第四节
一阶线性微分方程
)()( xQyxP
dx
dy
??
一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,
,0)( ?xQ当
一、线性方程
例如
,
2
xy
dx
dy
??,s i n
2
ttx
dt
dx
??
,32 ??? xyyy,1c o s ??? yy
线性的 ;
非线性的,
.0)( ?? yxPdxdy
,)( dxxPydy ??,)(?? ?? dxxPydy
,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
步骤 1 先解线性齐次方程
一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
步骤 2 讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的
解之间的关系,
).()( xQyxPdxdy ??,)()( dxxPy xQydy ?
?
?
??
? ???
两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
),()( xvdxyxQ 为设 ?,)()(ln ???? dxxPxvy
.)()( ??? dxxPxv eey即
因此，非齐次方程通解形式与齐次方程通解
相比，就是将,)( xuC ?
?? ? dxxpexu )()(
.)(?? ? dxxPCey
?
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称
常数变易法,
?? ? dxxPexuy )()(
,)]()[()( )()( ??????? ?? dxxPdxxP exPxuexuy
.)(?? ? dxxPCey现在是将齐次方程的通解
变易成
步骤 3 求 并将 代入线性非齐次方程,y? yy ?,
代入原方程得和将 yy ?
,)()( )( CdxexQxu dxxP ??? ?
),()( )( xQexu dxxP ???
积分得
因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为,
???? ?? dxxPdxxP eCdxexQy )()( ])([
dxexQeCe dxxPdxxPdxxP ?????? ??? )()()( )(
对应齐次
方程通解 非齐次方程特解
对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：
一种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解；
另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将 给定的
p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解 y(x)
.s i n1 的通解求方程 x xyxy ???
,1)( xxP ?,s i n)( x xxQ ?
?
?
?
?
?
?
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???
Cdxe
x
x
ey
dx
x
dx
x
11 s i n
?
?
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?
? ? ??? ? Cdxe
x
xe xx lnln s i n
? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.co s
1 Cx
x ???
解
例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
o x
P
Q 3xy ?
)( xfy ?
??
?
??
? ???? ?? dxexCey dxdx 23
,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
23 xyy ???
P.341 3,设曲线方程为 y=f(x),按题意有,
,)(21)( 2
0
xxxfdttfx ???
两边求导，得,
,2)(21)(21)( xxfxxfxf ????
,4??? xydxdy
经整理，得,
对应齐次方程的通解为,y=cx
非齐次方程的通解为,y=x(-4lnx+k),代入初始条件 y(1)=1,得 k=1,
因此，曲线弧方程为,y=x(1-4lnx)
P.348 求通解,1.(10)
02)6( 2 ??? ydxdyxy
分析,如果把 x看成自变量，把 y看成因变量，上式不
是一阶线性方程；
反之，如把 y看成自变量，把 x看成因变量,上式成为,
,2326
2 y
xyy yxdydx ????
是一阶非齐次线性方程
先解对应齐次方程的通解，得：,
3cyx ?
设非齐次方程的通解为：,)( 3yyux ? 求
,dydx
将
dy
dxx,代回方程,
23
2
1 ykyx ??经整理得所求方程的通解,
P.349 6,
解：设
,)(2),( 2xxxfQxyfP ???
按题意,
,1)(21)( ????????? xfxxfxQyP
这是一个一阶线性非齐次方程，解之，得通解,
,3
2
)(
2
3
x
Kx
xf
?
?
代入初始条件,f(1)=1,得 K=
,
3
1
x
xxf
3
1
3
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伯努利 (Bernoulli)方程的标准形式
nyxQyxP
dx
dy )()( ??
)1,0( ?n
方程为 线性微分方程,
方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程
时，当 1,0?n
时，当 1,0?n
解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??
),()1()()1( xQnzxPndxdz ????
求出通解后，将 代回,nyz ?? 1
，得两端除以 ny
代入上式得
.))1)(((
)()1()()1(
1
? ?????
??
???
?
CdxenxQe
zy
dxxPndxxPn
n
这是一个一阶线性非齐次微分方程，已能求解。
（这是处理伯努利方程的固定的格式，应该记住）
.4 2 的通解求方程 yxyxdxdy ??
,41 2xyxdxdyy ??
,yz ?令,
42 2xz
xdx
dz ??
,22 ?????? ?? Cxxz解得,2
2
4 ?
?
??
?
? ?? Cxxy即
解,得两端除以 y
例 3
例 4 用适当的变量代换解下列微分方程,;22.1 22 xxexyyy ????
解,21 1
2 ????? yxexyy x
,2)1(1 yyz ?? ??令,2 dxdyydxdz ?则
,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??
所求通解为 ).2(
2
2 2 Cxey x ?? ?
这是一个伯努利方程;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
解,xyz ?令,dxdyxydxdz ??则
,s i n1))(s i n 1( 22 zxyxyxxydxdz ????
,42s i n2 Cxzz ???分离变量法得
,代回将 xyz ?
所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
这是一个以 y为自变量，以 x为未知函数的一阶线性非齐
次方程,已能求解。
用适当的变量代换将方程化为可分离变量的方程,
（ 1）设 v=x+y;
(2) 设 v=x-y;
（ 3）设 v=xy
(4) 方程可写成,
xxyxyy c o s)1( s i n)1( s i n2 22 ???????
,co s)1s i n( 2 xxy ????
设 v=y+sinx-1
(5) 设 v=xy
思考题
求微分方程 的通解, yxyy yy s i n2s i nc o s c o s ???
思考题解答
y
yxyy
dy
dx
c o s
s i n2s i nc o s ??,ta n2s i n yxy ??
? ?,2s i nt a n yxydydx ????
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??
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y
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co s
co ss i n2co s ? ?
.c o s2c o s yCy ??
一阶线性微分方程
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一阶线性微分方程 的标准形式,
,0)( ?xQ当 上方程称为 齐次的,
上方程称为 非齐次的,
,0)( ?xQ当
一、线性方程
例如
,
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线性的 ;
非线性的,
.0)( ?? yxPdxdy
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,ln)(ln CdxxPy ??? ?
齐次方程的通解为,)(?? ? dxxPCey
步骤 1 先解线性齐次方程
一阶线性微分方程的 解法
(使用分离变量法 )
步骤 2 讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的
解之间的关系,
).()( xQyxPdxdy ??,)()( dxxPy xQydy ?
?
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两边积分,)(
)(ln ?? ?? dxxPdx
y
xQy
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因此，非齐次方程通解形式与齐次方程通解
相比，就是将,)( xuC ?
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.)(?? ? dxxPCey
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常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称
常数变易法,
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步骤 3 求 并将 代入线性非齐次方程,y? yy ?,
代入原方程得和将 yy ?
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积分得
因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为,
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对应齐次
方程通解 非齐次方程特解
对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：
一种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解；
另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将 给定的
p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解 y(x)
.s i n1 的通解求方程 x xyxy ???
,1)( xxP ?,s i n)( x xxQ ?
?
?
?
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解
例 1
例 2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
线 与 截下的线段 PQ之
长数值上等于阴影部分的面积,求曲线,
y
)( xfy ? )0(3 ?? xxy
)(xf
,)()( 230 yxdxxfx ???
? ??x yxy d x0 3,
两边求导得,3 2xyy ???
解
解此微分方程 x
y
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P
Q 3xy ?
)( xfy ?
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?
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,663 2 ???? ? xxCe x
,0| 0 ??xy由,6??C得
所求曲线为 ).222(3 2 ????? ? xxey x
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非齐次方程的通解为,y=x(-4lnx+k),代入初始条件 y(1)=1,得 k=1,
因此，曲线弧方程为,y=x(1-4lnx)
P.348 求通解,1.(10)
02)6( 2 ??? ydxdyxy
分析,如果把 x看成自变量，把 y看成因变量，上式不
是一阶线性方程；
反之，如把 y看成自变量，把 x看成因变量,上式成为,
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是一阶非齐次线性方程
先解对应齐次方程的通解，得：,
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方程为 非线性微分方程,
二、伯努利方程
时，当 1,0?n
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解法, 需经过变量代换化为线性微分方程,
,1 nyz ??令,则 dxdyyndxdz n??? )1(
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（这是处理伯努利方程的固定的格式，应该记住）
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,41 2xyxdxdyy ??
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这是一个伯努利方程;)(s i n 1.2 2 xyxyxdxdy ??
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所求通解为,4)2s i n(2 Cxxyxy ???;1.3 yxdxdy ??
解,uyx ??令,1?? dxdudxdy则
代入原式,11 udxdu ??
分离变量法得,)1l n( Cxuu ????
,代回将 yxu ?? 所求通解为
,)1l n( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或
另解,yxdy
dx ??方程变形为
这是一个以 y为自变量，以 x为未知函数的一阶线性非齐
次方程,已能求解。
用适当的变量代换将方程化为可分离变量的方程,
（ 1）设 v=x+y;
(2) 设 v=x-y;
（ 3）设 v=xy
(4) 方程可写成,
xxyxyy c o s)1( s i n)1( s i n2 22 ???????
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设 v=y+sinx-1
(5) 设 v=xy
思考题
求微分方程 的通解, yxyy yy s i n2s i nc o s c o s ???
思考题解答
y
yxyy
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s i n2s i nc o s ??,ta n2s i n yxy ??
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