第八章
第一节
二重积分的概念与性质
柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
步骤如下,
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域,
.),(lim
10
ii
n
i
ifV ???? ?? ?
??
曲顶柱体的体积
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块,
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片,
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
n
i
iM ????? ?? ?
??
x
y
o
定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
??,
?,
2
??,
n
??,其中
i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
?? 上任取 一点
),(
ii
??,
作乘积
),(
ii
f ??
i
??
,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
n
i
i
f ??? ??
?
),(
1
，
二、二重积分的概念
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
dyxf ?),(,
即 ??
D
dyxf ?),(
ii
n
i
i
f ???
?
?? ?
?
?
),(l i m
1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是
任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明,
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值,
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D,
???? ??
DD
dx dyyxfdyxf ),(),(
dxdyd ??
故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为
性质１ 当 为常数时, k
.),(),( ???? ?
DD
dyxfkdyxkf ??
性质２ ?? ?
D
dyxgyxf ?)],(),([
.),(),( ???? ??
DD
dyxgdyxf ??
（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
性质３ 对区域具有可加性
.),(),(),(
21
?????? ??
DDD
dyxfdyxfdyxf ???
性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
dd ???
性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
.),(),( ???? ?
DD
dyxgdyxf ??
特殊地,),(),( ???? ?
DD
dyxfdyxf ??
)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
?? ?????
D
Mdyxfm ),(
???????? ),(),( fdyxf
D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计 ?deI
D
yx
??
?
?
)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
2
2
??
b
y
a
x
)0( ab ??,
在 D 上 2220 ayx ????,
,1 2220 ayx eee ???? ?
由性质 6 知,222 )( a
D
yx ede ??? ?? ? ???
解
?? ?? ? ?de
D
yx )( 22?ab,2aeab?
区域 D 的面积 ??,?ab
例 2 估计 ??
???
?
D xyyx
d
I
16222
?
的值，
其中 D, 20,10 ???? yx,
区域面积 2??,,16)(
1),(
2 ??? yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 ??? yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22 ???m )2,1( ?? yx
故 4252 ?? I,5.04.0 ??? I
解
例 4 比较积分 ?? ?
D
dyx ?)l n ( 与 ?? ?
D
dyx ?2)][ l n (
的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2?? yx
在 D 内有 eyx ???? 21,
故 1)l n( ?? yx,
于是 ? ? 2)l n ()l n ( yxyx ???,
因此 ????
D
dyx ?)l n ( ?? ?
D
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o x
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1
21
D
第一节
二重积分的概念与性质
柱体体积 =底面积 × 高
特点,平顶,
柱体体积 =？
特点,曲顶,
),( yxfz ?
D
１．曲顶柱体的体积
一、问题的提出
步骤如下,
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
顶柱体的体积,x
z
yo
D
),( yxfz ?
i??
? ),( ii ??
先分割曲顶柱体的底，
并取典型小区域,
.),(lim
10
ii
n
i
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曲顶柱体的体积
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
２．求平面薄片的质量
i??
? ),( ii ??
将薄片分割成若干小块,
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片,
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量,),(lim
10
ii
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i
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x
y
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定义 设 ),( yxf 是有界闭区域 D 上的有界函
数，将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域
1
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i
?? 表示第 i 个小闭区域，
也表示它的面积，在每个
i
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i
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,),,2,1( ni ??,
并作和
ii
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),(
1
，
二、二重积分的概念
积
分
区
域
如果当各小闭区域的直径中的最大值 ? 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
),( yxf 在闭区域 D 上的 二重积分,
记为 ??
D
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即 ??
D
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ii
n
i
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1
0
.
积
分
和
被
积
函
数
积
分
变
量
被
积
表
达
式
面
积
元
素
(1 ) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是
任意的,
(2) 当 ),( yxf 在闭区域上连续时，定义中和式
的极限必存在，即二重积分必存在,
对二重积分定义的说明,
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的
负值,
在直角坐标系下用平
行于坐标轴的直线网来划
分区域 D,
???? ??
DD
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故二重积分可写为
x
y
o
D
则面积元素为
性质１ 当 为常数时, k
.),(),( ???? ?
DD
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性质２ ?? ?
D
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DD
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（二重积分与定积分有类似的性质）
三、二重积分的性质
性质３ 对区域具有可加性
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21
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DDD
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性质４ ?若 为 D的面积,.1?? ?????
D D
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性质５ 若在 D上 ),,(),( yxgyxf ?
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DD
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特殊地,),(),( ???? ?
DD
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)( 21 DDD ??
则有
设 M, m 分别是 ),( yxf 在闭区域 D 上的
最大值和最小值,? 为 D 的面积，则
性质６
设函数 ),( yxf 在闭区域 D 上连续,? 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点 ),( ?? 使得
性质７
（二重积分中值定理）
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D
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D
（二重积分估值不等式）
例 1 不作计算，估计 ?deI
D
yx
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)(
22
的值，
其中 D 是椭圆闭区域,1
2
2
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在 D 上 2220 ayx ????,
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由性质 6 知,222 )( a
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解
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D
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区域 D 的面积 ??,?ab
例 2 估计 ??
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的值，
其中 D, 20,10 ???? yx,
区域面积 2??,,16)(
1),(
2 ??? yxyxf?
在 D 上 ),( yxf 的最大值 )0(41 ??? yxM
),( yxf 的最小值 5
1
43
1
22 ???m )2,1( ?? yx
故 4252 ?? I,5.04.0 ??? I
解
例 4 比较积分 ?? ?
D
dyx ?)l n ( 与 ?? ?
D
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的大小,其中 D 是三角形闭区域,三顶点各为 ( 1,0 ),
( 1,1 ),( 2,0 ),
解 三角形斜边方程 2?? yx
在 D 内有 eyx ???? 21,
故 1)l n( ?? yx,
于是 ? ? 2)l n ()l n ( yxyx ???,
因此 ????
D
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