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第六节 定积分在几何中的应用
I.定积分的微元法
II.平面图形的面积
IV.平面曲线的弧长
III.体积
第五章 定积分
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本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
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I,定积分的元素法
求曲边梯形面积的有关知识
?? ba dxxfA )(
一、预备知识
a b x
y
o
)(xfy ? 根据定积分的几何意义
知，如图所示曲边梯形的面
积为
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（ 1 ） 分割,把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小
窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
,求面积 A的步骤为,
（ 2 ） 近似,计算 iA? 的近似值
,)( iii xfA ????
（ 3）求和, 得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
][,1 iii xx ???
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（ 4） 求极限, 得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx ?? 上的窄曲边梯形的面积，
则 ? ?? AA,并取 dxxfA )(??,
于是 ?? dxxfA )(
?? dxxfA )(l i m a b x
y
o
)(xfy ?
dA
面
积
元
素
x dxx ?
.)(?? ba dxxf
提示
?? ba dxxf )(
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这个方法通常叫做 元素法 (微元法 ),
以所求量 A 的元素 dxxf )( 为被积表达式，
在区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfA )(,
即为所求量 A 的积分表达式,
应用范围,
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等,
二、微元法
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微元法的一般步骤,
( 1 ) 确定积分变量 )( yx 或,并求出相应的积分
区间 ],[ ba ；
( 2 ) 在区间 ],[ ba 内任取一小区间 ],[ dxxx ?,
求出相应的微元素
dxxfdA )(?
(3) 求 dxxfdAA
b
a
b
a
?? ?? )(
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II,平面图形的面积
一、预备知识
1.直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 。
2.极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的
相关知识。
3.扇形的面积公式,?? 221 RA
圆半径
圆心角
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1.直角坐标系下平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
a bxx ??x
曲边梯形的面积
dxxfA ba )(??
如图：由曲线 )( xfy ?
和直线 0,,??? xbxax 所组
成的曲边梯形的面积的微元素,
dxxfdA )(?
所以
二、平面图形的面积
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x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a bxx ??x
?? ??? baba dxxfxfdAA )]()([)3( 12
如图：求由曲线
),()( 21 xfyxfy ?? 和
),()( 21 xfxf ?且 以及直线 bxax ??,所围成
（ 1）如图,以 x
].,[ ba
（ 2）在 ],[ ba
],[ dxxx ?
dxxfxfdA )]()([ 12 ??
为积分变量，积分区间为
图形的面积
内任取一小区间
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例 1 求由抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的图形
的面积,
解 两曲线的交点 )1,1()0,0(
dxxxdA )( 2??面积元素
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy?
2yx?
以 为积分变量，积分区间为
];1,0[
x
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例 2 求 由曲线 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点
?
?
?
?
??
2
3 6
xy
xxy
).9,3(),4,2(),0,0( ??
选 为积分变量 x ]3,2[??x
],0,2[)1( ??x
],3,0[)2( ?x
dxxxxdA )6( 231 ???
dxxxxdA )6( 322 ???
2xy?
xxy 63 ??
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于是所求面积 21 AAA ??
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
说明：注意各积分区间上被积函数的形式,
问题, 积分变量只能选 吗？ x
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4??xy
xy 22?
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
).4,8(),2,2( ??
选 为积分变量 y ]4,2[??y
dyyydA ?
?
??
?
? ???
24
2
.184 2 ?? ??dAA
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如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
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例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积,
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
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设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????? dA ??
??? ddA 2)]([21?面积元素 xo
?? d?
)(???r
?d
??? ?
?? ?
2,极坐标系下平面图形的面积
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例 5 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图形
的面积,
由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
解
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??
xy?
?? 2cos22 a?
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?d
例 6 求心形线 )c o s1( ??? ar 所围平面图形的
面积 )0( ?a,
?? dadA 22 )co s1(21 ??解
利用对称性知
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s in
4
1s in2
2
32a ?
0
.23 2a??
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III.体积
一、预备知识
1.微元法的实质
2.柱体体积公式
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xo a bx dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴
的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
1,平行截面面积为已知的立体的体积
二、体积
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例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
?
取坐标系如图
底圆方程为
222 Ryx ??
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
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例 8 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图
底圆方程为
,222 Ryx ?? x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
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旋转体就是由一个平面图形饶这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台
2,旋转体的体积
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一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax ?
在 ],[ ba 上任取小区
间 ],[ dxxx ?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素,
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)( xfy ?
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y
例 9 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算圆
锥体的体积,
r解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x,],0[ hx ?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx ?,
xo
直线 方程为 OP
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以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的
体积为
dxxhrdV
2
??
?
??
???
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
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类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? 及 y 轴所围
成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
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IV,平面曲线的弧长
一、预备知识
设曲线弧 s 为连续函数
)( xfy ? bxax ?? 到从,的
相应的一段弧的长度。
xo
y
a b
?dy
dxx?x
s
由第三章公式（ 3-2）
知 s的微元素
222 )(1)()( ydydxds ?????
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1.直角坐标下平面曲线的
弧长
xo
y
a b
?dy
dxx?x
s
由第三章公式（ 3-2）
知 s的微元素
222 )(1)()( ydydxds ?????
得,1 2 dxys b
a? ???
弧长
二、平面曲线的弧长
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例 1 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 0 到 3 的
一段弧的长度,
,21xy ???解
dxxds 2)(1 21???,1 dxx??
所求弧长为
3
0]1[3
2 x?? dxxs ? ?? 3
0 1 3
14?
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设曲线的参数方程为,)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
222 ))](()([ dttt ?? ???? 22 )()( dydxds ??
dttt )()( 22 ?? ????
.)()( 22 dttts ? ???? ?? ??弧长
2,参数方程情形
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例 1 2 求摆线线
解
)0()c o s1( )s in( ?
??
?
??
?? a
tay
ttax
一拱 )20( ??? t 的长度。
.s in)(),c o s1()( tatytatx ?????
dttatads 2222 s in)c o s1( ???
dttaa )c o s1(2 ?? dtta 2s i n4 2?
,20)20( ?????? tt 时，当 02s i n ?t所以
dttads 2s i n2?
? ?? 20 2s i n2 dttas ??? 20]2co s[4 ta 8?
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小结
1,元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
2.求在直角坐标系和极坐标系以及参数
方程形式下平面图形的面积,
（注意恰当的选择积分变量有助于简化
积分运算）
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3.(1)平行截面面积为已知的立体的体积
(2)旋转体的体积
绕 轴旋转一周 x
?
?
?
?
?
绕 轴旋转一周 y
绕非轴直线旋转一周
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4.求弧长的公式 ?
?
?
?
?
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下（略）
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1.求由曲线 23 xy ?? 及直线 xy 2? 所围成图形
的面积。
解 两曲线的交点为 ),2,1(),6,3( ?? x以 为积分
变量，积分区间为 [-3,1]。
面积 的微元素 dxxxdA ]2)3[( 2 ???
dxxxA )23(1 3 2?? ???
1
3
2
3
]33[ ????? xxx 332?
练习题
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x
y
o??
?
?
?
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y ? ????
1
2
dyy? ????
1 2
16
??
??
?
??
????
1
16
y,16??
1?y
2,求曲线 4?xy, 1?y, 0?x 所围成的
图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
解
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习题 5-5
面积。）的切线所围成图形的，和点（
及其在点求抛物线
面积。轴所围成图形的一拱与
求摆线
图形面积：求下列平面曲线所围成
的
03)3,0(
34.3
)20)(co s1(),s i n(.2
2
,0,co s,s i n)5(
2,,)4(
,)3(
2,,
1
)2(
1,)1(
.1
2
2
3
2
?
????
???????
?
????
???
??
???
??
xxy
x
ttayttax
xxxyxy
xyxyxy
xyxy
xxy
x
y
yxy
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第 39 页
轴。绕）椭圆（
轴绕及）（
的体积。
旋转体形绕指定轴旋转所得的求下列曲线所围成的图
的矩形的立体的体积。轴的所有截面均是高为
垂直所围成的图形为底，而及求以抛物线
三角形的立体的体积。径的所有截面都是等边
一条固定直的圆，而垂直于底面上计算底面是半径
所围成图形的面积。求双纽线
所围成图形的面积。求曲线
。
x
b
y
a
x
xyxyx
y
yxy
R
aar
ar
,12
,0,0,0421
.8
3
01.7
.6
)0(2co s.5
co s2.4
2
2
2
2
2
22
??
?????
???
???
??
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的全长。计算星形线
一段弧的长。上相应于计算曲线
体积。轴旋转所形成旋转体的图形绕
轴围成的的一拱和求摆线
轴。绕
轴。轴和分别绕抛物线
?
?
?
?
?
?
??
????
?????
????
)0(
s i n
co s
.11
2
1
.10
)co s1(),s i n(.9
),0(0,s i n)4(
,0,1),0(4)3(
3
3
32
2
a
tay
tax
xxy
x
xtayttax
xxyxy
yxxyxyx
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习题 5-5答案
a
a
ab
k
aaa
6.12
6
.11
27
)81313(2
.10
5
.9
2)4(2,
5
8
)3(
3
4
)2(
3
32
)1.(8
4.7
3
34
.6.5.4
4
9
.33.2
)12(2)5(
6
7
)4(
2
1
)3(2ln
2
3
)2(
3
4
)1.(1
3
2
2
2
3
222
???
??
???
??
??
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1,理解微元法；
2,掌握微元法的解题步骤；
3,掌握以 x,y为积分变量时用微元法求直角坐
标系下平面图形的面积；
4,了解用微元法求极坐标系下平面图形的面积；
5,了解用微元法求平行截面面积为已知的立体体积；
6,掌握用微元法求简单旋转体的体积；
7,了解求平面曲线的弧长公式。
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第 43 页
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本节的重点与难点
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与要
求
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重点
与难
点
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? 重点
1,掌握微元法的解题步骤
2,用微元法求面积
3,用微元法求体积
4,用微元法求弧长
? 难点
? 应用微元法求面积、体积和弧长 。
第 1 页
第六节 定积分在几何中的应用
I.定积分的微元法
II.平面图形的面积
IV.平面曲线的弧长
III.体积
第五章 定积分
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本节目的
与要求
本节重点
与难点
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I,定积分的元素法
求曲边梯形面积的有关知识
?? ba dxxfA )(
一、预备知识
a b x
y
o
)(xfy ? 根据定积分的几何意义
知，如图所示曲边梯形的面
积为
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（ 1 ） 分割,把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小
窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
,求面积 A的步骤为,
（ 2 ） 近似,计算 iA? 的近似值
,)( iii xfA ????
（ 3）求和, 得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
][,1 iii xx ???
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（ 4） 求极限, 得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx ?? 上的窄曲边梯形的面积，
则 ? ?? AA,并取 dxxfA )(??,
于是 ?? dxxfA )(
?? dxxfA )(l i m a b x
y
o
)(xfy ?
dA
面
积
元
素
x dxx ?
.)(?? ba dxxf
提示
?? ba dxxf )(
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这个方法通常叫做 元素法 (微元法 ),
以所求量 A 的元素 dxxf )( 为被积表达式，
在区间 ],[ ba 上作定积分，得 ??
b
a
dxxfA )(,
即为所求量 A 的积分表达式,
应用范围,
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等,
二、微元法
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微元法的一般步骤,
( 1 ) 确定积分变量 )( yx 或,并求出相应的积分
区间 ],[ ba ；
( 2 ) 在区间 ],[ ba 内任取一小区间 ],[ dxxx ?,
求出相应的微元素
dxxfdA )(?
(3) 求 dxxfdAA
b
a
b
a
?? ?? )(
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II,平面图形的面积
一、预备知识
1.直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 。
2.极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的
相关知识。
3.扇形的面积公式,?? 221 RA
圆半径
圆心角
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1.直角坐标系下平面图形的面积
x
y
o
)( xfy ?
a bxx ??x
曲边梯形的面积
dxxfA ba )(??
如图：由曲线 )( xfy ?
和直线 0,,??? xbxax 所组
成的曲边梯形的面积的微元素,
dxxfdA )(?
所以
二、平面图形的面积
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x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a bxx ??x
?? ??? baba dxxfxfdAA )]()([)3( 12
如图：求由曲线
),()( 21 xfyxfy ?? 和
),()( 21 xfxf ?且 以及直线 bxax ??,所围成
（ 1）如图,以 x
].,[ ba
（ 2）在 ],[ ba
],[ dxxx ?
dxxfxfdA )]()([ 12 ??
为积分变量，积分区间为
图形的面积
内任取一小区间
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例 1 求由抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的图形
的面积,
解 两曲线的交点 )1,1()0,0(
dxxxdA )( 2??面积元素
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy?
2yx?
以 为积分变量，积分区间为
];1,0[
x
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例 2 求 由曲线 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点
?
?
?
?
??
2
3 6
xy
xxy
).9,3(),4,2(),0,0( ??
选 为积分变量 x ]3,2[??x
],0,2[)1( ??x
],3,0[)2( ?x
dxxxxdA )6( 231 ???
dxxxxdA )6( 322 ???
2xy?
xxy 63 ??
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于是所求面积 21 AAA ??
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
说明：注意各积分区间上被积函数的形式,
问题, 积分变量只能选 吗？ x
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4??xy
xy 22?
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
).4,8(),2,2( ??
选 为积分变量 y ]4,2[??y
dyyydA ?
?
??
?
? ???
24
2
.184 2 ?? ??dAA
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如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? tt dtttA ??
（其中 1t 和 2t 对应曲线起点与终点的参数值）
在 [ 1t,2t ] （或 [ 2t,1t ] ）上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
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例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积,
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
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设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????? dA ??
??? ddA 2)]([21?面积元素 xo
?? d?
)(???r
?d
??? ?
?? ?
2,极坐标系下平面图形的面积
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例 5 求双纽线 ?? 2c o s22 a? 所围平面图形
的面积,
由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
解
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??
xy?
?? 2cos22 a?
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?d
例 6 求心形线 )c o s1( ??? ar 所围平面图形的
面积 )0( ?a,
?? dadA 22 )co s1(21 ??解
利用对称性知
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s in
4
1s in2
2
32a ?
0
.23 2a??
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III.体积
一、预备知识
1.微元法的实质
2.柱体体积公式
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xo a bx dxx?
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这
个立体的体积也可用定积分来计算,
)( xA 表示过点
x 且垂直于 x 轴
的截面面积,)( xA 为 x 的已知连续函数
,)( dxxAdV ?,)(?? ba dxxAV立体体积
1,平行截面面积为已知的立体的体积
二、体积
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例 7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ?,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积,
R
R?
x
yo
解
?
取坐标系如图
底圆方程为
222 Ryx ??
垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??
立体体积 dxxRV R
R ?t a n)(2
1 22 ?? ?
?,t a n3
2 3 ?R?
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例 8 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积,
解 取坐标系如图
底圆方程为
,222 Ryx ?? x
y
o Rx
垂直于 x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 22)( xRhyhxA ????
立体体积 dxxRhV RR?? ?? 22.21 2 hR??
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旋转体就是由一个平面图形饶这平面内
一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做
旋转轴,
圆柱 圆锥 圆台
2,旋转体的体积
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一般地，如果旋转体是由连续曲线 )( xfy ?,
直线 ax ?, bx ? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x,
],[ bax ?
在 ],[ ba 上任取小区
间 ],[ dxxx ?,
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素,
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([? ??
)( xfy ?
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y
例 9 连接坐标原点 O 及点 ),( rhP 的直线、直线
hx ? 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋
转构成一个底半径为 r,高为 h 的圆锥体，计算圆
锥体的体积,
r解
h
P
xhry ?
取积分变量为 x,],0[ hx ?
在 ],0[ h 上任取小区间 ],[ dxxx ?,
xo
直线 方程为 OP
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以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的
体积为
dxxhrdV
2
??
?
??
???
圆锥体的体积
dxxhrV h
2
0 ??
??
?
??? ?
hx
h
r
0
3
2
2
3 ??
?
??
???
.3
2hr?
?
y
r
h
P
xo
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类似地，如果旋转体是由连续曲线
)( yx ??,直线 cy ?, dy ? 及 y 轴所围
成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，
体积为
x
y
o
)( yx ??c
d
dyy 2)]([?? ?? dcV
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IV,平面曲线的弧长
一、预备知识
设曲线弧 s 为连续函数
)( xfy ? bxax ?? 到从,的
相应的一段弧的长度。
xo
y
a b
?dy
dxx?x
s
由第三章公式（ 3-2）
知 s的微元素
222 )(1)()( ydydxds ?????
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1.直角坐标下平面曲线的
弧长
xo
y
a b
?dy
dxx?x
s
由第三章公式（ 3-2）
知 s的微元素
222 )(1)()( ydydxds ?????
得,1 2 dxys b
a? ???
弧长
二、平面曲线的弧长
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例 1 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 0 到 3 的
一段弧的长度,
,21xy ???解
dxxds 2)(1 21???,1 dxx??
所求弧长为
3
0]1[3
2 x?? dxxs ? ?? 3
0 1 3
14?
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设曲线的参数方程为,)(
)(
??
?
?
?
ty
tx
?
?
)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
222 ))](()([ dttt ?? ???? 22 )()( dydxds ??
dttt )()( 22 ?? ????
.)()( 22 dttts ? ???? ?? ??弧长
2,参数方程情形
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例 1 2 求摆线线
解
)0()c o s1( )s in( ?
??
?
??
?? a
tay
ttax
一拱 )20( ??? t 的长度。
.s in)(),c o s1()( tatytatx ?????
dttatads 2222 s in)c o s1( ???
dttaa )c o s1(2 ?? dtta 2s i n4 2?
,20)20( ?????? tt 时，当 02s i n ?t所以
dttads 2s i n2?
? ?? 20 2s i n2 dttas ??? 20]2co s[4 ta 8?
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小结
1,元素法的提出、思想、步骤,
（注意微元法的本质）
2.求在直角坐标系和极坐标系以及参数
方程形式下平面图形的面积,
（注意恰当的选择积分变量有助于简化
积分运算）
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3.(1)平行截面面积为已知的立体的体积
(2)旋转体的体积
绕 轴旋转一周 x
?
?
?
?
?
绕 轴旋转一周 y
绕非轴直线旋转一周
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4.求弧长的公式 ?
?
?
?
?
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下（略）
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1.求由曲线 23 xy ?? 及直线 xy 2? 所围成图形
的面积。
解 两曲线的交点为 ),2,1(),6,3( ?? x以 为积分
变量，积分区间为 [-3,1]。
面积 的微元素 dxxxdA ]2)3[( 2 ???
dxxxA )23(1 3 2?? ???
1
3
2
3
]33[ ????? xxx 332?
练习题
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x
y
o??
?
?
?
1
4
y
xy
交点 ),1,4(
立体体积 dyxV y ? ????
1
2
dyy? ????
1 2
16
??
??
?
??
????
1
16
y,16??
1?y
2,求曲线 4?xy, 1?y, 0?x 所围成的
图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积,
解
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习题 5-5
面积。）的切线所围成图形的，和点（
及其在点求抛物线
面积。轴所围成图形的一拱与
求摆线
图形面积：求下列平面曲线所围成
的
03)3,0(
34.3
)20)(co s1(),s i n(.2
2
,0,co s,s i n)5(
2,,)4(
,)3(
2,,
1
)2(
1,)1(
.1
2
2
3
2
?
????
???????
?
????
???
??
???
??
xxy
x
ttayttax
xxxyxy
xyxyxy
xyxy
xxy
x
y
yxy
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轴。绕）椭圆（
轴绕及）（
的体积。
旋转体形绕指定轴旋转所得的求下列曲线所围成的图
的矩形的立体的体积。轴的所有截面均是高为
垂直所围成的图形为底，而及求以抛物线
三角形的立体的体积。径的所有截面都是等边
一条固定直的圆，而垂直于底面上计算底面是半径
所围成图形的面积。求双纽线
所围成图形的面积。求曲线
。
x
b
y
a
x
xyxyx
y
yxy
R
aar
ar
,12
,0,0,0421
.8
3
01.7
.6
)0(2co s.5
co s2.4
2
2
2
2
2
22
??
?????
???
???
??
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的全长。计算星形线
一段弧的长。上相应于计算曲线
体积。轴旋转所形成旋转体的图形绕
轴围成的的一拱和求摆线
轴。绕
轴。轴和分别绕抛物线
?
?
?
?
?
?
??
????
?????
????
)0(
s i n
co s
.11
2
1
.10
)co s1(),s i n(.9
),0(0,s i n)4(
,0,1),0(4)3(
3
3
32
2
a
tay
tax
xxy
x
xtayttax
xxyxy
yxxyxyx
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习题 5-5答案
a
a
ab
k
aaa
6.12
6
.11
27
)81313(2
.10
5
.9
2)4(2,
5
8
)3(
3
4
)2(
3
32
)1.(8
4.7
3
34
.6.5.4
4
9
.33.2
)12(2)5(
6
7
)4(
2
1
)3(2ln
2
3
)2(
3
4
)1.(1
3
2
2
2
3
222
???
??
???
??
??
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本节的学习目的与要求
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指导
1,理解微元法；
2,掌握微元法的解题步骤；
3,掌握以 x,y为积分变量时用微元法求直角坐
标系下平面图形的面积；
4,了解用微元法求极坐标系下平面图形的面积；
5,了解用微元法求平行截面面积为已知的立体体积；
6,掌握用微元法求简单旋转体的体积；
7,了解求平面曲线的弧长公式。
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本节的重点与难点
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指导
? 重点
1,掌握微元法的解题步骤
2,用微元法求面积
3,用微元法求体积
4,用微元法求弧长
? 难点
? 应用微元法求面积、体积和弧长 。
