二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 ?? 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： ???? (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； ???? (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； ???? (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 ???? (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: ?????????? 即：= ?? 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. ?? 关于二重积分的问题 ?? 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 ?? 上述就是二重积分的几何意义。 ?? 如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 ?? (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. ??????????????  ?? (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. ??????????????  ?? (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ?????????????? ≤ ?? (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 ??????????????  ?????? 其中σ是区域(σ)的面积. ??????????????  ??二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 ?? 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下： ???????????????  ?????????? 或??  ?? 在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？ ?? 累次积分上下限的确定方法 ?? 我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域: ?????????????????????????????????  ?? 关于累次积分上下限的取法如下所述: ?? (1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b. ?? (2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d. ?? (3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。 ?? (4).如果(σ)既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分. ?? 例题：求二重积分，其中(σ)是由所围成的区域。 ?? 解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者 ???????? 先对y后对x积分： ?????????????????  极坐标系中的计算法 ?? 如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式. ?? 如果极点O在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下: ?????????????????  ?? 如果极点O在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下: ?????????????????  ?? 如果极点O在(σ)的边界上,边界方程为ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下: ?????????????????  ?? 有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。 ?? 注：直角坐标与极坐标的转换公式为： ??????????????????  ?? 例题：求，其中(σ)是圆环a2≤x2+y2≤b2 ?? 解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。 ???????? 把，dσ=ρdρdθ代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下： ??????????????????  ???????? 在对其进行累次积分计算： ??????????????????  三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念 ?? 设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它们的体积分别记作△Vk(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数 ????????????????????????????  ?? 如果不论△Vk怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作： ????????????????????????????  ?? 即： ????????????????????????????  ?? 如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。 ?? 对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。 直角坐标系中三重积分的计算方法 ?? 这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。 ?? 直角坐标系中三重积分的计算公式为： ????????????????????????????  ?? 此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。 ?? 例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域. ?? 解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是 ???????? 平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域. ???????? 我们为了确定出对z积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交 ???????? 点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得： ????????????????????????????  ???????? 其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示： ????????????????????????????  ???????? 再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得： ???????????????????????????  柱面坐标系中三重积分的计算法 ?? 我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。 ?? 平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为： ???????????????????????????  ?? 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为： ?????????? ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族， ?????????? θ=常数：通过z轴的半平面族， ?????????? z =常数：与z轴垂直的平面族. 因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。 ?? 柱面坐标系下三重积分的计算公式为： ????????????????  ?? 此处我们不在举例。