?第五节
函数的幂级数展开式的应用
一、近似计算
,21 ??? ????? naaaA
,21 naaaA ????? ?
.21 ???? ?? nnn aar误差
两类问题,
1.给定项数,求近似值并估计精度 ;
2.给出精度,确定项数,
关健, 通过估计余项,确定精度或项数,
常用方法,
1.若余项是交错级数,则可放大到余和的首项 ;
2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成
为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,
例 1,10,5?使其误差不超过的近似值计算 e
解,!1!211 2 ??? ?????? nx xnxxe
,1?x令,!1!2111 ne ????? ?得
余和,
?????? )!2( 1)!1( 1 nnr n )211()!1( 1 ?????? nn
))1( 1111()!1( 1 2 ???????? nnn !1nn??
,10 5??nr欲使,10!1 5??? nn只要
,10! 5?? nn即,10322560!88 5???而
!8
1
!3
1
!2
111 ?????? ?e 7 1 8 2 8.2?
例 2
.
,9s i n
!3
s i n 0
3
并估计误差
的近似值计算利用
x
xx ??
解 20s i n9s i n 0 ??,)20(6120 3?? ??
5
2 )20(!5
1 ??r 5)2.0(
1 2 0
1?
3 0 0 0 0 0
1?,10 5??
0 0 0 6 4 6.01 5 7 0 7 9.09s i n 0 ??? 1 5 6 4 3 3.0?
其误差不超过, 510?
二、计算定积分
.,
,
ln
1
,
s i n
,
2
难以计算其定积分函数表示
原函数不能用初等例如函数
xx
x
e x?
解法
逐项积分 展开成幂级数
定积分的近似值 被积函数
第四项 30001!77 1 ??,10 4??
取前三项作为积分的近似值,得
!55
1
!33
11s i n1
0 ?????? dxx
x 9461.0?
例 3,10,
s i n 41
0
?? 精确到的近似值计算 dx
x
x
?? ????? 642 !71!51!311s i n xxxx x解 ),( ?????x
?????????? !77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x
收敛的交错级数
三。欧拉公式,
也叫欧拉公式
两式相加得
称欧拉公式
i
ee
x
ee
x
xixe
xixe
ixixixix
ix
ix
2
s in,
2
c o s
)s inc o s(
s inc o s
??
?
?
?
?
?
??
??
)s i n( c o s,yiyeeeeeiyxz xiyxiyxz ??????? ?则如设复数
揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系,