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第三节 分部积分法
第四章 不定积分
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知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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一、预备知识
函数积的微分法则
vd uu d vuvd ??)(
则
的可微函数，都是和设函数 xxvvxuu )()( ??
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问题 ? ??s i n xdxx
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则,
设函数 )( xuu ? 和 )( xvv ? 具有连续导数,
? ?,vuvuuv ????? ? ?,vuuvv ?????
,dxvuuvdxvu ?? ????,duvuvu d v ?? ??
分部积分公式
二、分部积分法
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例 1 求积分 ? xdxx s in
解（一） dvdxxdx ?? 22
1
? xdxx s in ??? xdxxxx s in2s in2
22
显然,选择不当，积分更难进行, vu ?,
解（二） 令,xu? dvxdxdx ??? )co s(s in
? xdxx s in )c o s(? ?? xxd
? ???? dxxxx )co s(co s
.s i nc o s Cxxx ????
令 xu s in?
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例 2 求积分 ? dxxe x
解,xu ?,dvdedxe xx ??
? dxxe x ??? dxexe xx
.Cexe xx ???
令
若被积函数是幂函数和正 (余 )弦函数或幂
函数和指数函数的乘积,一般设幂函数为 u,使
其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )
总结
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（再次使用分部积分法）
? xdxx c o s2例 3 求积分
? xdxx c o s2
解 令,2xu ?,s i nc o s dvxdx d x ??
??? xdxxxx s i n2s i n2
.s in2co s2s in2 Cxxxxx ????
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例 4 求积分,a r ct a n? x d xx
解 令,a r c t a n xu ? dvxdx d x ?? 2
2
? xdxx a r c t a n )( a r c t a n2a r c t a n2
22
xdxxx ???
dxxxxx 2
22
1
1
2a r c t a n2 ???? ?
dxxxx )1 11(21a r c t a n2 2
2
????? ?
.)a r c t a n(21a r c t a n2
2
Cxxxx ????
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? xdxx ln2例 5 求积分
解 令,ln xu ?,)3(
3
2 dvxddxx ??
??? xdxxx ln3ln3
33
? xdxx ln2
??? dxxxxx 1.3ln3
33
Cxxx ??? 3
3
9
1ln
3
若被积函数是幂函数和反三角函数或幂
函数和对数函数的乘积,一般不设幂函数为 u,
使其降幂一次 (假定幂指数是正整数 )
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例 6 求积分 ? x d xe x c o s
解 )( s i n xde x??
? ??? dxexxe xx )( s i ns i n
???? xdxexxe xx co s)co s( s i n
? x d xe x c o s
? ??? )co s(s i n xdexe xx
].)co s()co s([s i n dxexxexe xxx ? ?????
? x d xe x c o s Cxxe x ??? )co s( s i n21
注意循环形式
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例 7 求积分 ? ?,1a r c t a n 2 dxx xx
解 ? ?,11 22 xxx ?????
? ?? dxx xx 21a r c t a n? ?? 21a r ct a n xxd
)(a r cta n1a r ct a n1 22 xdxxx ? ????
dxxxxx 222 1 11a rct a n1 ?????? ?
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dxxxx ? ???? 22 1 1a r c t a n1
令 tx ta n?
dxx? ? 21 1 ?
?? t d tt
2
2 s e ct a n1
1?? td ts e c
Ctt ??? )ta nl n( s ec Cxx ???? )1l n( 2
? ?? dxx xx 21a r c t a n
xx a rct a n1 2??,)1l n( 2 Cxx ????
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例 8 已知 )( xf 的一个原函数是 2xe ?,求 ? ? dxxfx )(,
解 ? ? dxxfx )( ?? )( xx d f,)()( ??? dxxfxxf
,)( 2? ??? ? Cedxxf x? ? ),()( xfdxxf ????
两边同时对 求导,得 x,2)( 2xxexf ???
??? ? dxxfx )( ?? dxxfxxf )()(
222 xex ???,Ce ?? ?
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合理选择,正确使用分部积
分公式
vu ?,
dxvuuvdxvu ?? ????
小结
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求下列不定积分
练习题
??
? ?
?
?
dxxxdxx
dx
x
xdxxe x
)1ln (.4s e c.3
2
s in.2.1
2
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练习题解答
Cexedxexe
dxeexdxxe
xxxx
xxx
???????
????
????
???
?
?? )()( xvdxdveu x ??? ? 则令,,.1
2co s2,2s i n,.2
xvdxxdvxu ???? 则令
? ???? dxxxxdxxx 2co s22co s22s i n
Cxxx ???? 2s i n42co s2
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xvdxxdvxu c o t,s e c,.3 2 ??? 则令
xvdxdvxu ???? 则令,),1l n (.4
? ??? xdxxxxdxx co tco ts ec 2
? ????? Cxxxdxxxxx co slnco tco ss inco t
?? ????? dxxxxdxx 1 1)1ln ()1ln (
Cxxx ????? 1ln)1l n (
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习题 4-4
1.计算下列不定积分
??
? ? ?
? ?
? ??
?
dxxxxdxx
dx
x
x
xdxxdxa r c
xdxxdxex
xdxedx
x
dxxe
x
xx
ln)10(s ec)9(
ln
)8(a rcs i n)7(co t)6(
2s i n)4()5()4(
2co s)3(
2
ln)2()1(
2
2
2
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2.求下列不定积分
? ? dxxdxe x s i n)2()1(
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习题 4-4答案
CxxxCxxx
C
x
x
x
Cxxx
Cxxx a r c
Cxxxx
CxxeCxxe
Cx
x
xCexe
xx
xx
????
??????
???
????
?????
?????
2
3
2
3
2
1
2
2
2
9
4
ln
3
2
)10(co slnt a n)9(
1
ln
1
)8()1(a rcs i n)7(
)1l n (
2
1
co t)6(
2co s22s i n
4
1
2co s
2
1
)5(
)22()4()2co s2s i n2(
5
1
)3(
2
2
ln)2()1.(1
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Cxxx
Cex xx
???
??
s i n2co s2)2(
22)1.(2
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思考题解答
注意前后几次所选的 应为同类型函数, u
例 ? x d xe x c o s
第一次时若选 xu c o s1 ?
? x d xe x c o s dxxexe xx ??? s i nc o s
第二次时仍应选 xu s in2 ?
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点
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1,掌握分部积分公式 ;
2,理解分部积分法并用其进行基本计算 。
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本节的重点与难点
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? 重点
? 分部积分法并用其进行基本计算。
? 难点
? 使用分部积分法进行基本计算 。