第十章
微分方程
例 1 一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2?
?? x d xy 2
2,1 ?? yx 时其中
,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
一、问题的提出
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解
4.02
2
??dt sd
,20,0,0 ???? dtdsvst 时
14.0 Ctdt
dsv ????
2122.0 CtCts ????
设制动 t秒钟后列车才能仃住，在此期间列车又行驶了
s=s(t)米,因此有,
代入条件后知 0,20 21 ?? CC
,202.0 2 tts ???
,204.0 ???? tdtdsv
故
),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
).(5005020502.0 2 米??????s
开始制动到列车完全停住共需
由 v=0可知,
微分方程,
凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程
叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? xdxdtxt
,32 xeyyy ??????
,yxxz ????
因此微分方程是 联系自变量,未知函数以及
未知函数的导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的定义
分类 1,常微分方程,偏微分方程,
微分方程的阶, 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为 微分方程的阶,
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 2,
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ???;02)( 2 ????? xyyyx
末知函数及末知函数的导数都是自变量 x的一次函数是线性微
分方程的必要条件（但不是充分条件）,
形如
的微分方程，称为线性微分方程。否则，称为非线性微分方程。
)()()(.,,)( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ??
???? 2s i n??dd
02 2 ???????? yxyyx
线性微分方程,
,1s i n 2 ???? xyxy
非线性微分方程,
1??? xyy
分类 4,微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
dx
dy
微分方程组,
微分方程, ;02)( 2 ????? xyyyx
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为 微
分方程的解,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
微分方程的解的分类,
三、关于微分方程的解
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同,
)( xy ??
因此,是微分方程 =0 的解。 ),,,( )( nyyyxF ????
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xCey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xCxCy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
其解是过定点的一条积分曲线 ;
?
?
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
其解是过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证, 函数 ktCktCx s i nco s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
dt
xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
0
??
?
?
t
t
dt
dx
Ax 的特解,
解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx ????
,s i nc o s 22122
2
ktCkktCkdt xd ???
,2
2
的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
0
0 ??
?
?
t
t dt
dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为,c o s ktAx ?
二、确定函数关系式 )s in ( 21 CxCy ?? 所含的参数,使
其满足初始条件 1???xy,0?? ??xy,
0co s)co s ()(),co s ( 212121 ????????? ccccycxcy ??
1,
2
,0 122 ????? ccc t g c ?
解,
1s i n)s i n ()( 2121 ???? ccccy ??
例题,
P(x,y)
Q O x x
y
?
2
???
02,2 ??????? xyyyxy ?
??? c tg
x
yy ?????? )
2ta n (2,ta n
Y=f(x)
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
解,
例题,
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
解,
例题,
,1???? ? xx beaey
1??????? ? xybeaey xx
xyy ????? 1 为所求的微分方程。
1????? xyy
本章的重点：方程的求解
求解方程的一般方法,
1。判定方程的类型,
是一阶方程，二阶方程还是更高阶的方程？
是一阶方程或二阶方程中的哪种标准类型？
2。根据方程的类型确定合适的求解方法。
3。有时要通过适当的变量代换以后，才能使方程变
换到可求解的标准形式。
题目的类型主要有三大类,1。求方程的通解；
2。求方程满足初始条件的特解；
3。应用题 — 按题意，建立方程并求解。
微分方程
例 1 一曲线通过点 ( 1,2 ),且在该曲线上任一点
),( yxM 处的切线的斜率为 x2,求这曲线的方程,
解 )( xyy ?设所求曲线为
xdxdy 2?
?? x d xy 2
2,1 ?? yx 时其中
,2 Cxy ??即,1?C求得
.12 ?? xy所求曲线方程为
一、问题的提出
例 2 列车在平直的线路上以 20 米 / 秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 4.0? 米 / 秒 2,问开始制动
后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内
行驶了多少路程？
解
4.02
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,20,0,0 ???? dtdsvst 时
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,202.0 2 tts ???
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),(504.020 秒??t
列车在这段时间内行驶了
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开始制动到列车完全停住共需
由 v=0可知,
微分方程,
凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程
叫微分方程,
例,xyy ??
,0)( 2 ??? xdxdtxt
,32 xeyyy ??????
,yxxz ????
因此微分方程是 联系自变量,未知函数以及
未知函数的导数 (或微分 )之间的关系式,
二、微分方程的定义
分类 1,常微分方程,偏微分方程,
微分方程的阶, 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为 微分方程的阶,
,0),,( ??yyxF一阶微分方程 );( yxfy ??
高阶 (n)微分方程,0),,,,( )( ?? nyyyxF ?
).,,,,( )1()( ??? nn yyyxfy ?
分类 2,
分类 3,线性与非线性微分方程,
),()( xQyxPy ???;02)( 2 ????? xyyyx
末知函数及末知函数的导数都是自变量 x的一次函数是线性微
分方程的必要条件（但不是充分条件）,
形如
的微分方程，称为线性微分方程。否则，称为非线性微分方程。
)()()(.,,)( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ??
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线性微分方程,
,1s i n 2 ???? xyxy
非线性微分方程,
1??? xyy
分类 4,微分方程与微分方程组,
?
?
?
?
?
??
??
,2
,23
zy
dx
dz
zy
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微分方程组,
微分方程, ;02)( 2 ????? xyyyx
微分方程的解,
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为 微
分方程的解,
,)( 阶导数上有在区间设 nIxy ??
.0))(,),(),(,( )( ??? ?? xxxxF n?
微分方程的解的分类,
三、关于微分方程的解
(1)通解, 微分方程的解中含有任意常数,且任
意常数的个数与微分方程的阶数相同,
)( xy ??
因此,是微分方程 =0 的解。 ),,,( )( nyyyxF ????
(2)特解, 确定了通解中任意常数以后的解,
,yy ??例 ;xCey ?通解
,0???? yy ;c o ss i n 21 xCxCy ??通解
解的图象, 微分方程的积分曲线,
通解的图象, 积分曲线族,
初始条件, 用来确定任意常数的条件,
其解是过定点的一条积分曲线 ;
?
?
?
?
??
? 00
),(
yy
yxfy
xx
一阶,
二阶,
?
?
?
????
????
?? 00 00,
),,(
yyyy
yyxfy
xxxx
其解是过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,
初值问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题,
例 3 验证, 函数 ktCktCx s i nco s
21
?? 是微分
方程 0
2
2
2
?? xk
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xd
的解, 并求满足初始条件
0,
0
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?
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解,co ss i n 21 ktkCktkCdtdx ????
,s i nc o s 22122
2
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,2
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的表达式代入原方程和将 xdt xd
.0)s i nc o s()s i nc o s( 212212 ????? ktCktCkktCktCk
.s i nc o s 21 是原方程的解故 ktCktCx ??
,0,
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?
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t
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dxAx?,0,
21 ??? CAC
所求特解为,c o s ktAx ?
二、确定函数关系式 )s in ( 21 CxCy ?? 所含的参数,使
其满足初始条件 1???xy,0?? ??xy,
0co s)co s ()(),co s ( 212121 ????????? ccccycxcy ??
1,
2
,0 122 ????? ccc t g c ?
解,
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例题,
P(x,y)
Q O x x
y
?
2
???
02,2 ??????? xyyyxy ?
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2ta n (2,ta n
Y=f(x)
三、设曲线上点 ),( yxP 处的法线与 x 轴的交点为 Q,
且线段 PQ 被 y 轴平分,试写出该曲线所满足的微
分方程,
解,
例题,
四、已知函数 1???? ? xbeaey xx,其中 ba,为任意常
数,试求函数所满足的微分方程,
解,
例题,
,1???? ? xx beaey
1??????? ? xybeaey xx
xyy ????? 1 为所求的微分方程。
1????? xyy
本章的重点：方程的求解
求解方程的一般方法,
1。判定方程的类型,
是一阶方程，二阶方程还是更高阶的方程？
是一阶方程或二阶方程中的哪种标准类型？
2。根据方程的类型确定合适的求解方法。
3。有时要通过适当的变量代换以后，才能使方程变
换到可求解的标准形式。
题目的类型主要有三大类,1。求方程的通解；
2。求方程满足初始条件的特解；
3。应用题 — 按题意，建立方程并求解。
