上页 下页 返回
第 1 页
第五节 广 义 积 分
I.无穷区间上的广义积分
II.无界函数的广义积分
第五章 定积分
目录 后退
主
页
退
出
本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
上页 下页 返回
第 2 页
I,无穷区间上的广义积分
一、预备知识
1.定积分的概念
3.牛顿 -莱布尼兹公式
2.极限的概念及计算方法
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 3 页
定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[ ??a 上连续，取
ab ?,如果极限 ?
???
b
ab
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[ ??a 上的广义积
分，记作 ?
??
a
dxxf )(,
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
二、无穷区间上的广义积分
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 4 页
类似地可 ],()( bxf ??在 上的广义积分，为,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
而 )( xf 在区间 ),( ???? 上的广义积分为,
? ??? a dxxf )(? ???? dxxf )( ? ??? a dxxf )(
????? 0 )(l i m aa dxxf ????? bb dxxf0 )(lim
极限存在称广义积分 收敛 ；否则称广义积分 发散,
a 为任意常数） （其中
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 5 页
例 1 计算广义积分
解
.10 2? ?? ? xxdx
? ?? ?0 21 xxdx? ? ?? ? ?? 0 221 )1(21 xxd
????
0
2 )]1[ l n (
2
1 x???
? 广义积分 ? ?? ?
0 21 x
xdx发散
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 6 页
例 2 计算广义积分 ? ???? ? 21 xdx
解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx
? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1lim
? ?0a rct a nlim aa x???? ? ?bb x 0a rc t a nlim ????
aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nlim ????,22 ?????????? ????
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 7 页
例 3 计算广义积分
解
? ??0 dxxe x
? ??0 dxxe x ? ??? 0 )( xexd
? ???? ?? 00][ dxexe xx
00 ][][ ???? ?? xx exe
)1(l i m xxx exe ???? ???
1??
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 8 页
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，而
,)(l i m ??
?
?
xf
bx
设,b?? 如果极限
,)(l i m ???
?
??
?
ab
dxxf
存在，则称此极限为函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上的
广义积分，记作 ?
b
a
dxxf )(,即
?ba dxxf )( ? ??? ?? ab dxxf )(l i m
II,无界函数的广义积分
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 9 页
类似地，当 ??
?
?
)(l i m xf
ax
时，定义,
)(,)(lim)( adxxfdxxf
b
a
b
a
??? ??
???
?
,
如果 )( xf 在 ],[ ba 上除 c 点外都连续
)( bca ??,且,)(l i m ??
?
xf
cx
则定义,
? ? ???ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(
当上式右边两个广义积分都收敛时，称广
义积分收敛。
当极限存在时，称广义积分都收敛；当极
限不存在时，称广义积分发散。
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 10 页
例 4 计算广义积分
解
? ?10 21 xdx
,1 1lim 2
1
?????
? xx
?
1?? x 为被积函数的无穷间断点,
? ??? ?? ? 0 21 1lim xdx
? ??
?? ?
? 0
1
a r c s inlim x? ?0a rcs i nl i m
1 ??? ???
.2??
? ?10 21 xdx
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 11 页
例 5 计算广义积分
解
??11 2xdx
??? ?? 10 201 2 xdxxdx
故原广义积分发散,
??11 2xdx
?? ??????? ?? ?? 1 201 20 limlim xdxxdx
因为 ?? ???
?
??? ??
1
201 20 l i ml i m x
dx
x
dx,都不存在,
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 12 页
例 6 计算广义积分
解
?21 ln xxdx
?21 ln xx dx ???? ?? 21 lnli m xx dx
???? ?? 21 ln )( l nl i m xxd ? ?21 )ln ( lnli m ??? ?? x
? ?)l n ( l n)2l n ( l nlim 1 ??? ???
.?? 故原广义积分发散,
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 13 页
无界函数的广义积分（瑕积分）
无穷区间上的广义积分
? ???? dxxf )( ? ??b dxxf )( ? ??a dxxf )(
? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
（注意：不能忽略内部的瑕点）
?ba dxxf )(
小结
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 14 页
练习题
例 3 计算下列广义积分
? ??
?
2
1s in1.1
2 dxxx
? ?30 32)1(.2 x dx
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 15 页
? ??
?
2
1s in1.1
2 dxxx ?
??
?
???????? 2 11s i n xdx
?
?
???????? ???
b
b x
dx2 11s i nl im
b
b x
?
??
?
??
??
??? 2
1co slim
??
?
??
? ??
??? 2
c o s1c o slim ?b
b,1?
练习题解答
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 16 页
1?x 为瑕点
? ?30 32)1(.2 x dx ? ? ???? 10 31 3232 )1()1( x dxx dx
? ?10 32)1( x dx ? ?
?? ?
?
? 01 32)1(
li m
x
dx
3?
? ?31 32)1( x dx ??
?? ?
?
?
3
1 32)1(
lim
x
dx,23
3??
? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??
称
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 17 页
下列广义积分是否收敛？若收敛，算出它的值,
习题 5-4
??
???
???
?
?
?
??
?
??
??
?
????
?
3
2 3 2
1
0
3
2
4
2
1
0 20
1
3
1
.8
1
.7
co s
.6
1
.5.4
.3
ln
.2
1
.1
2
dx
x
dx
x
x
dx
x
x d x
dxxe
dxxedx
x
x
dx
x
x
x
e
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 18 页
习题 5-4答案
)23(3.8.7.61.5
1.40.3.2
2
1
.1
33 ?发散发散
发散
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 19 页
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节的学习目的与要求
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,了解广义积分概念；
2,了解广义积分计算 。
上页 下页 返回
第 20 页
第五节 广 义 积 分
目录 后退
主
页
退
出
本节的重点与难点
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
? 重点
? 广义积分计算
? 难点
? 广义积分计算 。