第七节
可降阶的高阶微分方程
基本解法是,
通过代换将其化成较低阶的
方程来求解,
代入原方程,得
解法,
特点,.,,)1( ?? kyyy ?及不显含未知函数
)()( xPy k ?令
.,)()()1( knnk PyPy ?? ???则
) ),(,),(,( )1()( xPxPxfP knkn ??? ? ?
P(x)的 (n-k)阶方程
),( xP求得
,)()( 次连续积分将 kxPy k ?可得通解,
),,,( )1()()( ?? nkn yyxfy ?一,型
作为上述类型有两种更特殊的情况,
)(,)( xfy n ?一
等式右端不显含末知函数及末知函数的导数，可
对两端直接积分 n次求其通解，通解中有 n个任意
常数
),(,yxfy ????二
),(,,pxfPypyp ???????? 原方程成为则令
这是一个一阶微分方程，可用已掌握的方法解出 p,再由
解出方程的通解)( xpdxdy ?
xxy s i n,????求解微分方程例
21
3
1
2 s i n
6
1,c o s
2
1,cxcxxycxxy ????????解
P.366 3
1
2
1
6
1
,
2
1
,1,
2
1
)0(,1)0(
6
1
,
2
1
3
12
21
3
1
2
????
??????
??????
xxy
ccyy
cxcxycxy
所求曲线方程为
?
0,????? yyx求解微分方程例
21
1 ln,
,0,:
cxcy
dx
dy
x
c
p
ppxpy
?????
????? 解之得则有设解
.0)4()5( 的通解求方程 ?? yxy
解 ),()4( xPy ?设
代入原方程,0??? PPx
xCP 1?解线性方程,得
两端积分,得
原方程通解为
)()5( xPy ??
）（ ?P
,1)4( xCy ?即
,21 221 CxCy ?????,??
,261 2 0 54233251 CxCxCxCxCy ?????
54233251 dxdxdxdxdy ?????
例 1
)( ypy ??设,dydPpdxdydydpy ?????则
阶方程，的代入原方程得到新函数 )1()( ?nyP
求得其解为
原方程通解为,),,,(
11
n
n
CxCCy dy ????
??
特点,.x右端不显含自变量
解法,
,)( 22
2
2
dy
dPP
dy
PdPy ?????
,??
),,,,()( 11 ???? nCCyyPdxdy ?
),,,( )1()()( ?? nkn yyyfy ?二,型
.02 的通解求方程 ????? yyy
解,dy
dPpy ???则 ),( ypy ??设
代入原方程得,02 ??? PdydPPy,0)( ??? PdydPyP即
，由 0??? PdydPy,1 yCP ?可得
.12 xCeCy ?原方程通解为,1 yCdx
dy ??
例 2
),(.
:
yyfy ????三
况是作为上述类型的特殊情
这是一个一阶微分方程原方程成为
则求解时设
),,(
),(
pyf
dy
dp
p
dy
dp
p
dx
dy
dy
dp
yypy
??
???????