第 五 节
对面积的曲面积分
一、概念的引入
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
实例
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
二、对面积的曲面积分的定义
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ?
上有界,把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示
第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii ??? 为 iS? 上
任意取定的点,作乘积 ?),,( iiif ??? iS?,
并作和 ?
?
?
n
i
iii
f
1
),,( ???
i
S?,如果当各小块曲面
的直径的最大值 0?? 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上对面积
的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
?
?
),,(lim
1
0
???
?
记为 ??
?
dSzyxf ),,(,
??
?
?dSzyxf ),,( ????
??
?
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
2.对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若,21 ???
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?
三、计算法;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx?? ????
???
?
dSzyxf ),,(
),(:.1 yxzz ??若曲面
则
按照曲面的不同情况分为以下三种,;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ????
???
?
dSzyxf ),,(
),(:.2 zxyy ??若曲面
则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy?? ????
???
?
dSzyxf ),,(
),(.3 zyxx ??,若曲面
则
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dxdyyyx )5(2 ?? ??
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd ?? ???? ? 5020 )c o s5(2,2125 ??
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d y2)1(01 ????,2 d x d y?
例 2 计算 dSx y z??
?
||,
其中 ? 为抛物面
22
yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知,
被积函数 || x yz 关于
xoz, y o z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d yyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx yz??
?
? || dSx y z??
?
?
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41s i nc o s4
?
drrrt d t 210 50 412s i n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,420 15125 ??
计算 ??
?
xdS,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
x d S ??
?
?
31
xdS ??
?
?
32
xdS
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
??
?
??
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 4
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? d x d y3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
?? ????? 3])([8 222
.32 4a?
四、小结
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影
域上的二重积分计算,如投影到 XOY平面上，
则有
1,对面积的曲面积分的概念 ; ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
?
?
),,(l i m
1
0
???
?
（另两种情况是将曲面分别投影到
XOZ及 YOZ坐标面上，可写出相应
的计算公式。具体计算前尽可能先
用对称性简化）;1)],(,,[ 22 d x d yzzyxzyxf
xyD
yx?? ????
3。物理意义：表示曲面状物体的质量。
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中,有因子,试说明
这个因子的几何意义,
221 yx zz ??
思考题解答
是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
??
?
221 yx zz ??故 是曲面法线与 轴夹角的余弦
的倒数,
z
一,填空题,
1, 已知曲面 ? 的面 a积为,则 ?
??
?
ds10 ___ _ ___ ；
2,
??
?
dszyxf ),,( =
??
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ ___ _
d y d z；
3, 设 ? 为球面
2222
azyx ??? 在
x o y
平面的上方部
分,则 ???
??
?
dszyx )(
222
___ ___ ___ ___ ；
4, ?
??
?
z d s3 _____,其中 ? 为抛物面 )(2
22
yxz ???
在
x o y
面上方的部分；
5, ??
??
?
dsyx )(
22
___ __ _,其中
?
为锥面
22
yxz ??
及平面 1?z 所围成的区域的整个边界曲面,
练 习 题
第 4题答案为,第 5题答案为,?
2
21??6
二、计算下列对面积的曲面积分,
1,
??
?
??? dszxxxy )22(
2
,其中 ? 为平面
622 ??? zyx 在第一卦限中的部分；
2,
??
?
?? dszxyzxy )(,其中 ? 为锥面
22
yxz ?? 被
柱面 axyx 2
22
?? 所截得的有限部分,
三、求抛物面壳
)10)((
2
1
22
???? zyxz
的质量,此壳
的面密度的大小为 z??,
四、求抛物面壳
)10()(
2
1
22
???? zyxz
的质量，此
壳的面密度的大小为,z??
在第二。 2题中，曲面对称于 XOZ坐标面，因此原积
分
4
c o s2
0
2
2
2
22
15
64)c o s( adrrrdd x d yyxxz x d s a
D xy
??? ??? ?????
??
?
?
?
??
解,
)136(1521)(21 2222
222
???????? ??
? ??
?d x d yyxyxz d s
yx
P。 191 3。
?? ??
?
?
xyD
d x d yyxfdszyxf )0,,(),,(
P。 191 4。（ 1）
?? ??
? ??
???
2
22
22
441),,(
yx
d x d yyxdszyxf
P。 191 8。
d x d y
yxa
yxyxdsyxI
ayx
?? ??
? ?? ??
??????
222
222
22
22
0
22
0 1)()( ??
d x d y
yxa
ayx
ayx
??
?? ??
??
222
222
22
0 )(?