第二节
向量及其加减法
向量与数的乘法
向量,既有大小又有方向的量,
向量表示,
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
?
?
a? 21MM
模长为 1的向量, 21MM 00a
零向量,模长为 0的向量, 0?
||a? 21MM| | 向量的模,向量的大小,
单位向量,
一,向量的概念
或
或
或
自由向量,不考虑起点位置的向量,
相等向量,大小相等且方向相同的向量,
负向量,大小相等但方向相反的向量, a??
向径,
a? b?
a?? a?
空间直角坐标系中任一点 与原点
构成的向量, OM
M
本书讨论的是自由向量。
[1] 加法,cba ??? ?? a?b
? c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
? c? |||||| bac ??? ??分为同向和反向
b?
a? c? |||||| bac ??? ??
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
二、向量的加减法
向量的加法符合下列运算规律,
（ 1）交换律,.abba ???? ???
（ 2）结合律,cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???
（ 3）,0)( ??? ??? aa
[2] 减法 )( baba ???? ???? a?b
?
b?? b??c?
ba ???
ba ???a?
b?
ba
bac
??
??? )(
设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0?? ?a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
a? a?2 a?
2
1?
三、向量与数的乘法
数与向量的乘积符合下列运算规律,
（ 1）结合律,)()( aa ?? ???? ? a?)(???
（ 2）分配律,aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量定理
关于两个向量的平行关系有如下定理,
证 充分性显然；
必要性 a?‖ b?设
取正值，同向时与当 ?ab ??
取负值，反向时与当 ?ab ??,ab ?? ??即有
.同向与此时 ab ??? ?aa ?? ?? ?且,b??
.的唯一性?,设 ab ?? ??,又设 ab ?? ??
两式相减，得,0)( ?? ?? a??,即 0?? a???
，0?a??,故 0?? ??,?? ?即
,
a
b
??
a
a
b ??
取
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量定理
同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa ?? 0
按照向量与数的乘积的规定,
0|| aaa ??? ?
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是
一个与原向量同方向的单位向量,
0a
a
a ?
例 1。 试用向量方法证明：对角线互相平分
的四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD ? AM ? MD MC? ? BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
?
?
A B
CD
M a
?b?