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第三节 函数的微分
三,微分在近似计算中的应用
二,微分的运算
一,微分的概
念
第二章 导数与微分
本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
第三节 函数的微分
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再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
第三节 函数的微分
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一、微分的概念
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
第三节 函数的微分
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由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ?? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
第三节 函数的微分
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可导与可微的关系
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
第三节 函数的微分
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(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
第三节 函数的微分
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例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
第三节 函数的微分
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微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
第三节 函数的微分
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二、微分的运算
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
第三节 函数的微分
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dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
第三节 函数的微分
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例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
第三节 函数的微分
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微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
第三节 函数的微分
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例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
第三节 函数的微分
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例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdtd t ?????
.co s)s i n1( td tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
第三节 函数的微分
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三、微分在近似计算中的应用
,
,0)()( 00
很小时
且处的导数在点若
x
xfxxfy
?
???
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米
半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径
解,2rA ??设,05.0,10 厘米厘米 ??? rr
rrdA ??????? 2 05.0102 ???? ).( 2厘米??
.)( 0 xxf ???? 00 xxxx dyy ?? ??
第三节 函数的微分
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第 17 页;)( 0 附近的近似值在点求 xxxf ?
)()( 00 xfxxfy ?????,)( 0 xxf ????
.)()()( 000 xxfxfxxf ??????? )( 很小时x?
例 2,0360c o s o 的近似值计算 ?
解,c o s)( xxf ?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf ????
,3 6 0,30 ????? xx?
第三节 函数的微分
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.2 3)3(,21)3( ??????? ff
)3603co s (0360co s o ?????? 3603si n3c os ??????
3602
3
2
1 ????,4 9 2 4.0?;0)( 附近的近似值在点求 ?xxf
.)0()0()( xffxf ?????
,)()()( 000 xxfxfxxf ????????
.,00 xxx ???令
第三节 函数的微分
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常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
??
???
????
为弧度
为弧度
证明,1)()1( n xxf ??设,)1(1)(
11 ???? nx
nxf
.1)0(,1)0( nff ???
xffxf )0()0()( ????,1 nx??
第三节 函数的微分
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例 3,计算下列各数的近似值
解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03 ?e
33 5.110005.998)1( ??
3 )
10 00
5.11(10 00 ?? 3 0015.0110 ??
)00 15.0311(10 ???,995.9?
03.01)2( 03.0 ???e,97.0?
第三节 函数的微分
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复习指导
第三节 函数的微分
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微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,
★
★,可微可导 ?
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导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
00
00
它是无穷小实际上定义域是
它的的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxfdy
xfxxf
???
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量方程在点
处的切线在点是曲线
而微处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
第三节 函数的微分
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近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf ????
00 xxxx dyy ?? ??,)( 0 xxf ???
),()()()( 000 xxxfxfxf ?????
,很小时当 x?
,0时当 ?x
第三节 函数的微分
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★
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思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
第三节 函数的微分
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思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
第三节 函数的微分
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一,填空题：
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量为
0.2,对应的函数增量的线性全部是
dy
=0, 8,那
么自变量 x 的始值为 ____ __ ___ _.
2, 微分的几何意义是 ____ __ ___ _.
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当
0?? x
时，
dyy ??
是关于
x?
的 ___ ___ __ 无穷小,
4,
x d xd ?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
.
5, dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?,
6, xdxd 3s e c____________
2
?,
7,
x
exY
22
?
,_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
22
dxdedY
x
??,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
( a r c ta n
2
?
x
e
d
,_ _ _ _ _ _ _ _?
x
de,
练 习 题
第三节 函数的微分
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二,求下列的函数的微分：
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c si n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的
y
微分,
第三节 函数的微分
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一,1, 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3ta n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
e
e
4
2
22
?
,
二,1,
dxx
2
3
2
)1(
?
?；
2, dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
第三节 函数的微分
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3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.
第三节 函数的微分
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本节的学习目的与要求
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与要
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与难
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指导
1,了解微分的定义；
2,理解一阶微分形式的不变性；
3,掌握微分的运算法则；
4,掌握微分的近似计算公式；
5,掌握工程中常用的近似公式；
6,了解弧微分的计算。
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第三节 函数的微分
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本节的重点与难点
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与要
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与难
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指导
? 重点
1,微分与导数的关系；
2,微分的运算法则；
3,工程中常用的近似公式。
? 难点
1,一阶微分形式的不变性理解
2,微分的近似计算
3,弧微分的计算
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第三节 函数的微分
三,微分在近似计算中的应用
二,微分的运算
一,微分的概
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第二章 导数与微分
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问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
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再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
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一、微分的概念
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
第三节 函数的微分
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由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ?? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
第三节 函数的微分
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可导与可微的关系
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
第三节 函数的微分
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(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
第三节 函数的微分
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例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
第三节 函数的微分
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微分的几何意义
)(xfy?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
第三节 函数的微分
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二、微分的运算
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
第三节 函数的微分
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dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
第三节 函数的微分
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例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
第三节 函数的微分
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微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
第三节 函数的微分
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例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
第三节 函数的微分
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例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdtd t ?????
.co s)s i n1( td tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
第三节 函数的微分
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三、微分在近似计算中的应用
,
,0)()( 00
很小时
且处的导数在点若
x
xfxxfy
?
???
例 1
,05.0
,10
问面积增大了多少厘米
半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径
解,2rA ??设,05.0,10 厘米厘米 ??? rr
rrdA ??????? 2 05.0102 ???? ).( 2厘米??
.)( 0 xxf ???? 00 xxxx dyy ?? ??
第三节 函数的微分
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第 17 页;)( 0 附近的近似值在点求 xxxf ?
)()( 00 xfxxfy ?????,)( 0 xxf ????
.)()()( 000 xxfxfxxf ??????? )( 很小时x?
例 2,0360c o s o 的近似值计算 ?
解,c o s)( xxf ?设 )(,s i n)( 为弧度xxxf ????
,3 6 0,30 ????? xx?
第三节 函数的微分
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.2 3)3(,21)3( ??????? ff
)3603co s (0360co s o ?????? 3603si n3c os ??????
3602
3
2
1 ????,4 9 2 4.0?;0)( 附近的近似值在点求 ?xxf
.)0()0()( xffxf ?????
,)()()( 000 xxfxfxxf ????????
.,00 xxx ???令
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常用近似公式 )( 很小时x
.)1l n ()5(;1)4();(t a n)3(
);(si n)2(;
1
11)1(
xx
xexxx
xxxx
n
x
x
n
??
???
????
为弧度
为弧度
证明,1)()1( n xxf ??设,)1(1)(
11 ???? nx
nxf
.1)0(,1)0( nff ???
xffxf )0()0()( ????,1 nx??
第三节 函数的微分
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例 3,计算下列各数的近似值
解
.)2(;5.9 9 8)1( 03.03 ?e
33 5.110005.998)1( ??
3 )
10 00
5.11(10 00 ?? 3 0015.0110 ??
)00 15.0311(10 ???,995.9?
03.01)2( 03.0 ???e,97.0?
第三节 函数的微分
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复习指导
第三节 函数的微分
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微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,
★
★,可微可导 ?
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导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
00
00
它是无穷小实际上定义域是
它的的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxfdy
xfxxf
???
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量方程在点
处的切线在点是曲线
而微处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
第三节 函数的微分
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近似计算的基本公式
.)0()0()( xffxf ????
00 xxxx dyy ?? ??,)( 0 xxf ???
),()()()( 000 xxxfxfxf ?????
,很小时当 x?
,0时当 ?x
第三节 函数的微分
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★
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思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
第三节 函数的微分
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思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
第三节 函数的微分
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一,填空题：
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量为
0.2,对应的函数增量的线性全部是
dy
=0, 8,那
么自变量 x 的始值为 ____ __ ___ _.
2, 微分的几何意义是 ____ __ ___ _.
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当
0?? x
时，
dyy ??
是关于
x?
的 ___ ___ __ 无穷小,
4,
x d xd ?s i n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
.
5, dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?,
6, xdxd 3s e c____________
2
?,
7,
x
exY
22
?
,_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _
22
dxdedY
x
??,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
( a r c ta n
2
?
x
e
d
,_ _ _ _ _ _ _ _?
x
de,
练 习 题
第三节 函数的微分
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二,求下列的函数的微分：
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c si n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的
y
微分,
第三节 函数的微分
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一,1, 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3ta n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
e
e
4
2
22
?
,
二,1,
dxx
2
3
2
)1(
?
?；
2, dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
第三节 函数的微分
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3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.
第三节 函数的微分
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本节的学习目的与要求
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1,了解微分的定义；
2,理解一阶微分形式的不变性；
3,掌握微分的运算法则；
4,掌握微分的近似计算公式；
5,掌握工程中常用的近似公式；
6,了解弧微分的计算。
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本节的重点与难点
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? 重点
1,微分与导数的关系；
2,微分的运算法则；
3,工程中常用的近似公式。
? 难点
1,一阶微分形式的不变性理解
2,微分的近似计算
3,弧微分的计算
