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第五节 曲线的曲率
一,弧微分
二,曲率的概念
三,曲率的计算公式
四,曲率圆与曲率半径
第三章 导数的应用
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退
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
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一、弧微分
R
x?A
0x
M
x
T
dxx?
为度量弧长起点
上取固定点在曲线
A
xfy )(?
x
y
o
)(
s
,),(
xss
x
AMs
yxM
?记为
的单调函数是假定
弧长表示
为任意一点
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与要
求
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与难
点
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y?
dyN
,0 时当 ?? x sMN ??sds ?? MNMN ?
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如图，,0 时当 ?? x
22 )()( yxMN ????
xxy ????? 2)(1
,1 2 dxy???
sMN ??,ds?
22 )()( dydxMT ??,1 2 dxy???
.1 2 dxyds ???故
,)( 为单调增函数xss ??,1 2 dxyds ???故
弧微分公式
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R
x?A
0x
M
x
T
dxx? x
y
o
y?
dyN
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例 1 求抛物线 432 2 ??? xxy 的弧微分
解 由弧微分公式得
ds dxdxdy 2)(1 ?? dxx 2)34(1 ???
dxxx 102416 2 ???
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二、曲率的概念
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1M
3M
2??
2M 2S?
1S?
M M?1S?
2S?N N???
弧段弯曲程度
越大转角越大
转角相同弧段越
短弯曲程度越大
1.曲率的定义
1??
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????
??S?S
)?.
M?,
M
C
0M
y
x o
.sKMM ???? ?的平均曲率为弧段
设曲线 C是光滑的,
.0 是基点M,sMM ???
.???? 切线转角为MM
定义
sK s ?
???
?? 0
lim曲线 C在点 M处的曲率
,lim
0
存在的条件下在 dsds
s
?? ?
?
?
??
.dsdK ??
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注意,
(1) 直线的曲率处处为零 ;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且
半径越小曲率越大,
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三、曲率的计算公式
,)( 二阶可导设 xfy ?,t a n y????
,a r c t a n y ???有,1 2 dxyyd ?? ????
.1 2 dxyds ???
.
)1( 2
3
2y
yk
??
????
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,),( ),( 二阶可导设
??
?
?
?
ty
tx
?
?
.
)]()([
)()()()(
2
3
22 tt
ttttk
??
????
???
?????????
,)( )( ttdxdy ?? ????,)( )()()()( 32
2
t
tttt
dx
yd
?
????
?
????????
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例 2?2 上哪一点的曲率最大抛物线 cbxaxy ???
解,2 baxy ???,2ay ???
.
])2(1[
2
2
3
2bax
ak
??
??
显然,,2 时当 abx ??,最大k
,)4 4,2(
2
为抛物线的顶点又 a acbab ????
.最大抛物线在顶点处的曲率?
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点击图片任意处播放 \暂停 ).
(
1
),(
,
的半径
为圆弧轨道到
率连续地由零过渡
使曲如图缓冲段
弯道之间接入一段
稳，往往在直道和
驶平容易发生事故，为了行的曲率突然改变
道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯
R
R
例 3
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.
1
)1(
,
],0[
6
1
0
3
R
A
R
l
R
l
OOA
OAlOA
xxx
Rl
y
的曲率近似为
时，在终端
很小并且当为零
的曲率在始端
的长度，验证缓冲段为，其中缓冲段
．作为，通常用三次抛物线
??
??
x
y
o
R
),( 00 yxA )0,(
0xC
l
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x
y
o
R
),( 00 yxA )0,(
0xC
证 如图
的负半轴表示直道，x
.,是圆弧轨道是缓冲段 ABOA
在缓冲段上,
,2 1 2xRly ??,1 xRly ???
,0,0,0 ?????? yyx 处在,00 ?k故缓冲始点的曲率
实际要求,0xl ?
l
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2
02
1
0 xRly xx ?? ?有
2
2
1 l
Rl?,2R
l?
0
1
0 xRly xx ??? ? lRl
1?,1
R?
的曲率为故在终端 A
0
2
3
2 )1(
xxA
y
yk
?
??
???
2
3
2
2
)
4
1(
1
R
l
R
?
?
,1??Rl?,
1
Rk A ?得,4 2
2
R
l略去二次项
x
y
o
R
),( 00 yxA )0,(
0xC
l
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四、曲率圆与曲率半径
定义
D )(xfy?
M
k1??
.),(
,.
1
,
,
).0(),(
)(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图作圆
为半径为圆心以
使在凹的一侧取一点
处的曲线的法线上在点
处的曲率为
在点设曲线
M
D
k
DMD
M
kkyxM
xfy
????
?
?
,曲率中心???D,曲率半径????
x
y
o
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1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数,
.1,1 ?? ?? kk即
注意,
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
处的曲率越小 (曲线越平坦 );曲率半径越小,曲
率越大 (曲线越弯曲 ),
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附
近曲线弧 (称为曲线在该点附近的二次近似 ),
第五节 曲线的曲率
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例 4
x
y
o
Q
P
?
.
,
.70
,/400
,)(
4000
2
压力
飞行员对座椅的到原点时
求俯冲千克飞行员体重
秒米处速度为点
在原俯冲飞行单位为米
飞机沿抛物线
?
?
vO
x
y
解 如图,受力分析,PQF ??
视飞行员在点 o作匀速圆周运动,.
2
?
mvF ??
O点处抛物线轨道的曲率半径
第五节 曲线的曲率
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00 2 0 0 0 ?? ?? xx
xy,0?,
2000
1
0 ??? ?xy
得曲率为,200010 ?? xxk 曲率半径为,2000 米??
2000
40070 2??? F ),(4.5 7 1)(5 6 0 0 千克牛 ??
),(4.571)(70 千克力千克力 ??? Q
).(5.641 千克力?
即,飞行员对座椅的压力为 641.5千克力,
第五节 曲线的曲率
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小结,
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性
质的数学分支 —— 微分几何学,
基本概念, 弧微分,曲率,曲率圆,
曲线弯曲程度的描述 —— 曲率 ;
曲线弧的近似代替曲率圆 (弧 ),
第五节 曲线的曲率
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1、了解曲率的计算公式
2、掌握曲率半径的计算公式
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本节的重点与难点
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? 重点
1,曲率的计算公式；
2,曲率半径的计算公式。
? 难点
? 实际应用求曲率半径