第二节
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?
的方程称为可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
? ?? dxxfdyyg )()(
设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
分离变量法
形如
解法,
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
dy ?
解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
dy
12ln Cxy ??
.2 为所求通解xCey ??
二、典型例题
例 2：求解微分方程
.2co s2co s yxyxdxdy ????
解：,02co s2co s ????? yxyxdxdy
,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy
,
2
s i n
2
s i n2
?? ?? dx
x
y
dy
2c o t2c s cln
yy ?,
2co s2 C
x ??
2s in2s in2c o sc o s
?????? ?????
cc t g xxx d x ???? c s clnc s c
两边积分，得解,
例 3 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
dM ???
,?? ??? dtMdM
00 MM t ??代入
,lnln CtM ????,tCeM ???即
00 CeM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 4 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小
孔流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始
时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器
里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时
间 t的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流
出的流量为
,262.0 ghSdtdVQ ???
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
cm100
h
o
r
hdhh? )1(,262.0 dtghdV ??
设在微小的时间间隔 ],,[ dttt ?
水面的高度由 h降至,dhh?,2 dhrdV ???则
,2 0 0)1 0 0(1 0 0 222 hhhr ??????
)2(,)2 0 0( 2 dhhhdV ?????
比较 (1)和 (2)得, dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
1?S?,cm2
dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
即为未知函数的微分方程, 可分离变量
,)2 0 0(262.0 3 dhhhgdt ????
,)5234 0 0(262.0 53 Chhgt ?????
,100| 0 ??th?,1015
14
262.0
5?????
gC
).310107(265.4 5335 hhgt ?????所求规律为
解
例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
2CO
2CO
%03.0
设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
],[ dttt ?在 内,
2CO 的通入量
2CO 的排出量
,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量 2CO 的改变量 ? ?
03.02 0 0 01 2 0 0 0 ??? dtdx ),(2 0 0 0 txdt ???
),03.0(61 ??? xdtdx,03.0 61 tCex ????
,1.0| 0 ??tx?,07.0?? C,07.003.0 6
1 tex ????
,056.007.003.0| 16 ??? ?? ex t
6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
例 6,P。 334 7。
取 O为原点，河岸朝顺水方向为 x轴,y轴指向对岸。
并设小船的航行路线为 y=y(x)，则小船的航行速度为,
},),({},{},{ ayhkydtdydtdxvvv yx ????
?
a
yhky
dy
dx )( ??? dyyhkya d x )( ???
,)32(
3
2 Cyyhkax ????
代入初始条件 y(0)=0,得 C=0,
则所求航线为,
)32(
3
2 yyh
a
kx ??
可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
dxxfdyyg )()( ?
的方程称为可分离变量的微分方程,
5
4
22 yx
dx
dy ?例如,2 254 dxxdyy ?? ?
设函数 )( yg 和 )( xf 是连续的,
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设函数 )( yG 和 )( xF 是依次为 )( yg 和 )( xf 的原函
数,CxFyG ?? )()( 为微分方程的解,
分离变量法
形如
解法,
例 1 求解微分方程,2 的通解xydx
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解 分离变量,2 x d xydy ?
两端积分,2?? ? xdxy
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.2 为所求通解xCey ??
二、典型例题
例 2：求解微分方程
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两边积分，得解,
例 3 衰变问题, 衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正比,已知 00 MM t ??,求衰变过程中铀含量 )( tM
随时间 t 变化的规律,
解,dtdM衰变速度 由题设条件
)0( 衰变系数????? MdtdM dtM
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00 MM t ??代入
,lnln CtM ????,tCeM ???即
00 CeM ?得,C?
teMM ???? 0 衰变规律
例 4 有高为 1米的半球形容器,水从它的底部小
孔流出,小孔横截面积为 1平方厘米 (如图 ),开始
时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器
里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离 )随时
间 t的变化规律,
解 由力学知识得,水从孔口流
出的流量为
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流量系数 孔口截面面积 重力加速度
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设在微小的时间间隔 ],,[ dttt ?
水面的高度由 h降至,dhh?,2 dhrdV ???则
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比较 (1)和 (2)得, dhhh )2 0 0( 2???,262.0 dtgh?
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即为未知函数的微分方程, 可分离变量
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解
例 5 某车间体积为 12000立方米,开始时空气中
含有 的,为了降低车间内空气中
的含量,用一台风量为每秒 2000立方米的鼓风机
通入含 的 的新鲜空气,同时以同样的
风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动 6分
钟后,车间内 的百分比降低到多少?
2CO%1.0 2CO
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设鼓风机开动后 时刻 的含量为 2CO )%(txt
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,03.02 0 0 0 ??? dt
),(2000 txdt ???
2CO 的通入量 2CO 的排出量 2CO 的改变量 ? ?
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6分钟后,车间内 的百分比降低到 %.056.02CO
例 6,P。 334 7。
取 O为原点，河岸朝顺水方向为 x轴,y轴指向对岸。
并设小船的航行路线为 y=y(x)，则小船的航行速度为,
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代入初始条件 y(0)=0,得 C=0,
则所求航线为,
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