第三节
齐次方程
一、齐次方程
)( xyfdxdy ?形如 的微分方程称为 齐次方程,
2.解法,x
yu ?
作变量代换,xuy ?即
代入原式
,dxduxudxdy ???
),( ufdxduxu ??
.)( x uufdxdu ??即
可分离变量的方程
1.定义
?? ?? xdxuuf du )(或写成
齐次方程可以通过 变量代换化成 可分离变量的方程
例 1 求解微分方程
.0c o s)c o s( ??? dyxyxdxxyyx
，令 xyu ?,则 u d xxdudy ??
,0)(co s)co s( ???? xduu d xuxdxuuxx
,co s xdxud u ??,lns i n Cxu ???
.lns i n Cxxy ???微分方程的解为
解
22
22
yxyx
xyy
dx
dy
??
??
,
1
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
x
y
x
y
x
y
x
y
,xyu ?令,u d xx d udy ??则
.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程
解
2
2
1
2
uu
uu
dx
duxu
??
???,
1
23
1
2
2
32
2
2
uu
uuuu
uu
uu
dx
dux
??
????
??
??
x
dxdu
uuu
uu ?
??
???
)2)(1(
1 2
用部分分式法对左端的因式
作分解
,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????
.
)2(
1
2
3 Cxuu
u ?
?
?
微分方程的解为,)2()( 32 xyCyxy ???
,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????
,代回将 xyu ?
例 3 抛物线的光学性质（ P。 336）
实例, 车灯的反射镜面 ------旋转抛物面
L
X
Y
O P N
M
T L
S
?
?
?A
解,OM=OA=AP-OP
22c o t yxx
y
yOPPM ???
???? ?
1)( 2 ??? yxyxdydx
是以 y为自变量
以 x为末知函数
的齐次方程
y
dy
v
dv
y
xv ?
?? 1,2代入经整理得令
)2(2,2 cxcyx ??线焦点在坐标原点的抛物为旋转轴解之得以
)2(222 cxczy ???? 所求的旋转抛物面为
利用变量代换求微分方程的解
.)(7 2 的通解求例 yxdxdy ??
解,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程
21 u
dx
du ??,a r c t a n Cxu ??解得
得代回,yxu ??,)a r ct a n( Cxyx ???
原方程的通解为,)t a n ( xCxy ???
求解 微分方程常用的方法之一是通过变量代换
将给定的微分方程化成可求解的形式。
思考题
方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????
是否为齐次方程?
思考题解答
方程两边同时对 求导, x
,2 22 yxyyxy ?????
,22 yyxyx ????,1
2
x
y
x
yy ??
?
??
?
????
原方程 是 齐次方程,