3(
Cxadxxa x ????? 2222)4(
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2.求下列不定积分
dx
x
x
dx
xdxedx
xx
dxxxdxx
??
??
? ?
??
2
2
4 337
co s
s i n
)6()t a n1()5(
)5()4(
1
)3(
)2()1(
3 证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i n hc o s h
c o s hs i n h,
2
1
2
?
都是和
的原函数,
第一节 不定积分的概念
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1,略
2,( 1 ) C
x
?
8
8
( 2 ) C
x
?
19
4
4
19
( 3 ) Cx ??
?
2
1
2
(4) C
e
x
?
? )15( l n
)5(
(5) C??t a n
(6) Cx ?s ec
3.
Cxy ?? ln
,
习题 4-1答案
第一节 不定积分的概念
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求下列不定积分
dxxx? ?? )1s ec21(.1 2
dxxxx? ? )1(.2 2
dxx x? ? 3
2)1(
.3
C?
xxx ln12 1 2 ???
2
1
2
5
252 ?? xx
xxx lnt a n2 ??
C?
C?
练习题
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dxxx? ? )5(.4 5
dxxx? 2s i n 2co s.5
dxxx? ?? 22.6
C?
xx 2c o t ??
2
3
3
22 xx ?
65ln
5 6xx ?
C?
C?
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习题 4-1
1,求下列不定积分
??
? ?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
dx
xx
x
dx
x
x
xd
x
x
dxxx
dx
x
dx
xx
dx
x
x
dxx
x
x
s i nco s
co s
)8(
co s
s i n2
)7(
1
)6()1)(1()5(
)
1
3
2()4(
)1(
1
)3(
)1(
)2()co s2
1
()1(
2
2
2
2
4
2
222
2
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?? ? dxxxxdxx )t a n( s ecs ec)10(2s i n)9( 2
2.一曲线通过点 ),3,( 2e 且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。
3.一物体有静止开始运动，经过 )(st 后的速度是
),/(4 3 smt 问
（ 1）在 2s后物体离出发点的距离是多少？
（ 2）物体走完 625m需要多少时间？
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第一节 不定积分的概念
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习题 4-1答案
Cxxxcxx ????? 252321
5
2
3
42)2(s in2ln)1.(1
CxxCxx
x
????? a r c t a n3ln 2)4(a r c t a n1)3(
Cxxx
cxxxx
???
????
a rc t a n
3
1
)6(
3
1
3
2
7
2
)5(
3
32
3
7
2
CxxCxx ???? c o ss in)8(t a n)7(
CxxCxx ???? s e ct a n)10(2/)s in)(9(
smxy 5)2(,16)1.(3;1ln.2 ??目录 后退
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求
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第一节 不定积分的概念
第 1 页
Ⅰ, 原函数的概念
Ⅱ, 不定积分的定义和几何意义
Ⅲ, 基本积分公式
第一节 不定积分的概念
第四章 不定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
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Ⅳ,不定积分的性质
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第 2 页
Ⅰ, 原函数的概念
一、预备知识
1.导基本公式和运算
2.微分的定义 dxxfxdf )()( ??
第一节 不定积分的概念
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例 ? ?,xx c o ss in ?? xs i n 是 xc o s 的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的
即 Ix ??,都有 )()( xfxF ??
或 dxxfxdF )()( ?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
? ?,c o s1s i n xx ???
二、原函数的定义
第一节 不定积分的概念
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问题,
定理 1（原函数族定理）,
如果函数 )(xf 有原函数，那么，它就有无
限多个原函数，并且，其中任意两个原函数的差
是常数。
(1) 原函数是否唯一？
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
Cxxx ?? s i n1s i ns i n,,都是 xc os 的原函数,
? ? xCx c o ss in ???（ C为任意常数）
三、原函数族定理和原函数存在定理
第一节 不定积分的概念
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定理 2（原函数存在定理）,
简言之：连续函数一定有原函数,
问题,任何一个函数是否一定有原函数？
如果函数 )(xf 在某一区间上连续，则函数
)(xf 在该区间上的原函数一定存在。
)()( xfxF 是 的 一个原函数，那么,
)()( xfCxF 是?的所有原函数即原函数族,
其中 C为任意常数。
若
第一节 不定积分的概念
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关于原函数的说明,
（ 1）若,则对于任意常数, )()( xfxF ?? C
CxF ?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数,)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF ?? )()(
（ 为任意常数） C
第一节 不定积分的概念
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一,不定积分的定义
不定积分,记为 ? dxxf )(,
CxFdxxf ??? )()(
积
分
号
被
积
函
数
被
积
表
达
式
意
任
常
数
积
分
变
量
定义：如果 )()( xfxF 是 的一个原函数,
的所有原函数 )( xf那么 CxF ?)( 叫做 的)( xf
Ⅱ, 不定积分的定义和几何意义
第一节 不定积分的概念
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例 1 用微分法验证下列各式,
Cxdxx ??? 54 51)1(
Cxxdx ???? 3co s313s i n)2(
验证
)3co s31( ??? Cx?
4x?
?? dxx 4 Cx ?? 551
)1(
)2( x3s in?
?? x d x3s i n Cx ??? 3co s31
)51( 5 ?? Cx?
第一节 不定积分的概念
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二,不定积分的几何意义
函数 )( xf 的任何一个原函数的图象称为 )( xf
的 积分曲线, 函数 )( xf 的所有原函数的图象组成 )( xf 的
积分曲线族,)( CxFy ??
对于每一条积分曲线，
在相同的横坐标处，其斜
率均为 。)(xf 因此：在每
一条积分曲线上横坐标相
同的点处的切线彼此平行。
o x
y
)( xFy ?
第一节 不定积分的概念
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例 2 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的
切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy ?
根据题意知,2 xdxdy ?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2? ?? Cxx d x?,)( 2 Cxf ???
由曲线通过点（ 1,2）,1?? C
所求曲线方程为,12 ?? xy
第一节 不定积分的概念
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由不定积分的定义，可知
? ? ),()( xfdxxfdxd ??,)(])([ dxxfdxxfd ??
,)()(? ??? CxFdxxF,)()(? ?? CxFxdF
结论,
微分运算与求不定积分的运算是, 互逆”
的,
第一节 不定积分的概念
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?
??
?
?
???
?
???
?
??
xx
1
1
.1
1
Cxdxx ????
??
??
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 根据积分运算和微分运算的“互逆”
关系，因此可以从求导基本公式得出
基本积分公式,
)1( ???
一、预备知识,
由公式
得 ?x 的所有原函数为,1
1
Cx ???
??
)1( ???
即
Ⅲ, 基本积分公式
第一节 不定积分的概念
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初等函数的求导公式,
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
xxx
xx
xx
xx
co tcs c)( cs c
cs c)( co t
s i n)( co s
)(
2
1
???
???
???
??? ???
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)(
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
第一节 不定积分的概念
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基
本
积
分
表
?
);1(1)2(
1
???????
??
?? Cxdxx;ln)3( ? ?? Cxxdx
说明,??,0x,ln? ?? Cxxdx
???? ])[l n (,0 xx,1)(1 xxx ????
,)l n(? ???? Cxxdx,||ln? ??? Cxxdx
)()(' xfxF ? ? ? )(')( xFdxxf
? ?? Cxdx1)1(
二、基本积分公式
第一节 不定积分的概念
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? ?x d xco s)6( ;s i n Cx ?
? ?x d xs i n)7( ;c o s Cx ??
?? xdx 2co s)8( ? ?xdx2s e c ;t a n Cx ?
?? xdx 2s i n)9( ? ?xdx2c s c ;c o t Cx ??
?? dxa x)4( ;ln Caa
x
?
?? dxe x)5( ;Ce x ?
第一节 不定积分的概念
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? ?xdxx t a ns e c)10( ;s e c Cx ?
? ?xdxx c o tc s c)11( ;c s c Cx ??
??? dxx 21 1)( 13 ;a r c t a n Cx ?
??? dxx 21 1)( 12 ;a r c s i n Cx ?
第一节 不定积分的概念
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例 3 求下列不定积分
.)2( 3 dxxx?
解
dxxx? 3)2( dxx?? 2
7
C
x
?
?
?
?
1
2
7
1
2
7
.92 2
9
Cx ??
根据积分公式 C
xdxx ?
???
??
??
1
1
dxx?
3
1)1(
dxx?
3
1)1( dxx?
?? 3
Cx ????
??
13
13
Cx ??? 22 1
第一节 不定积分的概念
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18
Ⅳ,不定积分的性质
一,不定积分的性质
二,直接积分法
第四章 不定积分
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本节知识
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本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
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19
? ?? dxxgxf )]()([)2( ;)()(? ?? dxxgdxxf
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
一,不定积分的性质
? ?dxxkf )()1(,)(? dxxfk （ k 是常数,)0?k
例 1 求积分 dxexx x? ??? )co s31( 2
解 dxexx x? ??? )co s31( 2
dxex d xdxxdx x? ?? ? ???? co s3 2
xexxx ???? s in3C?目录 后退
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第一节 不定积分的概念
20
二,直接积分法
一、预备知识
1.不定积分基本公式。
2.等式恒等变形的一般技巧。其中常用的三
角公式有,
xxxx 2222 s e ct a n1)2(1c o ss i n)1( ????
x
xxxx
co s
s i nt a n)4(cs cco t1)3( 22 ???
同角三角函数公式
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第一节 不定积分的概念
21
xxx
xx
co s
1s ec)6(
s in
co sco t)5( ??
xx s i n
1cs c)7( ?
倍角公式
xxx 22 s i nco s2co s ??
1co s2 2 ?? x
x2s i n21 ??
和差化积、积化和差公式等（略） 目录 后退 主页
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第一节 不定积分的概念
22
解
C?
将被积函数经过适当的恒等变形，再利用
积分基本公式和基本性质求出结果的方法称为
直接积分法
例 2 求积分 dxxxxx? ?? )1co s2(
dxxxxx? ?? )1co s2(
? ?? ???? dxxx d xx d x 3
2
co s2
3
12 3s in xxx ???
二、直接积分法
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第一节 不定积分的概念
23
例 3 求积分,)1( 3 dxxx? ?
dxxx? ? 3)1(解 dxx? ?? 3)11(
dxxxx? ???? )1331( 32
dxxdxxdxxdx? ??? ???? 32 1113
??x ?xln3 ?x3 221x C?
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第一节 不定积分的概念
24
例 4 求积分
解
dxe xx? 3
C?dxe xx? 3 dxe x)3(?? )3ln ( )3( ee x?
例 5 求积分 dxxx? ? 2
2
1
dxxx? ? 2
2
1解 dxx
xx?
?
???
2
2
1
1
?? ??? 21 xdxdx xx a r c t a n?? C?目录 后退 主页
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第一节 不定积分的概念
25
例 6 求积分
解
.2co s1 1? ? dxx
? ? dxx2co s1 1 ? ??? dxx 1c o s21
1
2
?? dxx2co s121 xta n21?
说明,以上几例中的被积函数都需要进行
恒等变形，才能使用基本积分表,
C?
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第一节 不定积分的概念
26
例 7 求积分
解
.t a n 2? xdx
? ?? dxx )1( s ec 2
?? ?? dxxdx2s ec,t a n Cxx ???
? xdx2t a n
例 8 求积分,2c o s 2? dxx
解 ?
?? dxx
2
c o s1
?? ?? x d xdx co s2121,s i n2121 Cxx ???
.2c o s 2? dxx
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第一节 不定积分的概念
27
例 9 求积分
解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
?
?
dxxx x? ?? )1( 21 22
2 dx
xx
xx?
?
???
)1(
1
22
22
dxxdxx ?? ??? 22 1 11
.a rct a n1 Cxx ????
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第一节 不定积分的概念
28
例 8 求
解
dxxx? 22 co ss i n 1
dxxx xx? ?? 22
22
c o ss in
c o ss in dx
xx? 22 co ss i n
1
dxxx )co s1s i n1( 22? ??
Cxx ??? c o tt a n
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本节
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求
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第一节 不定积分的概念
29
基本积分表
原函数的概念,)()( xfxF ??
不定积分的概念,? ?? CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系
小结
第一节 不定积分的概念
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求
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与难
点
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不定积分的性质
直接积分法
30
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本节的学习目的与要求
本节
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本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
第一节 不定积分的概念
1,理解原函数的概念
2,了解原函数存在定理
3,理解不定积分的概念
4,了解不定积分的几何意义
5,基本积分公式 。
6,掌握基本积分公式；
7,掌握不定积分的性质；
8,熟练运用直接积分法 。
31
第二节 不定积分的性质
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本节的重点与难点
本节
知识
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与要
求
本节
重点
与难
点
本节
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指导
? 重点
1,原函数的概念；
2,理解不定积分的概念；
3,基本积分公式 。
4,基本积分公式；
5,熟练运用直接积分法解题 。
? 难点
1,正确理解不定积分的概念 。
2,熟练运用直接积分法解题
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第 32 页
练习题
1.判断下列各式是否正确,
2
2
1)1( xx d x? ?
Cxdxx ??? 43)2(
)0(ln1)3( ???? xCxdxx
Cedxe xx ??? 22)4(
Cxdxx ????? )a r c s in(1 1)5( 2
错
错
正确
错
错
第一节 不定积分的概念
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第 33 页
2.填空题,
cxxdx ???? 3)()1( 32
1 21 ??x
cxxdx ???? 2co s)()2( x2s in21 ?
)()()3( ??? dxxe x Cxe x ?
)(a rct a n2)4( ?? dxxdxd x xx a rc t a n2
第一节 不定积分的概念
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习题 4-1
Cxdxx ???? 34 311)1(
1.利用微分法验证下列各等式
Cxxdxxx ?????? s i nco s)co s( s i n)2(
Cexdxe x
x
xx ?????
ln
5)5()3(
Cxadxxa x ????? 2222)4(
第一节 不定积分的概念
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2.求下列不定积分
dx
x
x
dx
xdxedx
xx
dxxxdxx
??
??
? ?
??
2
2
4 337
co s
s i n
)6()t a n1()5(
)5()4(
1
)3(
)2()1(
3 证明函数
xx
e
xexee
x
xxx
s i n hc o s h
c o s hs i n h,
2
1
2
?
都是和
的原函数,
第一节 不定积分的概念
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1,略
2,( 1 ) C
x
?
8
8
( 2 ) C
x
?
19
4
4
19
( 3 ) Cx ??
?
2
1
2
(4) C
e
x
?
? )15( l n
)5(
(5) C??t a n
(6) Cx ?s ec
3.
Cxy ?? ln
,
习题 4-1答案
第一节 不定积分的概念
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第 37 页
求下列不定积分
dxxx? ?? )1s ec21(.1 2
dxxxx? ? )1(.2 2
dxx x? ? 3
2)1(
.3
C?
xxx ln12 1 2 ???
2
1
2
5
252 ?? xx
xxx lnt a n2 ??
C?
C?
练习题
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第一节 不定积分的概念
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dxxx? ? )5(.4 5
dxxx? 2s i n 2co s.5
dxxx? ?? 22.6
C?
xx 2c o t ??
2
3
3
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习题 4-1
1,求下列不定积分
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dx
xx
x
dx
x
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x
x
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dx
x
dx
xx
dx
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x
dxx
x
x
s i nco s
co s
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222
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?? ? dxxxxdxx )t a n( s ecs ec)10(2s i n)9( 2
2.一曲线通过点 ),3,( 2e 且在任一点处的切线的斜
率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程。
3.一物体有静止开始运动，经过 )(st 后的速度是
),/(4 3 smt 问
（ 1）在 2s后物体离出发点的距离是多少？
（ 2）物体走完 625m需要多少时间？
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习题 4-1答案
Cxxxcxx ????? 252321
5
2
3
42)2(s in2ln)1.(1
CxxCxx
x
????? a r c t a n3ln 2)4(a r c t a n1)3(
Cxxx
cxxxx
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a rc t a n
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32
3
7
2
CxxCxx ???? c o ss in)8(t a n)7(
CxxCxx ???? s e ct a n)10(2/)s in)(9(
smxy 5)2(,16)1.(3;1ln.2 ??目录 后退
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