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第八、九节 函 数 的 连 续 性
二,函数的间断点
三,闭区间上连续函数的性质
一,函数连续性的概念
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
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第一章 函数，极限与连续
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第 2 页
一,函数的连续性
1,函数的改变量
而记作的改变量
在点叫做自变量差时变到区间内由
在当自变量在某区间内有定义设函数
,,
,
,)(
010
0110
xxxx
xxxxx
xxfy
???
?
?
.)(),()( 01 的改变量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)(xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)(xfy ?
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2,连续的定义
定义 1 设函数 )( xfy ? 在 点
0
x 及其 附近 有
定义,如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,
对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即
0l i m
0
??
??
y
x
或 0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
则 称函数 )( xfy ? 在点 0
x
处 连续,点 0
x
称为
)( xf 的连续点 。
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定义 2 设函数 )( xfy ? 在点
0
x 及附近有
定义,如果函数 )( xfy ? 当
0
xx ? 时的极
限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )(
0
xf,
即, )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
则称函数 )( xfy ? 在点 0x 处连续。
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是 ).()(0 0xfxfy ??? 就是
由此,连续的定义又可叙述如下,
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例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m0 fxfx ??
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补充：单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
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例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
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3,连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间 ????
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法则 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点
则
处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s i n 内连续在 ????xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
连续函数具有下面的运算法则,
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法则 3 严格单调的连续函数必有严格单调的
连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
法则 2
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数
连续在点而函数
且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
???
????
???
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初等函数的连续性
定理 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
注意 2,初等函数连续性定理对分段函数不
适用,（因为分段函数不属于初等函数）
注意 1,初等函数连续性定理为我们提供了
求极限的方法 ----代入法,即,
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
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例 1,1s inli m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,s i ?? e
例 2,11li m
2
0 x
x
x
??
?
求
解
解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
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例 3,)1l n(lim
0 x
x
x
?
?
求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m ?? ?原式
])1(l i ml n[ 10 xx x?? ?
eln?
解
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例 4,1lim
0 x
e x
x
?
?
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
解,1 ye x ??令 ),1ln ( yx ??则
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
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课堂小结
连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
求极限的又一种方法,
两个定理,
反函数的连续性,
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二,函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
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1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
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2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
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解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函
数的定义,则可使其变为连续点,
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如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
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3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间目录 后退 主页
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例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
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例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
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课堂小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 ) 目录 后退 主页
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可去型 第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x 0x
o
y
x 0x
o
y
x 0x
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三,闭区间上连续函数的性质
定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
??
??
例如,,2m ax ?y,s i n1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
一、最大最小值定理
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定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
?
?
??
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立, 目录 后退 主页
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x
y
o
)(xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy ?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?目录 后退 主页
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定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点
称为函数则使如果
xf
xxfx ?
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf ?
二、介值定理
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a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与
则曲轴的不同侧端点位于
的两个连续曲线弧
x
x
xfy ?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
? ?ba,内至少有一点 ?,使得 Cf ?)( ? )( ba ???,x
y
o
)(xfy ?
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几何解释,
M
B
C
A
m
a
b 1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? ?
,0)( ???,0)()( ??? Cf ???即,)( Cf ?? ?
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值,
例
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)( ??f,014 23 ??? ??即
.)1,0(014 23 ?内至少有一根在方程 ???? xx
M m
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课堂小结
四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数,
这两点不满足上述定理不一定成立,
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
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复 习 指 导
1、连续函数的和差积商的连续性,
3、复合函数的连续性,
4、初等函数的连续性,
求极限的又一种方法,
2、反函数的连续性,
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5、函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
7、间断点的分类与判别 ;
6、区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
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第八、九节 函 数 的 连 续 性
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8、四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数,
这两点不满足上述定理不一定成立,
9、解题思路
1）直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2）辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点
定理 ;
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重点与难点
一、重点, 本节预备知识
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重点
与难
点
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第八、九节 函 数 的 连 续 性
1,正确求出初等函数的间断点；
2,正确判断分段函数在分界点上的连续
性的三个步骤；
3,判断间断点的类型；
4,闭区间上连续函数的最值定理；
5,闭区间上连续函数的性质。
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二、难点,
重点与难点
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第八、九节 函 数 的 连 续 性
1,连续所具备的三个条件；
2,连续与极限的区别；
3,正确判断间断点的类型。
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学习目的与要求
1,熟练掌握 y=f(x)在点连续的定义 2及连续必须满足的
三个条件；
2,牢记：初等函数在其定义域内是连续的；
3,正确判断分段函数在分界点上的连续性；
4,正确判断间断点的类型；
5,理解连续函数满足的运算法则；
6,理解闭区间上连续函数的最值定理；
7,了解左右连续的定义；
8,了解闭区间上连续函数的性质；
9,了解二分法。
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知识
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第八、九节 函 数 的 连 续 性
二,函数的间断点
三,闭区间上连续函数的性质
一,函数连续性的概念
本节预备
知识
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
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第一章 函数，极限与连续
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一,函数的连续性
1,函数的改变量
而记作的改变量
在点叫做自变量差时变到区间内由
在当自变量在某区间内有定义设函数
,,
,
,)(
010
0110
xxxx
xxxxx
xxfy
???
?
?
.)(),()( 01 的改变量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)(xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)(xfy ?
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2,连续的定义
定义 1 设函数 )( xfy ? 在 点
0
x 及其 附近 有
定义,如果当自变量的增量 x? 趋向于零时,
对应的函数的增量 y? 也趋向于零,即
0l i m
0
??
??
y
x
或 0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
则 称函数 )( xfy ? 在点 0
x
处 连续,点 0
x
称为
)( xf 的连续点 。
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定义 2 设函数 )( xfy ? 在点
0
x 及附近有
定义,如果函数 )( xfy ? 当
0
xx ? 时的极
限存在,且等于它在点
0
x 处的函数值 )(
0
xf,
即, )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
则称函数 )( xfy ? 在点 0x 处连续。
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是 ).()(0 0xfxfy ??? 就是
由此,连续的定义又可叙述如下,
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例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m0 fxfx ??
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补充：单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
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例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
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3,连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间 ????
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法则 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点
则
处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s i n 内连续在 ????xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
连续函数具有下面的运算法则,
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法则 3 严格单调的连续函数必有严格单调的
连续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
法则 2
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数
连续在点而函数
且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
???
????
???
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初等函数的连续性
定理 基本初等函数在定义域内是连续的,
定理 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
注意 2,初等函数连续性定理对分段函数不
适用,（因为分段函数不属于初等函数）
注意 1,初等函数连续性定理为我们提供了
求极限的方法 ----代入法,即,
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
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例 1,1s inli m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,s i ?? e
例 2,11li m
2
0 x
x
x
??
?
求
解
解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
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例 3,)1l n(lim
0 x
x
x
?
?
求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m ?? ?原式
])1(l i ml n[ 10 xx x?? ?
eln?
解
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例 4,1lim
0 x
e x
x
?
?
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
解,1 ye x ??令 ),1ln ( yx ??则
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
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课堂小结
连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
求极限的又一种方法,
两个定理,
反函数的连续性,
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二,函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
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1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
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2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
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解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函
数的定义,则可使其变为连续点,
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如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
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3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间目录 后退 主页
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例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
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第 23 页
例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
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课堂小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 ) 目录 后退 主页
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可去型 第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x 0x
o
y
x 0x
o
y
x 0x
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三,闭区间上连续函数的性质
定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
??
??
例如,,2m ax ?y,s i n1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
一、最大最小值定理
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定理 1(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2? 1? x
y
o
)(xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
?
?
??
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立, 目录 后退 主页
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x
y
o
)(xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)(xfy ?
定理 2(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?目录 后退 主页
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定理 3( 零点定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且 )( af 与 )( bf 异号 ( 即 0)()( ?? bfaf ),
那末在开区间 ? ?ba,内至少有函数 )( xf 的一个零
点,即至少有一点 ? )( ba ???,使 0)( ??f,
定义,
.)(
,0)( 000
的零点
称为函数则使如果
xf
xxfx ?
.),(0)( 内至少存在一个实根在即方程 baxf ?
二、介值定理
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a b3?2?1?
几何解释,
.
,
)(
轴至少有一个交点线弧与
则曲轴的不同侧端点位于
的两个连续曲线弧
x
x
xfy ?
定理 4( 介值定理 ) 设函数 )( xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C,在开区间
? ?ba,内至少有一点 ?,使得 Cf ?)( ? )( ba ???,x
y
o
)(xfy ?
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几何解释,
M
B
C
A
m
a
b 1? 2? 3? 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? ?
,0)( ???,0)()( ??? Cf ???即,)( Cf ?? ?
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
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第八、九节 函 数 的 连 续 性
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值,
例
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? ?,0)( ??f,014 23 ??? ??即
.)1,0(014 23 ?内至少有一根在方程 ???? xx
M m
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课堂小结
四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数,
这两点不满足上述定理不一定成立,
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
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复 习 指 导
1、连续函数的和差积商的连续性,
3、复合函数的连续性,
4、初等函数的连续性,
求极限的又一种方法,
2、反函数的连续性,
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5、函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
7、间断点的分类与判别 ;
6、区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
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8、四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数,
这两点不满足上述定理不一定成立,
9、解题思路
1）直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2）辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点
定理 ;
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重点与难点
一、重点, 本节预备知识
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1,正确求出初等函数的间断点；
2,正确判断分段函数在分界点上的连续
性的三个步骤；
3,判断间断点的类型；
4,闭区间上连续函数的最值定理；
5,闭区间上连续函数的性质。
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二、难点,
重点与难点
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1,连续所具备的三个条件；
2,连续与极限的区别；
3,正确判断间断点的类型。
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学习目的与要求
1,熟练掌握 y=f(x)在点连续的定义 2及连续必须满足的
三个条件；
2,牢记：初等函数在其定义域内是连续的；
3,正确判断分段函数在分界点上的连续性；
4,正确判断间断点的类型；
5,理解连续函数满足的运算法则；
6,理解闭区间上连续函数的最值定理；
7,了解左右连续的定义；
8,了解闭区间上连续函数的性质；
9,了解二分法。
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