第二节 偏导数
一, 偏导数的定义及其计算法
?? 31 ?ù 3á ′¨ ?? Da 31 ?ù 3á ′¨ ?? Dí ?′ è? 3á 3? 2o ￡? ?a 3￠ ?ü ?o ò? 3á
ì′ ê? ó? 2| Da °? ê? ó? 2| ?￡
0
xx
dx
dy
=
=
0
lim
?D x x
xfxxf
D
-D+ )()(
00
±? ·ˉ ?ù )( xfy = ?? 3Y
0
x 3á 31
?ù ?￡
0
0
yy
xx
x
z
=
=
?
?
=
0
lim
?D x x
yxfyxxf
D
-D+ ),(),(
0000
±? ·ˉ ?ù ),( yxfz = ?? 3Y ),(
00
yx 2| ′? x 3á ?? 31 ?ù
￡? ?° ?? 1? 3e
0
0
yy
xx
x
f
=
=
?
?
?? ),(),,(
0000
yxfyxz
xx
·ˉ ?ù ),( yxfz = ?? 3Y ),(
00
yx 2| ′? y 3á ?? 31 ?ù ￡? ?? ?′ è? 3? ′¨ ?? ·ê
±í ?? ?￡
?á ?? ?? ?ì ?? ′¨ ?? óí ￡? o? 3Y ),( 00 yx ? ±? ),( yx ￡? ?? 3à ·ˉ ?ù ),( yxfz =
2ó ±e ′? x 1° y 3á ?? 31 ·ˉ ?ù 3á ′¨? ? ?￡ ì° ?? ?ì ?? ±? ?? 31 ·ˉ ?ù ?a ??
31 ?ù ￡? ±? ?? 31 ?ù ?a ?? 31 ?ù ?? á± 3Y 3á ó3 ?￡
由于在多元函数偏导数的计算中,实际上只有一个自变量在变动,
其余自变量都是固定的, 所以求偏导数时只要把其余的自变量
暂时看成常量, 具体方法是与一元函数的求导完全类似的 。
?ù 1 ?? ′ú ?a ·ˉ ?ù )(cos)sin( 2 xyxyz += 2ó ±e ?? D? ±T ?? x ·ê
±T ?? y 3á ?? 31 ?ù ·ê ?? 31 ?ù ?? 3Y )
2
,0( p 3á ó3 ?￡
oü ￡·
)]s i n (21)[c o s ()s i n ()c o s (2)c o s ( xyxyyxyxyyxyyz
x
-=-=
)]s i n (21)[c o s ()s i n ()c o s (2)c o s ( xyxyxxyxyxxyxz
y
-=-=
)
2
,0(
p
x
z =
2
p
￡? )
2
,0(
p
y
z =0
?ù 2 ￡? ?? ?ù ?a ·ˉ ?ù z
y
xu = )1,0( 1> xx 2ó ±e ?? D? ±T ?? x,y,z
3á ?? 31 ?ù
oü ￡· 1-= z
y
x xz
yu ￡? =
yu z
1 zyx xln ￡? =
zu xxz
y zy ln)(
2-
?ù 3 ￡? ??,)
11(
yxez +-= ?? ó¤￡· z
y
zy
x
zx 222 =
?
?+
?
? ó¤ ￡·
x
z
?
?
=
)
11
(
2
1 yx
e
x
+-
￡?
y
z
?
?
=
2
1
y
)
11
(
yxe
+-
￡?
\
2
x
x
z
?
?
+ 2y
y
z
?
?
=2
)
11
(
yxe
+-
=2 z,ó¤±ì
′ú ￡? ?? 31 ?ù 3á 1μ ·? ?ü ??
′? D? ?? ?a ·ˉ ?ù )( xfy = ?? 3Y 0x 3á 31 ?ù )( 0xf ￠ ￡? ?T 1μ ·? ?ü ??
?a ?ò ì? )( xfy = ?ù 3Y ),( 00 yx 3á ?í ì? 3á í± ?? ?￡
ì? àà éó ?× ′ú ?a ·ˉ ?ù ),( yxfz = ?? 3Y ),(
00
yx ′? ±T ?? x 3á ??
31 ?ù 3á 1μ ·? ?ü ??,
?? )),(,,(
00000
yxfyxM ?a ?ò àà ),( yxfz = ?ì 3á ?? 3Y ￡? ?ù
0
M 3e
?o àà
0
yy = ￡? o? 2è ?ò àà 3à ?ò ì? ￡? ?T 2o ±é ?a ),(
0
yxfz = ￡? á?
á? ?? ?a ·ˉ ?ù 3á 31 ?ù
0
xx
dx
dz
=
=
0
),(
0
xx
dx
yxdf
=
= ),(
00
yxf
x
￡? ′÷ ?° ò? ±í ?? ?ò ì? ),(
0
yxfz =
?ù 3Y
),(
00
yx 3á ?í ì? ′? x óμ 3á í±? ? ￡? ?? 2è ?? 31 ?ù ),(
00
yxf
x
3á 1μ ·? ?ü
?? ?? ?ò àà ),( yxfz = ±? ?o àà
0
yy = è? o? 3à 3á ?ò ì? ?? 3Y
0
M 2|
3á ?í ì? ′? x óμ 3á í±? ? ?￡ ê? ?í ￡? ?? 31 ?ù ),(
00
yxf
y
3á 1μ ·? ?ü ??
?? ?ò àà ),( yxfz = ±? ?o àà
0
xx = è? o? 3à 3á ?ò ì? ?? 3Y
0
M 2| 3á
?í ì? ′? y óμ 3á í± ?? ?￡
?ù 4 ￡? ?ò ì?
4
4
22
=
+
=
y
yx
z
?? 3Y ￡¨ 2 ￡? 4 ￡? 5 ￡? 2| 3á ?í ì? ′? D? x óμ
3á ?Y o? ?? ′ ?? ￡?
三, 化对于一元函数, 如果在某点可导, 必定在该点连续 。 下
面讨论对于二元函数, 函数在某点, 偏导数存在, 与在该点
,连续, 两者之间有没有必然联系？
oü ￡· μ? ?ù ?? 31 ?ù 3á 1μ ·? ?ü ?? ￡? è? ?? 1í o? 3á òù ?í ?a
1
2
)4,2(
2
==
=x
x
x
z ￡?
4
p
q =\
￡¨ ?í ?? óó 3? 2¨ ?? ?? ?o àà y =4 ?ì ￡? ?ò ì? 3á 2o ±é ?a 4
4
2
+=
x
z ￡?
?í ì? ′? D? x óμ 3á ?Y o? 3á í± ?? ?? =qt a n
2=x
dx
dz
=1 ￡?
4
p
q =\ ￡?
oü ￡· D? ?° àà éó ?× ?? óa ￡? 3Y ￡¨ 0 ￡? 0 ￡? ?? ·ˉ ?ù ),( yxf 3á 1T ′ì 3Y ?￡
)0,0(
x
f =
0
lim
?D x x
fxf
D
-D+ )0,0()0,0(
=0
)0,0(
y
f =
0
lim
?D y y
fyf
D
-D+ )0,0()0,0(
=0
?? 2è ￡? ′? D? ′ú ?a ·ˉ ?ù ￡? ?? á± 3Y ?? 31 ?ù 2à ?? °? á? ±￡ ó¤?? μà 3Y
?? í÷ ?￡ ê¨ ?ù ?T èó ?3 ?ù ?? á? è3 àe ′ú ?a ·ˉ ?ù ?? á± 3Y ?? í÷ ê? ?? °?
á? ±￡ ó¤?? μà 3Y ?? 31 ?ù 2à ?? ?￡
?ù 5 ￡? ?? ),( yxf =
0,0
0,
22
22
22
=+
1+
+
yx
yx
yx
xy
￡? ?? ?? 31 ?ù )0,0(
xf
·ê
)0,0(yf ￡? °￠ ?í ′¨ μà ·ˉ ?ù ?? 3Y ￡¨ 0 ￡? 0 ￡? ?? 2? ?? í÷ ￡?
因此二元函数在某点连续与二元函数在某点偏导数存在是两
个互不关联的概念。
究其原因, 可以这样分析：由一元函数的讨论可知, 函数可导
比函数连续的要求高, 因此函数在某点连续不能保证函数在该
点的偏导数存在；由二元函数的讨论可知, 连续是某点邻域内
各方位共有的性质, 而偏导数存在, 只是 x轴和 y轴方向的性质 。
因此, 函数在某点偏导数存在也不能保证函数在该点连续 。
èá ￡? μ? o3 ?? 31 ?ù
?? ·ˉ ?ù ),( yxfz = ?? D? ±T ?? x ·ê ±T ?? y 3á ?? o3 ?? 31 ?ù ?a
),(),,( yxfyxf
yx
,?á ?? òü ?o μ? ·ˉ ?ù 3á ?? 31 ?ù ?° 2à ?? ￡? ?? ±?
),()( yxf
x
z
x
xx
=
?
?
?
?
￡? ),()( yxf
x
z
y
xy
=
?
?
?
?
),()( yxf
y
z
x
yx
=
?
?
?
?
￡? ),()( yxf
y
z
y
yy
=
?
?
?
?
?a ·ˉ ?ù ),( yxfz = 3á ′ú o3 ?? 31 ?ù ￡¨ ?° Dí èá μ? ￡? ?￡
?? D? ·ˉ ?ù ),( yxfz = 3á ?ù o3￡ ? èá o3 ￡? ?￡ ?￡ ?￡ ￡? n o3 ?? 31 ?ù 3á ′¨? ?
?? 2? ?′ ê? ?￡ ′ú o31 °′ ú o3? ? ?ì ?? 31 ?ù ê± ±? μ? o3? ? 31 ?ù ?￡ μ? o3
?? 31 ?ù 3á 1? èY Da ?? o3 ?? 31 ?ù 3á 1? èY êê ?? ?′ è? ?￡
?ù 6 ￡? ?? ),l n ( xyxz = ?? ),( yxz xxy ·ê ),( yxz xyy oü ￡· )l n (1)l n (),( xy
xy
y
xxyyxz
x
+=×+=
x
yxz
xx
1
),( = ￡? ),( yxz xxy =0 ￡? ),( yxz xy =
y
1
￡? ),( yxz xyy =
2
1
y
-
?ù 7 ￡? ó¤àe ·ˉ ?ù
r
u
1
= ?ò 3Y ?- ?ò ?- è? 2o ±é
2
2
x
u
?
? +
2
2
y
u
?
? +
2
2
z
u
?
? =0 ￡?
?T óí 222 zyxr ++=
?ù 7 ￡? ó¤àe ·ˉ ?ù
r
u
1
= ?ò 3Y ?- ?ò ?- è? 2o ±é
2
2
x
u
?
? +
2
2
y
u
?
? +
2
2
z
u
?
? =0 ￡?
?T óí 222 zyxr ++=
ó¤￡·
x
r
r
u
x
u
?
?
?
?
=
?
?
=
32
)
1
(
r
x
r
x
r
-=×- ￡?
2
2
x
u
?
?
=
6
23
3
r
x
r
rxr
?
?
×-
- =
5
2
3
31
r
x
r
+-
D? ·ˉ ?ù 3? ±T ?? 3á ′? ±? í? ?? 3à
2
2
y
u
?
?
=
3
1
r
- +
5
2
3
r
y
￡?
2
2
z
u
?
?
=
3
1
r
- +
5
2
3
r
z
￡? ?? 2è
2
2
x
u
?
?
+
2
2
y
u
?
?
+
2
2
z
u
?
?
=0
±? ),( yxf
xy
·ê ),( yxf
yx
?a ·ˉ ?ù ),( yxfz = 3á ′ú o3 ?ì ·ì ?? 31 ?ù ￡?
?? ?? ó¤àe ￡· ?á ?? ?o μ? ′ú o3 ?ì ·ì ?? 31 ?ù ?? ?÷ D? D á? ?? í÷ ￡? á?
á? ?? μà ?÷ D? á? òü ?o μ? ′ú o3 ?ì ·ì ?? 31 ?ù ±? ì′ 3? ￡? 12 ′ú o3 ?ì ·ì
?? 31 ?ù ?? ?? í÷ 3á é? 1ú ì? Da ?? 31 3á 2? í? ?ú ?? ?￡