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第二节 导数的求导法则、求导公式
二,复合函数的求导法则
四,由参数方程所确定的函数的
求导法数
一,函数的四则运算求导法则
五,高阶导数求导法则
三,隐函数的求导法则
第二章 导数与微分
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第 2 页
前言
? 求函数的导数的方法叫微分法。
? 微分法是指运用求导数的基本法则和基
本初等函数的导数公式，求出初等函数
导数的方法。
? 因此我们将要建立最基本的一组求导数
的法则和公式。
第二章 导数与微分
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一、导数的四则运算法则
定理
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu第二节 导数的运算
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推论
?????????? ? ? ???????)()1(
);(])([)2( xfCxCf ???
2)3( ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? CC
第二节 导数的运算
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注意：我们目前已知的求导公式是,
1,
2,
3,
4,
5,
0)( ' ?c
xx co ss in ' ? xx s inco s ' ??
1')( ?? ?? ? xx
aaa xx ln)( ' ? 特别,xx ee ?')(
axxa ln
1)( l o g ' ?
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例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
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例 3,3/c o sl o gs i n3 3 的导数求 ????? xxxy
解
例 4,c o sln2 的导数求 xxxy ???
解
)3ln/(1c os3)2/(1' xxxy ???
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxy
s i nlnco sco sln2
)( c o slnco s)( l nco sln)(
)co sln(
2
'2'2'2
'2'
???
???
?
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例 5,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
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例 6,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 7,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
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例 8 设
x
xxf
s i n1
co s)(
?? 求 )(4' ?f )(2' ?f
解,因为
x
xxf
s i n1
co s)(
?? 所以,
2
''
'
)s i n1(
)s i n1(co s)s i n1()( co s)(
x
xxxxxf
?
????
2)s i n1(
c o sc o s)s i n1(s i n
x
xxxx
?
????
xs in1
1
?
??
所以 22
1
1
s i n1
1)(
2
2
4
4
' ??
?
??
?
??
?
?f
2
1)(
2
' ???f
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二、复合函数的求导法则
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
?
??
?
????
??
??
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
它是微分法中最重要的一个法则。
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推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 10,s inln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
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例 11,)3c os(2 2 的导数求函数 ?? xy
解
例 12
解,
因为 )3c os(2 2 ?? xy 是由 uy co s2? 32 ?? xu
复合而成，所以
)3s i n (4)02(s i n2 2 ??????? xxxudxdududydxdy
设 221t an xy ?? 求 dxdy
221t an xy ??
所以
uy tan?? vu ? 221 xv ??
22
2 21s e c21
2 x
x
x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy ?
????
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例 13,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 14,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
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例 15,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 16,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
第二节 导数的运算
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三、隐函数的求导法则
定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
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例 1
.,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
的复合函数的函数看成
的函数，看成将
xy
xy
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例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
第二节 导数的运算
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例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
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反函数求导法则
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? 反函数的导数，亦可以用隐函数的求导
方法求出。
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yxxy s i nar cs i n ?? 可得由
dx
dyyc o s1 ?
ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????;1 1)( a r c t a n 2xx ???,1 1)co t( 2xx ????arc
例 1
解
求导，得两边同时对 x
)( a r c s in ?x
同理可得
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的导数求 )11(ar cs i n ???? xxy
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例 2
.的导数求函数 xay ?
axy lnln ?
adxdyy ln1 ?
dx
dya x ??)( ay ln? aa x ln?
解,两边取对数，得隐函数
特别地,)( xx ee ??
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得求导两边同时对,x
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对数求导法
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
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例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
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例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
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一般地
)0)(()()( )( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
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四、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
问题, 消参困难或无法消参如何求导?
t
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),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
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,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
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例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
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.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
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五、高阶导数的概念
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
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记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
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高阶导数的计算
例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求设
解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法, 由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
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例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
第二节 导数的运算
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第 36 页
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
第二节 导数的运算
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第 37 页
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
第二节 导数的运算
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第 38 页
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
第二节 导数的运算
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例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
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3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
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例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
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小结
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
高阶导数的定义及物理意义
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总结：初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
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2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 ) ( ),( x v v x u u ? ? 可导，则
（ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) (,（ 2 ） u c cu ? ? ? ) (
（ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) (,（ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u,
( 是常数 ) C? ?
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3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
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例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
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例 2,求下列函数的导数,
21 xy ?? 32 )si n( xxy ??
xy
1ar ct anln? nxy )ln( a r c s in?
解,
22
'2
2
'2'
1
)2(
12
1
)1(
12
1
)1(
x
x
x
x
x
x
xy
?
?
??
?
?
?
?
???
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其余,
)2s i n1()s i n(3 22' xxxy ???
x
x
y 1
ar ct an)1(
1
2
'
?
??
xxxny
n
2
1'
ln1
1)ln( a r c s i n
??
?
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注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
反函数的求导法则（注意成立条件） ;
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复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
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一、思考题
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
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思考题解答
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
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一,填空题,
1, 设 xxy s i n??,则 y ? = __________,
2, 设
x
eay
xx
2
3 ???, 则
dx
dy
=__________,
3, 设 )13(
2
??? xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __________,
4, 设
1se ct a n2 ??? xxy
,则
y ?
= _________,
5, 设
55
3
)(
2
x
x
xfy ?
?
??,则 )0(f ? = ________,
6, 曲线 xy s i n
2
?
?
? 在
0?x
处的切线
轴与 x
正向的夹
角为 _________,
练 习 题
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二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
??
? ； 2,
110
110
?
?
?
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
?
? ； 4,
t
t
xf
?
?
?
1
1
)(,求 )4(f
?；
5, )0,0( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy ???
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
?? 与
x
轴交点处的切线方程,
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一,1, )c o s
2
s i n
( x
x
x
x ? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
?? ；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx ?； 5,
25
3； 6,
4
?
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
??
?； 2,
2
)110(
10ln210
?
?
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
?
??； 4,
18
1；
5, )(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
?
?,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b ?
??
.
四、
022 ??? yx
和
022 ??? yx
.
练习题答案
第二节 导数的运算
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一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = ___ __ ___ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
3, 设 )a r c ta n (
2
xy ?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
4, 设
xy c o sln?
,则
y ?
= ___ __ ___ __ __.
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ ___ __ ___ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= ___ __ ___ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?,则
)( xf ?
= ___ __ ___ __,
若
ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
___ ___ __ ___,
练 习 题
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第 57 页
二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( csc xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c ta n
?；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ??
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
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第 58 页
一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e cta n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4, xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
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第 59 页
7,
22
)( a r c c o s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.
第二节 导数的运算
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一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
2, 设
x
y
1
c o sln?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
3, 设
xxy ??
，则 y
?
= _ ___ __ ___ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y ? = _ ___ __ ___,
5, 设
)9 9 9()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ ___ _.
练 习 题
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第 61 页； 一,1, 1 ln 1 ? ? n x x n ； 2, x x 1 tan 1 2 ； 3, x x x x ? ? 4 1 2
4, t 2 cosh 1 ； 5, -999!,
练习题答案
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第二节 导数的运算
本节的学习目的与要求
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指导
1,牢记导数的基本公式表；
2,熟练掌握四则运算的求导法则；
3,熟练掌握复合函数的求导法则；
4,熟练掌握隐函数的求导法则；
5, 熟练掌握参数方程的求导法则；
6,了解对数求导法；
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第二节 导数的运算
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指导
本节的学习目的与要求
7,进行综合性的求导计算 ；
8,理解高阶导数的定义；
9,理解高阶导数的几何意义；
10．掌握高阶导数的求导法。
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第 64 页
第二节 导数的运算
本节的重点与难点
一、重点,
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指导
1,牢记导数的基本公式表；
2,利用各种求导法则和公式进行较复杂
导数计算；
3,复合函数求导法则的运用；
4,隐函数求导法则的运用；
5, 理解高阶导数的几何意义；
6,掌握高阶导数的求导法。
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第 65 页
第二节 导数的运算
二、难点,
1,复合函数求导法则的运用；
2,隐函数求导法则的运用；
3,各种求导法则的合理运用；
4,综合性的求导计算；
5,高阶导数的几何意义的应用 。
本节的重点与难点
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第二节 导数的求导法则、求导公式
二,复合函数的求导法则
四,由参数方程所确定的函数的
求导法数
一,函数的四则运算求导法则
五,高阶导数求导法则
三,隐函数的求导法则
第二章 导数与微分
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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第 2 页
前言
? 求函数的导数的方法叫微分法。
? 微分法是指运用求导数的基本法则和基
本初等函数的导数公式，求出初等函数
导数的方法。
? 因此我们将要建立最基本的一组求导数
的法则和公式。
第二章 导数与微分
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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一、导数的四则运算法则
定理
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu第二节 导数的运算
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求
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推论
?????????? ? ? ???????)()1(
);(])([)2( xfCxCf ???
2)3( ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? CC
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注意：我们目前已知的求导公式是,
1,
2,
3,
4,
5,
0)( ' ?c
xx co ss in ' ? xx s inco s ' ??
1')( ?? ?? ? xx
aaa xx ln)( ' ? 特别,xx ee ?')(
axxa ln
1)( l o g ' ?
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例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
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例 3,3/c o sl o gs i n3 3 的导数求 ????? xxxy
解
例 4,c o sln2 的导数求 xxxy ???
解
)3ln/(1c os3)2/(1' xxxy ???
xxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxy
s i nlnco sco sln2
)( c o slnco s)( l nco sln)(
)co sln(
2
'2'2'2
'2'
???
???
?
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例 5,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
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例 6,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 7,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
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例 8 设
x
xxf
s i n1
co s)(
?? 求 )(4' ?f )(2' ?f
解,因为
x
xxf
s i n1
co s)(
?? 所以,
2
''
'
)s i n1(
)s i n1(co s)s i n1()( co s)(
x
xxxxxf
?
????
2)s i n1(
c o sc o s)s i n1(s i n
x
xxxx
?
????
xs in1
1
?
??
所以 22
1
1
s i n1
1)(
2
2
4
4
' ??
?
??
?
??
?
?f
2
1)(
2
' ???f
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二、复合函数的求导法则
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
?
??
?
????
??
??
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
它是微分法中最重要的一个法则。
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推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 10,s inln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
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例 11,)3c os(2 2 的导数求函数 ?? xy
解
例 12
解,
因为 )3c os(2 2 ?? xy 是由 uy co s2? 32 ?? xu
复合而成，所以
)3s i n (4)02(s i n2 2 ??????? xxxudxdududydxdy
设 221t an xy ?? 求 dxdy
221t an xy ??
所以
uy tan?? vu ? 221 xv ??
22
2 21s e c21
2 x
x
x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy ?
????
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例 13,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 14,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
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例 15,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 16,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
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三、隐函数的求导法则
定义,,)( 称为隐函数由方程所确定的函数 xyy ?
.)( 形式称为显函数xfy ?
0),( ?yxF )( xfy ? 隐函数的显化
问题,隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则,
用复合函数求导法则直接对方程两边求导,
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例 1
.,
0
0?
???
x
yx
dx
dy
dx
dy
y
eexy
的导数
所确定的隐函数求由方程
解,求导方程两边对 x
0???? dxdyeedxdyxy yx
解得,y
x
ex
ye
dx
dy
?
??,0,0 ?? yx由原方程知
0
00
?
?? ?
???
y
xy
x
x ex
ye
dx
dy,1?
的复合函数的函数看成
的函数，看成将
xy
xy
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例 2
.
,)
2
3
,
2
3
(
,3
33
线通过原点
在该点的法并证明曲线的切线方程点
上求过的方程为设曲线
C
CxyyxC ??
解,求导方程两边对 x yxyyyx ????? 3333 22
)23,23(2
2
)23,23( xy
xyy
?
????
.1??
所求切线方程为 )23(23 ???? xy,03 ??? yx即
2
3
2
3 ??? xy法线方程为,xy ?即 显然通过原点,
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例 3,)1,0(,144 处的值在点求设 yyxyx ?????
解 求导得方程两边对 x
)1(044 33 ?????? yyyxyx
得代入 1,0 ?? yx ;4110 ?? ??yxy
求导得两边再对将方程 x)1(
04)(12212 3222 ??????????? yyyyyxyx
得41
1
0 ??
?
?
y
xy,1,0 ?? yx代入,16
1
1
0 ????
?
?
y
xy
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反函数求导法则
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? 反函数的导数，亦可以用隐函数的求导
方法求出。
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yxxy s i nar cs i n ?? 可得由
dx
dyyc o s1 ?
ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????;1 1)( a r c t a n 2xx ???,1 1)co t( 2xx ????arc
例 1
解
求导，得两边同时对 x
)( a r c s in ?x
同理可得
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的导数求 )11(ar cs i n ???? xxy
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例 2
.的导数求函数 xay ?
axy lnln ?
adxdyy ln1 ?
dx
dya x ??)( ay ln? aa x ln?
解,两边取对数，得隐函数
特别地,)( xx ee ??
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得求导两边同时对,x
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对数求导法
观察函数,,)4( 1)1( s i n2
3
x
x xyex
xxy ?
?
???
方法,
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导
方法求出导数,
--------对数求导法
适用范围,
.)( )( 的情形数多个函数相乘和幂指函 xvxu
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例 4
解
]142)1(3 111[)4( 1)1( 2
3
??????? ????? xxxex xxy x
等式两边取对数得
xxxxy ??????? )4l n (2)1l n (31)1l n (ln
求导得上式两边对 x
142)1(3 111 ???????? xxxyy
.,)4( 1)1( 2
3
yex xxy x ?? ??? 求设
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例 5
解
.),0(s i n yxxy x ??? 求设
等式两边取对数得 xxy lns inln ??
求导得上式两边对 x
xxxxyy
1s inlnc o s1 ?????
)1s inln( co s xxxxyy ??????
)s inln( co ss i n x xxxx x ???
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一般地
)0)(()()( )( ?? xuxuxf xv
)()(1)(ln xfdxdxfxfdxd ???又
)(ln)()( xfdxdxfxf ????
])( )()()(ln)([)()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv ???????
)(ln)()(ln xuxvxf ???
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四、由参数方程所确定的函数的导数
.
,
)(
)(
定的函数称此为由参数方程所确
间的函数关系与确定若参数方程 xy
ty
tx
?
?
?
?
?
?
?
例如
??
?
?
?
,
,2
2ty
tx
2
xt ?
22 )
2(
xty ???
4
2x
? xy 21???
消去参数
问题, 消参困难或无法消参如何求导?
t
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),()( 1 xttx ??? ?? 具有单调连续的反函数设函数
)]([ 1 xy ??? ??
,0)(,)(),( ??? ttytx ??? 且都可导再设函数
由复合函数及反函数的求导法则得
dx
dt
dt
dy
dx
dy ??
dt
dxdt
dy 1??
)(
)(
t
t
?
?
?
??
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?即
,)( )( 中在方程
??
?
??
??
ty
tx
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,)( )( 二阶可导若函数
??
?
??
??
ty
tx
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd ?
dx
dt
t
t
dt
d )
)(
)((
? ?
? ??
)(
1
)(
)()()()(
2 tt
tttt
??
????
???
????????
.)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????即
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例 6
解
dt
dx
dt
dy
dx
dy
?
t
t
c o s1
s i n
?? taa
ta
co s
s i n
??
2
co s1
2
s i n
2
?
?
?
?? ?
?tdx
dy
.1?
.方程
处的切线在求摆线 2)c o s1( )s i n( ??
??
?
??
?? t
tay
ttax
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.),12(,2 ayaxt ???? ?? 时当
所求切线方程为
)12( ???? ?axay
)22( ???? axy即
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五、高阶导数的概念
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
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记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
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高阶导数的计算
例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求设
解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法, 由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
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例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
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例 3,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
第二节 导数的运算
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例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
第二节 导数的运算
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第 38 页
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
第二节 导数的运算
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例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
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3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
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例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
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小结
隐函数求导法则, 直接对方程两边求导 ;
对数求导法, 对方程两边取对数,按隐函数的求
导法则求导 ;
参数方程求导, 实质上是利用复合函数求导法则 ;
高阶导数的定义及物理意义
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总结：初等函数的求导问题
xxx
xx
xx
C
t a ns e c)( s e c
s e c)( t a n
c o s)( s i n
0)(
2
??
??
??
??
1.常数和基本初等函数的导数公式
xxx
xx
xx
xx
c o tc s c)( c s c
c s c)( c o t
s i n)( c o s
)(
2
1
???
???
???
??
???
?
ax
x
aaa
a
xx
ln
1)( l o g
ln)
??
??
x
x
ee xx
1)(ln
)(
??
??
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2
2
1
1
)( a r c t a n
1
1
)( a r c s i n
x
x
x
x
?
??
?
??
2
2
1
1
)c o t(
1
1
)( a r c c o s
x
x
x
x
?
???
?
???
arc
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 ) ( ),( x v v x u u ? ? 可导，则
（ 1 ） v u v u ? ? ? ? ) (,（ 2 ） u c cu ? ? ? ) (
（ 3 ） v u v u uv ? ? ? ? ? ) (,（ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 ? ? ? ? ? ? v v v u v u v u,
( 是常数 ) C? ?
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3.复合函数的求导法则
).()()(
)]([)(),(
xufxy
dx
du
du
dy
dx
dy
xfyxuufy
?
??
???????
???
或导数为
的则复合函数而设
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解
决,
注意,初等函数的导数仍为初等函数,
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例 1,的导数求函数 xxxy ???
解 )(2 1 ??????? xxxxxxy
))(2 11(2 1 ??????? xxxxxxx
))2 11(2 11(
2
1
xxxxxx ??????
.
8
124
2
2
xxxxxx
xxxx
????
????
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例 2,求下列函数的导数,
21 xy ?? 32 )si n( xxy ??
xy
1ar ct anln? nxy )ln( a r c s in?
解,
22
'2
2
'2'
1
)2(
12
1
)1(
12
1
)1(
x
x
x
x
x
x
xy
?
?
??
?
?
?
?
???
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其余,
)2s i n1()s i n(3 22' xxxy ???
x
x
y 1
ar ct an)1(
1
2
'
?
??
xxxny
n
2
1'
ln1
1)ln( a r c s i n
??
?
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注意, );()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
反函数的求导法则（注意成立条件） ;
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复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初
等函数的求导公式和上述求导法则求出,
关键, 正确分解初等函数的复合结构,
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一、思考题
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
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思考题解答
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
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一,填空题,
1, 设 xxy s i n??,则 y ? = __________,
2, 设
x
eay
xx
2
3 ???, 则
dx
dy
=__________,
3, 设 )13(
2
??? xxey
x
,则
0?x
dx
dy
= __________,
4, 设
1se ct a n2 ??? xxy
,则
y ?
= _________,
5, 设
55
3
)(
2
x
x
xfy ?
?
??,则 )0(f ? = ________,
6, 曲线 xy s i n
2
?
?
? 在
0?x
处的切线
轴与 x
正向的夹
角为 _________,
练 习 题
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二,计算下列各函数的导数：
1,
2
1
1
xx
y
??
? ； 2,
110
110
?
?
?
x
x
y ；
3,
2
1
c s c2
x
x
y
?
? ； 4,
t
t
xf
?
?
?
1
1
)(,求 )4(f
?；
5, )0,0( ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ba
a
x
x
b
b
a
y
bax
.
三,求抛物线 cbxaxy ???
2
上具有水平切线的点,
四,写出曲线
x
xy
1
?? 与
x
轴交点处的切线方程,
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一,1, )c o s
2
s i n
( x
x
x
x ? ； 2,
2
2
ln3
x
eaa
xx
?? ；
3,
2?； 4,
)t a nse c2(se c xxx ?； 5,
25
3； 6,
4
?
.
二,1,
22
)1(
21
xx
x
??
?； 2,
2
)110(
10ln210
?
?
x
x；
3,
22
2
)1(
]2c o t)1[(c s c2
x
xxxx
?
??； 4,
18
1；
5, )(l n)()()(
x
ba
b
a
a
x
x
b
b
a
bax
?
?,
三、
)
4
4
,
2
(
2
a
acb
a
b ?
??
.
四、
022 ??? yx
和
022 ??? yx
.
练习题答案
第二节 导数的运算
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一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = ___ __ ___ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
3, 设 )a r c ta n (
2
xy ?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
4, 设
xy c o sln?
,则
y ?
= ___ __ ___ __ __.
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ ___ __ ___ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= ___ __ ___ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?,则
)( xf ?
= ___ __ ___ __,
若
ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
___ ___ __ ___,
练 习 题
第二节 导数的运算
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二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( csc xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c ta n
?；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ??
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
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一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e cta n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4, xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
第二节 导数的运算
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第 59 页
7,
22
)( a r c c o s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.
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一,填空题：
1, 设
n
x
x
y
ln
?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
2, 设
x
y
1
c o sln?,则 y ? = _ ___ __ ___ _.
3, 设
xxy ??
，则 y
?
= _ ___ __ ___ _.
4, 设
tt
tt
ee
ee
y
?
?
?
?
?,则 y ? = _ ___ __ ___,
5, 设
)9 9 9()2)(1()( ???? xxxxxf ??
则
)0(f ?
= __ __ __ ___ _.
练 习 题
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第 61 页； 一,1, 1 ln 1 ? ? n x x n ； 2, x x 1 tan 1 2 ； 3, x x x x ? ? 4 1 2
4, t 2 cosh 1 ； 5, -999!,
练习题答案
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第二节 导数的运算
本节的学习目的与要求
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指导
1,牢记导数的基本公式表；
2,熟练掌握四则运算的求导法则；
3,熟练掌握复合函数的求导法则；
4,熟练掌握隐函数的求导法则；
5, 熟练掌握参数方程的求导法则；
6,了解对数求导法；
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第二节 导数的运算
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指导
本节的学习目的与要求
7,进行综合性的求导计算 ；
8,理解高阶导数的定义；
9,理解高阶导数的几何意义；
10．掌握高阶导数的求导法。
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第 64 页
第二节 导数的运算
本节的重点与难点
一、重点,
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目的
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与难
点
本节
复习
指导
1,牢记导数的基本公式表；
2,利用各种求导法则和公式进行较复杂
导数计算；
3,复合函数求导法则的运用；
4,隐函数求导法则的运用；
5, 理解高阶导数的几何意义；
6,掌握高阶导数的求导法。
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第 65 页
第二节 导数的运算
二、难点,
1,复合函数求导法则的运用；
2,隐函数求导法则的运用；
3,各种求导法则的合理运用；
4,综合性的求导计算；
5,高阶导数的几何意义的应用 。
本节的重点与难点
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