第八节
斯托克斯公式 环流量与旋度
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
? 为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ?
的侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
一、斯托克斯 (stokes)公式
dxdy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dy dz
z
Q
y
R
)()()(
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??? R dzQdyP dx
斯托克斯公式
（注意, 在斯托克斯公式中,是封闭曲线,不
是封闭曲面） ??
x
y
z
o
),(,yxfz ??
xyD
?
C
n?
证明 的 思路 （证略）,
曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
n?
?
?
是有向曲面 的
正向边界曲线
? ?
右手法则
??? ?
?
???
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RQP
zyx
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??? ?
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R dzQdyP dxds
RQP
zyx
??? c o sc o sc o s
另一种形式是,
为便于记忆，斯托克斯公式可写成如下形式,
斯托克斯公式的又一种形式
其中
,co sco sco s kjin ???? ??? ???? 的单位法向量为
kjit ???? ??? co sco sco s ???? 的单位切向量为
dSyPxQxRzPzQyR ]co s)(co s)(co s)[( ??? ???????????????????
?
dsRQP )co sco sco s( ????
?
???
Stokes公式,
的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲
线上的曲线积分之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式 特殊情形
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
dxdy
y
P
x
Q
d z d x
x
R
z
P
d y d z
z
Q
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??? R d zQ d yP d x
例 1 计算曲线积分 y d zxdyz d x ???
?
,
其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成 的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
二、简单的应用 — 化空间曲线积分为曲面积分
0
xyD
x
y
z
n
1
1
1
解 按斯托克斯公式,有
dzyxdyz d x?? ?? ??
?
??? d x d yd z d xd y d z
?? ?? ??
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xyD
d x d yd x d yd x d y 2333]1)1()1([
x
y
o
1
1
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例 2 计算曲线积分
dzyxdyxzdxzy )()()(
222222
??????
?
其中 ? 是平面
2
3
??? zyx 截立方体, 10 ?? x,
10 ?? y,10 ?? z 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
解
取 Σ 为平面
2
3
??? zyx
的上侧被 ? 所围成的部分,
z
x
yo
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ds
yxxzzy
zyx
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d x d y332,
2
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21?? yx
设
1,23),,( ???????? zyx FFFzyxzyxF
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的面积为
4
3
8
1
8
11 ???其中
三、物理意义 ---环流量与旋度
.
),,(),,(),,(),,(
按所取方向的环流量沿曲线称为向量场
上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场
设向量场
CA
R d zQ d yP d xsdA
CA
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
CC
?
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????
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???
1,环流量的定义,
利用 stokes公式,有环流量
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RQP
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d x d yd z d xd y d z
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2,旋度的定义,
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zyx
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为向量场的旋度称向量
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旋度
注意：向量的旋度仍是一个向量。 计算旋度的公式为,
从而，斯托克斯公式可写成向量形式,
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? dsAdSAr ot tn)( ?或
其中
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)(
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??? c o sc o sc o s RQPnAA t ????? ??
Stokes公式的物理解释,
向量场 A
?
沿有向闭曲线 ? 的环流量等于向量场
A
?
的旋度场通过 ? 所张的曲面的通量,( ? 的正
向与 ? 的侧符合右手法则 )
??? ?
?
????? dsAsdAr ot t??环流量
如何求对空间曲线的积分？
（ 1）对于曲线用参数方程给出的问题：可直接化为定积分求
解；
（ 2）对于曲线用一般方程给出的问题：可将曲线的一般方程化
为参数方程，进而再化为定积分求解；
如何求对平面曲线的积分？
（ 1）直接化为定积分求解；
（ 2）对于对坐标的封闭曲线的积分，可用格林公式化成二重积
分求解。
（ 3）对于对坐标的封闭曲线的积分，可用斯托克斯公式将它化
成曲面积分，进而再化为二重积分求解。
结合总习题十的讲解作小结,
如何求曲面积分？
（ 1）直接化成二重积分求解；
（ 3）对于对坐标的封闭曲面的积分，可用高斯公式化成三重
积分求解。
关于积分的应用,
面积，体积，弧长，质量，重心，转动惯量，引力，功，流量
（ 2）对于组合形式的对坐标的曲面积分，先化成一个
积分，再 化成二重积分求解
斯托克斯公式 环流量与旋度
定理 设 ? 为分段光滑的空间有向闭曲线,? 是以
? 为边界的分片光滑的有向曲面,? 的正向与 ?
的侧符合右手规则,函数 ),,( zyxP,),,( zyxQ,
),,( zyxR 在包含曲面 ? 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数,则有公式
一、斯托克斯 (stokes)公式
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证明 的 思路 （证略）,
曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
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是有向曲面 的
正向边界曲线
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右手法则
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另一种形式是,
为便于记忆，斯托克斯公式可写成如下形式,
斯托克斯公式的又一种形式
其中
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kjit ???? ??? co sco sco s ???? 的单位切向量为
dSyPxQxRzPzQyR ]co s)(co s)(co s)[( ??? ???????????????????
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Stokes公式,
的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲
线上的曲线积分之间的关系,
斯托克斯公式 格林公式 特殊情形
( 当 Σ 是 x o y 面的平面闭区域时 )
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例 1 计算曲线积分 y d zxdyz d x ???
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其中 ? 是平面 1??? zyx 被三坐标面所截成 的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则,
二、简单的应用 — 化空间曲线积分为曲面积分
0
xyD
x
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1
解 按斯托克斯公式,有
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例 2 计算曲线积分
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其中 ? 是平面
2
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??? zyx 截立方体, 10 ?? x,
10 ?? y,10 ?? z 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向,
解
取 Σ 为平面
2
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三、物理意义 ---环流量与旋度
.
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上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场
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利用 stokes公式,有环流量
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注意：向量的旋度仍是一个向量。 计算旋度的公式为,
从而，斯托克斯公式可写成向量形式,
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的旋度场通过 ? 所张的曲面的通量,( ? 的正
向与 ? 的侧符合右手法则 )
??? ?
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????? dsAsdAr ot t??环流量
如何求对空间曲线的积分？
（ 1）对于曲线用参数方程给出的问题：可直接化为定积分求
解；
（ 2）对于曲线用一般方程给出的问题：可将曲线的一般方程化
为参数方程，进而再化为定积分求解；
如何求对平面曲线的积分？
（ 1）直接化为定积分求解；
（ 2）对于对坐标的封闭曲线的积分，可用格林公式化成二重积
分求解。
（ 3）对于对坐标的封闭曲线的积分，可用斯托克斯公式将它化
成曲面积分，进而再化为二重积分求解。
结合总习题十的讲解作小结,
如何求曲面积分？
（ 1）直接化成二重积分求解；
（ 3）对于对坐标的封闭曲面的积分，可用高斯公式化成三重
积分求解。
关于积分的应用,
面积，体积，弧长，质量，重心，转动惯量，引力，功，流量
（ 2）对于组合形式的对坐标的曲面积分，先化成一个
积分，再 化成二重积分求解
