第 7节
正弦级数和余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1) 当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n定理
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
(2) 当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(co s)(
2
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nb
nn x d xxfa
n
n
证明,)()1( 是奇函数设 xf
??? ? ?? nx d xxfa n co s)(1 0? ),3,2,1,0( ??n
奇函数
??? ?0 s i n)(2 nx d xxf
),3,2,1( ??n
同理可证 (2)
定义
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
??? ? ?? nx d xxfb n s i n)(1
偶函数
定理证毕,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
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y
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和
函
数
图
象
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n
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),3,;( ???????????? xx
例 2 将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,
其中 E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
? ??? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?? E
),2,1( ??n
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二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
).(
2,],0[)(
xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
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则有如下两种情况,??
?
偶延拓
奇延拓
奇延拓, )()( xfxg ???
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0)(
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例 3 将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成
正弦级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn ?
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n
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当
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)0( ??? x
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
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当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
注意,下述结论都是错误的,
a,只有周期函数才能展成傅氏级数 ;;2,],0[,的傅氏级数唯一展成周期为上在 ??b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于
值点时上连续且只有有限个极在 ???
正弦级数和余弦级数
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 (1) 当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
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数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
(2) 当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
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同理可证 (2)
定义
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
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称为 正弦级数,如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
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偶函数
定理证毕,
例 1 设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在
),[ ??? 上的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成
傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
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二、函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
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