上页 下页 返回
第 1 页
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
I,变上限的积分函数
II,牛顿 -莱布尼兹公式
第五章 定积分
目录 后退
主
页
退
出
本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
上页 下页 返回
第 2 页
一、预备知识
I,变上限的积分函数
1.函数的概念
2.导数和原函数的概念
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 3 页
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点，
? xa dxxf )(
考察定积分
?? xa dttf )(
记,)()( ??? xa dttfx 积分上限函数
如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于
每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以
它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
二、变上限的积分函数
1.变上限的积分函数的定义
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 4 页
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分 上限的函
数 dttfx
x
a
??? )()( 在 ],[ ba 上具 有导数，且它的导数
是
)()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
2.积分上限函数的性质
定理 2（原函数存在定理）
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个
原函数,
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 5 页
定理的重要意义,
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之
间的联系,
例 1 )(,)( 0 2 xdttex x t ? ??? ? ? 求设
解 利用定理 1得
)(x?? 2xxe??
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 6 页
II,牛顿 — 莱布尼茨公式
一、预备知识
不定积分的基本公式和计算方法
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 7 页
定理 3（微积分基本公式）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上
的一个原函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
???,
牛顿 — 莱布尼茨公式,
二、牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ??? ? ?baxF )(?
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 8 页
微积分基本公式表明,
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量, 因此
注意
当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立,
求定积分问题转化为求原函数的问题,
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 9 页
例 2 求 ?10 2dxx
原式
1
0
3
3
1
??
?
??
?? x
3
1?解
解
例 3 求 ?? ?11 21 1 dxx
原式 1 1][ a r c t a n ?? x
)1a r ct a n (1a r ct a n ???
2
??
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 10 页
例 3 求
解
.112 dxx???
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,
dxx??? 12 1 ? ? 1
2||ln ??? x,2ln2ln1ln ????
解 原式 =
例 4 求 ?? ?31 2 dxx
?? ?21 2 dxx ? ?? 32 2 dxx
?? ???? ? 322 1 )2()2( dxxdxx
3
2
22
1
2 ]2
2
1[]
2
12[ xxxx ????
?
5?2129 ??
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 11 页
3.微积分基本公式
1.积分上限函数 ??? x
a dttfx )()(
2.积分上限函数的导数 )()( xfx ?? ?
)()()( aFbFdxxfba ???
小结
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积
分学之间的关系,
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 12 页
练习题
计算下列各定积分,
1, ? ?
2
1 2
2
)
1
( dx
x
x ; 2, ?
? ?
1
1 1
dx
e
e
x
x;
3, ?
? ?
??0
1 2
24
1
133
dx
x
xx; 4, ?
?2
0
s i n dxx,
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 13 页
练习题解答
dxxx? ?21 22 )1(.1 dxxdxx? ??? 21 21 22 1
2
1
2
1
3 ]1[]
3
1[
xx ??? 6
52?
dxee x
x
?? ?11 1.2 ?? ??? 1 1 1 )1( x xeed
1 1)]1[ l n ( ??? xe
1?
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 14 页
?? ? ??0 1 2
34
1
133.3 dx
x
xx ?
? ???
0
1 2
2 )
1
13( dx
xx
? ?? ? ?? 0 1 0 1 22 113 dxxdxx
0 10 13 ][ a r c t a n][ ?? ?? xx 41 ???
? ?20 s in.4 dxx ?? ??? ?? 20 s ins in dxxdxx
?? ??? ?? 20 s ins in x d xx d x
??? ???? 20 ]c o s[]c o s[ xx4?
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 15 页
习题 5-2
1.求下列函数在指定点的导数
)1(,1)()2(
)2(,
1
1
)()1(
2
3
1 2
? ????
? ?
?
??
?
?
求设
求设
dttx
dt
t
x
x
x
2.求下列极限
2
0
0
0
2
0
a r c t a n
lim)2(
c o s
lim)1(
x
td t
x
td t
x
x
x
x
??
??
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 16 页
3.求下列定积分
??
??
??
??
??
???
?
?
?
??
??
?
?
?
2
0
2
5
0
1
0
32
2
0
2
1
1
0
2
1
2
1
2
3
1
2
2
1
0
2
1
2
21)10(42)9(
)1()8(
)co s3(
s i n
)7(
ln
)6(
1
1
)5(
1
1
)4(
1
1
)3(
)1()2()1()1(
dxxxdxx
dxxxdx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
dx
x
dxxdxx
e
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 17 页
习题 5-2答案
1)10(13)9(
8
15
)8(
12
1
)7(
2
1
)6(
2ln)5(
3
)4(
12
)3(
3
1
)2(0)1.(3
2
1
)2(1)1.(22)2(
5
1
)1.(1
??
?
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 18 页
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节的学习目的与要求
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,了解变上限积分函数；
2,掌握牛顿－莱布尼兹公式 。
上页 下页 返回
第 19 页
第二节 牛顿 -莱布尼兹公式
目录 后退
主
页
退
出
本节的重点与难点
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
? 重点
? 牛顿－莱布尼兹公式的应用 。
? 难点
? 牛顿－莱布尼兹公式的思想 。