第 7节
高斯公式 通量与散度
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
?
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R dxd yQ dz dxP dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
)(一、高 斯 公 式
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
)co sco sco s(
)(
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???
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??????
?
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?
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?
?
或
?
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,如果 是 的内侧，左端要加负号。
?
（证略）
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系,
.)c o sc o sc o s(
)(
??
???
?
?
???
?
?
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dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
???
??
?
??? R d xd yQ d z d xP d yd z
从而可将曲面积分转化成三重积分来计算。
二、简单的应用
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
解,
,
,0,)(
yxR
QxzyP
??
???
,0,0,?????????? zRyQzyxP
???
?
?? d x d y d zzy )(原式
.29???
(利用柱面坐标得 )
x
o
z
y11
3
???
?
?? z d xd yd z
? ? ??? ? ?20 10 30 z d zr d rd
使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
x
y
z
o
例 2 计算曲面积分
dszyx )c o sc o sc o s(
222
??? ??
??
?
,其中 Σ 为
锥面
222
zyx ?? 介于平面
0?z 及 )0( ?? hhz
之间的部分的下侧,
??? c o s,c o s,c o s
是 Σ 在
),,( zyx
处
的法向量的方向余弦,
h?
xyD
x
y
z
o
h?1?
解,空间曲面在 面上的投影域为 xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
.1 ???? 围成空间区域
,上使用高斯公式在 ?
??
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???
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dxdyyxh
dSzyx
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1
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? zd xd y2 4020 22 hz d zr d rd h hr ??? ?? ? ??
.4h??
故所求积分为
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4
2
1 h?? 4h??,
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2
hyx
d x d yh
三、物理意义 ----通量与散度
设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
????
),,(),,(),,(),,( ???
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
1,通量的定义,
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
通量 是比流量更一般的概念。如将向量 A理解成流速，那
末通量 就是流量 ?
?
??
?
???? R d xd yQ d z d xP d yd z
??
?
??? dsRQP )co sco sco s( ??? dsnA
?
?
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?? ?? 0
因此，散度在直角坐标系下的形式为
?????
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????????? dSvdvzRyQxP n)(
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1
??
?
????????? dSvVzRyQxP n1)( ),,( ???
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1l im
积分中值定理,
两边取极限,
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
???
由高斯公式可知
2,散度的定义,
散度，可理解成流体在点 M的源头强度，它表示源头 M在单
位时间单位体积内所产生（或消失）的流体质量
因此，高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd iv n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
注意,函数的梯度是一个向量，向量的散度是一个
数量 。
u
z
u
y
u
x
u
zyxd iv g r a d u
k
z
u
j
y
u
i
x
u
zyxg r a d u
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2
2
2
2
2
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如果设函数 u=u(x,y,z),那么
高斯公式 通量与散度
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
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或
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这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
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量的方向余弦,如果 是 的内侧，左端要加负号。
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（证略）
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
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从而可将曲面积分转化成三重积分来计算。
二、简单的应用
例 1 计算曲面积分
x d y d zzyd x d yyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
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3
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使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
x
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例 2 计算曲面积分
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222
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锥面
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之间的部分的下侧,
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是 Σ 在
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x
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解,空间曲面在 面上的投影域为 xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
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高斯公式
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构成封闭曲面，1???
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三、物理意义 ----通量与散度
设有向量场
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沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
1,通量的定义,
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
通量 是比流量更一般的概念。如将向量 A理解成流速，那
末通量 就是流量 ?
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因此，散度在直角坐标系下的形式为
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积分中值定理,
两边取极限,
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由高斯公式可知
2,散度的定义,
散度，可理解成流体在点 M的源头强度，它表示源头 M在单
位时间单位体积内所产生（或消失）的流体质量
因此，高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd iv n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
注意,函数的梯度是一个向量，向量的散度是一个
数量 。
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如果设函数 u=u(x,y,z),那么
