第六节 方向导数和梯度
ìμ ￡? ?· é? °? ?é
1 ￡? ±¨ ìü ?ˉ ′? ?é ),( yxfz = ￡? í? °ú ),( yxP ìé ?? é? l ￡? l í? x
D? ?é é? °? ?ê ·á è§ f ￡? ),( yyxxp D+D+ ?á ?? é? l ?é °? ?í ìμ °ú ￡? ±¨
ìü ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( yxP ?? ?· é? l °? ?· é? °? ?é è§
l?
? f
=
0
lim
?r r
),(),( yxfyyxxf -D+D+
￡? à? Dê
22
)()( yx D+D=r
°a ?? é? l ?á x D? °? ?é é? ￡? ?ˉ l ={1 ￡? 0} ?a ￡?
l?
? f
=
x
f ￡?
°a ?? é? l ?á x D? °? ?ˉ é? ￡? ?ˉ l ={ - 1 ￡? 0} ?a ￡?
l?
? f
= -
x
f
°a ?? é? l ?á y D? °? ?é é? ￡? ?ˉ l ={0 ￡? 1} ?a ￡?
l?
? f
=
y
f
°a ?? é? l ?á y D? °? ?ˉ é? ￡? ?ˉ l ={0 ￡? - 1} ?a ￡?
l?
? f
= -
y
f
ì? ˉ? ￡? ਠ°? ?é ?á ?· é? °? ?é °? ?? ?ù á° 1? ?￡
2 ￡? ?à ?ú ±¨ oí ?T 3è ′? ?é ),( yxfz = ￡? ?ó °ú ),( yxP 1? è￠ ￡? ?á ?| ′?
?é ?ó 2? °ú ?? ?è ìμ ?· é? °? ?· é? °? ?é ±? ˉY ?ó ￡? áì íê
l?
? f
=
x
f fc o s + yf fs i n ￡? à? Dê f è§ x D? ?é é? °· ?· é? l °? ?§ ·á ?￡
?é ?? ±¨ oí 1? ?à 3ú °· ?é ?§ ′? ?é ),,( zyxfu = ￡?
íê
l?
? f
=
xf
ac o s + yf bcos +
zf gc o s
￡? à? Dê ac o s ￡? bcos ￡? gc o s ?D
aa ?á ?· é? l °? ?· é? í- éì ?￡
oé 1 ￡? á? ′? ?é yxez 2= ?ó °ú P ￡¨ 1 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ?? ˉí P ￡¨ 1 ￡? 0 ￡| °· °ú Q
￡¨ 2 ￡? - 1 ￡| ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ￡′ l ={2 - 1 ￡? - 1 - 0 } = { 1 ￡? - 1} ￡? 1tan -=f ￡?
4
p
f -= ￡? xf = ye 2 ￡?
yf =
yxe 22 ￡?
l?
? f =
)0,1(xf fc o s + )0,1(yf fs i n =
2
2 -
2 = -
2
2
oé 2 ￡? á? ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= ?ó °ú M )
2
,
2
(
ba
ˉ￥ ?? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
?ó ?ù °ú °? ?ó ?¨ é? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ￡′
xz
)
2
,
2
(
ba
=
a
2
- ￡? yz )
2
,
2
(
ba
=
b
2
- ￡?
?ˉ 1),(
2
2
2
2
-+=
b
y
a
x
yxF
í? ìê ′? ?é á? °? 3¨ ?· 1? °?
2
2
a
x
F
x
= ￡?
2
2
b
y
F
y
= ￡? ì? ˉ? ￡? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
3é °ú ￡¨ x,y ￡| °? áê é? °? êa ?? è§
ya
xb
F
F
dx
dy
y
x
2
2
-=-= ￡?
?¨ é? °? êa ?? è§
xb
ya
dx
dy
2
2
= ￡?
y ￠ )
2
,
2
(
ba
=
b
a
￡? ?￠ ìù °· ?ó ?¨ é? ?· é? ±? í￥ °? ?ê ·á ?ó °ó ?é é? é× ￡? í?
b
a
=qtan ￡? 1? °?
qc o s =
22
ba
b
+
-
,qsin =
22
ba
a
+
-
￡? ì? ˉ? ￡?
=
?
?
M
z
l
(
a
2
- )(
22
ba
b
+
-
)+(
b
2
- )(
22
ba
a
+
-
)=
ab
ba )(2
22
+
±ê ￡? ?? ±?
?ˉ ±ê ?§ ′? ?é yxfz,(= ￡| ?ó à· ?Y á? í? D ?ó ?? íê ìμ ·? ?? ê? ਠ°? ?é ￡?
?á ?ˉ ￡? ±? íó ?è ?? °? DyxP ?),( ￡? ±? 1? ±? í￥ °? ±¨ ìü ìμ 2? é? ?1
j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
￡? ?ù 2? é? ?1 ?à è§ ′? ?é yxfz,(= ￡| ?ó °ú ),( yxp °? ?? ±? ￡?
?á ?e ),( yxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
±? íó ?é ?§ ′? ?é ),,,( zyxfu = 1? é- í￥ °? ±¨ ìü ?ó ?ó °ú ),,( zyxp W?
°? ?? ±?
),,( zyxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
+ k
z
f
?
?
±? í￥ íó DyxP ?),( μ? ),,( zyxp W? Dê °? ìμ °ú ￡? )( pf ?? ±¨ ?? ìμ 2? ?é ?￡
ì? ˉ? ￡? ±? íó ?è 2? DyxP ?),( μ? ),,( zyxp W? ￡? )( pf ?D aa ?ó à· ?Y μ?
1? ?? á? í? ?ó ?? ±¨ ?? ìμ 2? ?é ?1 ?? ?￡ é- í￥ °? ￡? )( Pg r a d f ?á ?é ?1 ?? )( pf
±? í￥ °? é? ?1 ?? ?￡ ?ù D í? ?é ?1 ?? °? ?? ±? 3 ?? °? é? ?1 ?? ?à è§ ?? ±?
?? ?￡
′? ?é yxfz,(= ￡| °? ?· é? °? ?é
l?
? f
=
x
f
?
?
fc o s +
y
f
?
?
fs i n
={
x
f
?
?
￡?
y
f
?
?
}{ fc o s ￡? fs i n }= ),( yxg r a d f e×
= ),( yxgradf ),),(c o s ( eyxg r a d f
ù
￡? à? Dê e è§ l ?· é? °? °¤ èμ é? ?1 ?￡
í? ˉ? 1? ?è
1 ￡? ?· é? °? ?é
l?
? f
?? ?á ?? ±? ),( yxg r a d f ?ó ?? é? l ?é °? ?± í? ￡μ
2 ￡? ?? ?? ±? ?· é? °? ?· é? °? ?é ˉá °· ?à ˉ? D° ￡? à? D° è§ ?? ±? °? ?￡
),( yxgradf =
22
)()(
y
f
x
f
?
?
+
?
?
￡¨ ?? ±? ?· é? ?á 2e ?· é? Dê ?· é? °? ?é ?à ˉ? °? ?· é? ￡? ?á ?? ?á ?° ￡? ??
±? ?· é? ?á ′? ?é ),( yxf ?ó °ú ),( yx
?? ?¤ ?à 1ì °? ?· é? ￡| ?￡ ?é ?§ ′? ?é íê o- ?à °? ·? ?? ?￡
3 ?￡ í? ),( yxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
1? D§ ￡?
ˉí x D? ?é é? °· ?? ±? ?· é? ?§ ·á °? ?é áê è§
x
f
y
f
?
?
?
?
=qt a n =
x
y
f
f
￡?
±? =z ),( yxf ?? aí ?? °? áò ?Y í? à· ?Y =z c °? ·μ é? ),( yxf = c ?ò ?ú
0=+
dx
dy
ff
yx
￡? áò é? ),( yxf = c °? áê é? °? êa ??
dx
dy
=
y
x
f
f
- ￡? ˉí ±? áò
é? ),( yxf = c °? ?¨ é? °? êa ??
dx
dy
=
x
y
f
f
￡? áò é? ),( yxf = c ?à è§ °? 2? é? ￡?
í? ˉ? 1? ?è ￡? ′? ?é =z ),( yxf °? ?? ±? ?· é? ?? ?á °? 2? é? ),( yxf = c °? ?¨
é? ?· é? ￡? à? D2 é? ?á ˉí ?é D° ·é °? °? °? 2? é? D2 é? ?é D° ·é 2? °? °? 2?
é? ?￡
?é ?§ ′? ?é íê o- ?à °? ·? ?? ￡′ ?ˉ ?é ?§ ′? ?é ),,,( zyxfu = °? ?? ±? ?· é?
?? ?á °? D° ?Y ),,( zyxf = c °? ?¨é ? ?· é? ￡? à? D2 é? ?á ˉí ?é D° ·é °? °? °?
D° ?Y D2 é? ?é D° ·é 2? °? °? D° ?Y ?￡
oé 1 ￡? è? ′? ?é zxyu 2= ?ó °ú P ￡¨ 1 ￡? - 1 ￡? 2 ￡| ˉ￥ ?? ?- ?ˉ ?· é? °? ?·
é? °? ?é ?à ˉ? ￡? -￠ á? ˉ? ?· é? °? ?é °? ?à ˉ? D° ?￡
·ù ￡′ ),,( zyxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
+ k
z
f
?
?
= kxyjx y zizy )()2()( 22 ++
}1,,4,2{)2,1,1( -=-gradf ￡? ?? ˉ? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?à ˉ? ￡? à? D° è§
211)4(2
222
=+-+
oé 2 ￡? ?? á? ?é ?1 ??
r
m
?? -ò ?ò °? ?? ±? ?? ￡? à? Dê ?￡ ?é
222
,0 zyxrm ++=>
è§ ?a °ú O °· °ú M (x,y,z ) °? ?- o? ?￡
·ù ￡′ ?è P ?￡ 59
oé 3 ￡? á? ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= ?ó °ú M )
2
,
2
(
ba
ˉ￥ ?? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
?ó ?ù °ú °? ?ó ?¨ é? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ?¨ 2 ￡′ ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= °? °? 2? é? è§ ?D ?- ?￡
D2 é? í? ?ù é? ?ó ?￡ í? áò é? 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
°? ?ó ?¨ é? ?· é? ìμ D? ?￡
ì? ˉ? ￡? 2? ?· é? ?? ?á ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-=
°? ?? ±? ?· é? ?￡ ˉí ±? ￡? )
2
,
2
(
ba
g r a d f ={
ba
2
,
2
-- } ￡?
l?
? f
=| )
2
,
2
(
ba
g r a d f |=
22
)
2
()
2
(
ba
-+- =
ab
ba )(2
22
+
多元函数的极值及其求法
ìμ ￡? ìμ ?§ ′? ?é ′? ±- ?§ ′? ?é °? ?¨ D° °? a? ·é
1,±¨ ìü
±? íó Dxx ì? )(
0
d ￡? ′ú íê )( xf < )(
0
xf ￡? ?à ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ˉ? D° ￡μ
±? íó Dxx ì? )(
0
d ￡? ′ú íê )( xf > )(
0
xf ￡? ?à ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ê? D°,
±? íó Dyxyx ì? ),(),(
00
d ￡? ′ú íê ),( yxf < ),(
00
yxf ￡? ?à ′? ?é
),( yxfz = ?ó °ú
),(
00
yx ?? ?¨ ˉ? D° ￡μ
±? íó Dyxyx ì? ),(),(
00
d ￡? ′ú íê ),( yxf > ),(
00
yxf ￡? ?à ′? ?é
),( yxfz = ?ó °ú
),(
00
yx ?? ?¨ ê? D° ￡μ
2.必要条件
一阶导数等于零或一阶导数不存在的点是可能的极值点；
两个一阶偏导数同时为零 （ 称为函数的驻点 ） 或一阶偏导数不
存在的点是可能的极值点 。
3 ￡? ?? ?D ?? ?ê
?? ?ê 1 ￡′ ?ó °ú
0
x ìμ ·? °? ?é °? íó ?ú μ? ìμ ·? °? ?é -μ ˉY ?ó ￡? ±? áì 3é
°ú
0
x ?a ￡? ìμ ·? °? ?é a? ′? ?￡ ?á ?| ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ D° ?￡ ?T
3è 3é °ú
0
x ?a ìμ ·? °? ?é í? ?é a? 2′ ￡? ?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ˉ?
D° ￡μ ?T 3è 3é °ú
0
x ?a ìμ ·? °? ?é í? 2′ a? ?é ￡? ?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ê? D° ?￡
?? ?ê 2 ￡′ ?ó °ú
0
x ìμ ·? °? ?é °? íó ?ú áì ±ê ·? °? ?é -μ °? íó ?ú ￡? ?á ?|
′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ D° ?￡ ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é ê? íó ?ú ￡? ??
′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ˉ? D° ￡μ ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é ˉ? íó ?ú ￡?
?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ê? D° ?￡
( ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é °? íó ?ú ￡? ?á ?| ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x 1? ??
?? ?¨ D° ￡? ì- 1? ?? -μ ?? ?¨ D° ￡? êˉ ?í ?e ?D ?? )
±ê ?§ ′? ?é ?? ?¨ D° °? ?? ?D ?? ?ê ￡′
0),(,0),(
0000
== yxfyxf
yx
áì ?ˉ
xx
f ),(
00
yx =A ￡?
xy
f ),(
00
yx =B ￡?
yy
f ),(
00
yx =C ￡? ?? íê ￡′
￡¨ 1 ￡| °a
2
BAc - >0 ?a ￡? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),(
00
yx ?? ?¨ D° ?￡ áì
°a A <0 ?a ?? ?¨ ˉ? D° ￡? °a A >0 ?a ?? ?¨ ê? D° ￡μ
￡¨ 2 ￡| °a 2BAc - <0 ?a ￡? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( 00 yx -μ ?? ?¨ D° ?￡
￡¨ 3 ￡| °a 2BAc - =0 ?a￡ ? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( 00 yx 1? ?? ?? ?¨ D° ￡?
ì- 1? ?? -μ ?? ?¨ D° ￡? êˉ ?í ?e ?D ??
oé 1 ￡? ?ê ±¨′ ? ?é ￡¨ 1 ￡|
22
43 yxz += ￡¨ 2 ￡|
22
yxz +-= ′? ￡¨ 3 ￡|
xyz = ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ?á ?? ?? ?¨ D° ￡1
·ù ￡′ ￡¨ 1 ￡| 0)0,0( =
x
f ￡? 0)0,0( =
y
f ￡? A =6 ￡? C =8 ￡? B =0 ￡?
2
BAc - >0
áì A >0 ￡? f(0,0 )=0 è§ ?¨ ê? D° ￡μ
￡¨ 2 ￡| ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ìμ ·?à ¨ °? ?é -μ ˉY ?ó ￡? -μ ?? í? ?? ?D ??
?ê ?ê ±¨ ?￡ ?? ?° ?é ￡? f(0,0 )=0 è§ ?à ˉ? D° ￡μ
￡¨ 3 ￡| 0)0,0( =
x
f ￡? 0)0,0( =
y
f ￡? A =0 ￡? C =0 ￡? B =1 ￡?
2
BAc - <0 ￡?
′? ?é xyz = ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ -μ ?? ?¨ D° ?￡
oé 2 ￡? á? ′? ?é )4)(6(),(
22
yyxxyxf --= °? ?¨ D°
·ù ￡′ )4)(26(),(
2
yyxyxf
x
--= ￡? )24)(6(),(
2
yxxyxf
y
--=
?à 0),( =yxf
x
￡? °? x =3,y =0,y =4 ; 0),( =yxf
y
,°? y =2,x =0,x =6, ì?
ˉ? ￡? 1? ?? °? ?¨ D° °ú è§
￡¨ 3 ￡? 2 ￡| ￡? ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ￡? ￡¨ 0 ￡? 4 ￡| ￡? ￡¨ 6 ￡? 0 ￡| ￡? ￡¨ 6 ￡? 4 ￡| í? o- ?à °? ?· ?¨
1? ì? ?ê ±¨ f(3,2 )= 3 6 è§ ?¨ ˉ? D° ￡? à? í- 2e °ú ±? -μ ?á ?¨ D° °ú ?￡
下面讨论如何求多元函数的最大值
和最小值？
±ê ￡? ?T ′è á? ±ê ?§ ′? ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡1
?ˉ ′? ?é ),( yxfz = ?ó íê ·T a? á? í? D ?é ?? ê? ￡? ?á ?| ′? ?é ?ó D ?é a?
±¨ ?? °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° 1? ?? ?ó D °? ?ó -1 ì-
1? ?? ?ó D °? a? ·T ?é ?￡ ì? ˉ? ￡? á? ′? ?é ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° °? ìμ ?ú ?·
?¨ ?á ?? ?? íê 1? ?? °? ?¨ D° °ú ￡¨ ?ó o¨ ?¤ °ú ′? ìμ ·? °? ?é -μ ˉY ?ó °? °ú ￡?
?ù ê| °ú a? ±¨ ?ó D ?ó ￡| ?é °? ′? ?é D° í? a? ·T ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D°
·? ê a? ·é ￡? à? Dê ?à ˉ? ?? ?? ?á ?à ˉ? D° ￡? ?à ê? ?? ?? ?á ?à ê? D° ?￡ D?
íó 1? ?? °? ?¨ D° °ú ?á ?? ?Y °? ?á ?¨ D° °ú ?? è× 3? ·? ì§ ￡? a? ·é á? -μ a?
?ê ±¨ ?￡
á? a? ·T ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡? íê ?a μ3 ?á ?￥ 2ˉ ?í °? ￡? ?ó ?° ??
è? ?ù Dê ￡? ?T 3è 2? ?? è? ?ù °? ê? D? ￡? ?? ?? á? ?ê ±¨ ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D°
ìμ ±¨ ?ó D ?ó ?? °? ￡? ±? ′? ?é ?ó D ?ó íD Dμ íê ìμ 2? 1? ?? °? ?¨ D° °ú ￡?
?á ?| 1? ì? 1é ±¨ 2? °ú °? ′? ?é D° ?? ?á ′? ?é ?ó D ?é °? ?à ˉ? D° ￡¨ ?à ê?
D° ￡| ?￡
oé 3 ￡? ?? ?§ ì§ í? ?ò ?ü ?? ?? ìμ 2? ?ü μé è§ 2 °? íê 2á ?¤ ?· ?ü ?? é? ￡? è?
°a ?¤ ￡? 1í ￡? 2? 2e ?? ?? ?? °? ?? ˉT ?a ￡? -? ?? ?3 í? ?é ?à ?? ￡1
·ù ￡′ ?ˉ ?? é? °? ?¤ ￡? 1í ￡? 2? ?D aa è§ x,y,z,??
xy
z
2
= ￡? ?? é? ?? í? -?
?é °? ?Y μé è§ A= 2 x y +2 x z +2 y z
=2 (x y + )
22
xy
+,?à 0
2
2,0
2
2
22
=-==-=
y
xA
x
yA
yx
￡? ·ù D? °?
x = y =z =
3
2,í? ?ù ìù 1? D§ ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ìμ ±¨ ?ó ±¨ ìü í? ?ó ?? °?
áì Dμ íê è¨ ìμ ?¤ °ú ?￡ ì? ˉ? ￡? °a x =y =z =
3
2 ?a ?? é? ?? í? -? ?é °? ?Y μé
?à ?? ?￡ í? ˉ? 1? ?è ￡? ?ó ?ü μé ìμ ±¨ °? ?¤ ?· ?ü Dê ì? ?￠ ?· ?ü °? aí ?Y μé
?à ê? ?￡
?? ?ê ?¨ D° è? ?ù °? ìμ ?ú êa ?? ?T é? ￡′
′? ?é ),( yxfz = ￡¨ 1 ￡| ?ó ?? ?ê 0),( =yxf ￡¨ 2 ￡| é? á? ?¨ D° ?￡
éD ?ó ?D ?? ?é ?? è? ?ù ?ó °ú ),( 00 yx ?? ?¨ D° °? a? ì§ ?? ?ê ￡′
三, 条件极值 拉格朗日乘数法
?T 3è ?ˉ ￡¨ 2 ￡| °? é? ?· ˉY ?ó ￡? ?? í? ￡¨ 2 ￡| 1? ??± ¨ )( xy y= ￡? ˉò ?? ￡¨ 1 ￡|
°? )](,[ xxfz y= ￡? ì? ˉ? ￡?
dx
dy
ff
dx
dz
yx
+= ￡? í? ìê ′? ?é á? °? ￡?
μ3 1? °? °·
y
x
dx
dy
f
f
-= ?￡ ?T 3è ′? ?é ￡¨ 1 ￡| ?ó °ú ),(
00
yx ?ò ?ú ?? ?ê ￡¨ 2 ￡|
°? á? ?? é? ?? ?¨ D° ￡?
?á ?ˉ ￡? 0),(
00
=yxf ￡¨ 3 ￡| ￡?
),(
),(
00
00
0
yx
yx
dx
dy
y
x
xx
f
f
-=
=
￡¨ 4 ￡|
áì
yx
fyxf,0),(
00
= ),(
00
yx 0= ￡?
ˉí ±? ￡? +=
=
),(
00
0
yxf
dx
dz
x
xx
y
f ),(
00
yx
0
xx
dx
dy
=
0= ￡¨ 5 ￡|
ˉí ±? ￡? +=
=
),(
00
0
yxf
dx
dz
x
xx
y
f ),(
00
yx
0
xx
dx
dy
=
0= ￡¨ 5 ￡|
·¨ ￡¨ 4 ￡| ˉò ?? ￡¨ 5 ￡| °? ),(
00
yxf
x
-
y
f ),(
00
yx
),(
),(
00
00
yx
yx
y
x
f
f
0= ￡?
?ˉ
),(
),(
00
00
yx
yxf
y
y
f
- = l ￡? ?? íê
),(
00
yxf
x
+ l 0),(
00
=yx
x
f ￡¨ 6 ￡|
y
f ),(
00
yx + l
y
f ),(
00
yx 0= ￡¨ 7 ￡|
?ò ?í ?é ?a íê °? 0),(
00
=yxf ￡¨ 3 ￡| ?ó ?á 3 ?? ?? á? ?? ?ê ?¨ D° °?
a? ì§ ?? ?ê ?￡
è§ aú íó ?á ì? ￡? èì ?á é? ?ˉ ?ù ìù ?ò ?ˉ ìμ 2? 2¨ Dò ′? ?é
F ( x,y,l ) = f ( x,y ) + l ),( yxf
±? 2¨ Dò ′? ?é F (x,y,l )= f(x,y )+ l ),( yxf,?D aa ±? x,y ￡? l á? ਠ°? ?é
°?
l
FFF
yx
,,￡? -￠ ?à à? è§ ?ú ￡? ?ù ??
í? ?· ?? ?°
0),(
0),(),(
0),(),(
=
=+
=+
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
f
lf
lf
·ù ?? °? °ú ),(
00
yx ?? ?ê ?¨ D° 1? ?? °? ?¨ D° °ú ?￡
这种求解条件极值的可能极值点的方法 （ 必要条件 ） 叫做拉格
朗日乘数法 。 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个, 约束
条件多于一个的情况 。
oé 3 í? ?? ?ê ?¨ D° á? ·ù ￡′ ?ˉ ?? é? °? ?¤ ￡? 1í ￡? 2? ?D aa è§ x,y,z ￡?
-￠ ?ˉ F (x,y,l )= 2 (x y +x z +y z )+ l (x y z - 2 ),?? íê
022
022
022
=++=
=++=
=++=
xyyxF
xzzxF
yzzyF
z
y
x
l
l
l
·ù D? °? x =y =z =
3
2
02 =-= x y zF
l
例 4,求内接于半径为 R的球且有最大体积的长方体 。
·ù ￡′ ?ˉ ( x,y,z ) è§ á? ?Y ?é ìμ °ú ￡?
),,,( lzyxF = x y z + l ( 2222 Rzyx -++ )
oé 5 ￡? ?? èá ?Y 22 yxz += aμ à· ?Y 1=++ zyx ·? ?? ìμ ?D ?- ￡? á?
?a °ú °· ?ù ?D ?- °? ?à ?¤ í? ?à ±? ?- o? ?￡ ·ù ￡′ ?ˉ (x,y,z ) è§ ?D ?- ?é ìμ °ú ￡?
),,,,(
21
llzyxF =
)1()()( 2
22
1
222
-+++--+++ zyxyxzzyx ll
P, 8 6 °ó 16 ?ù
)1
543
(),,,,(,1221 -+++== zyxzzyxFzd lll + )1( 222 -+ yxl
第 7章 习题课
本章的重点是第二至六节。
要掌握的内容包括,
1。多元函数极限和连续的定义
2。多元函数偏导数的定义及计算
3。多元函数可微的定义及全微分和全增量的计算
4。多元函数在某点极限存在，连续，可微，偏导数存在，偏
导数连续等概念的区别和联系
5。多元复合函数的求导，隐函数的求导
6。求过曲线上已知点的切线方程和法平面方程，求
过曲面上已知点的切平面方程和法线方程
7。方向导数的定义和计算，梯度的定义和计算。梯
度方向是方向导数最大的方向，也是函数等高线的法
线方向
8。多元函数无条件极值的必要条件和充分条件，条
件极值的必要条件
9。多元函数无条件极值和条件极值的计算，简单应
用题的最大值和最小值的计算（条件极值中设置辅助
函数的技巧 )
设 z=xy+xF(u),而 u=,F(u)为可导函数,
证明,x +y =z+xy x
y
x
z
?
?
y
z
?
?
证,
xyz
uxFxyuFyxyuFy
uxFxy
y
z
y
x
z
x
uFx
x
uFxx
y
z
uF
x
y
uFy
x
y
uFxuFy
x
z
+=
+=￠++￠-
+=
?
?
+
?
?
?
￠+=￠+=
?
?
￠-+=
-￠++=
?
?
)(2)()(
)(
)(
1
)(
)()(
))(()(
2
设 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,证明
1=??+?? yzxz
解法 1,
1
3)32cos(6
2)32cos(4
1)32cos(2
32)32sin(2),,(
=
+
-=
?
?
+
?
?
+-+-=
--+=
--+=
+---+=
z
yx
z
y
x
F
FF
y
z
x
z
zyxF
zyxF
zyxF
zyxzyxzyxF
解法 2,
1,032,031
3
232
1)32cos(2:)2(
1
3
2
3
1
,1)32cos(2:)1(
0)32](1)32cos(2[
0)31](1)32cos(2[
=
?
?
+
?
?
=
?
?
-=
?
?
-?
?=-+?
=-+
=+=
?
?
+
?
?
?
?-+
=
?
?
---+
=
?
?
---+
y
z
x
z
y
z
x
z
Kzyx
zyx
y
z
x
z
zyx
y
z
zyx
x
z
zyx
p
p
ìμ ￡? ?· é? °? ?é
1 ￡? ±¨ ìü ?ˉ ′? ?é ),( yxfz = ￡? í? °ú ),( yxP ìé ?? é? l ￡? l í? x
D? ?é é? °? ?ê ·á è§ f ￡? ),( yyxxp D+D+ ?á ?? é? l ?é °? ?í ìμ °ú ￡? ±¨
ìü ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( yxP ?? ?· é? l °? ?· é? °? ?é è§
l?
? f
=
0
lim
?r r
),(),( yxfyyxxf -D+D+
￡? à? Dê
22
)()( yx D+D=r
°a ?? é? l ?á x D? °? ?é é? ￡? ?ˉ l ={1 ￡? 0} ?a ￡?
l?
? f
=
x
f ￡?
°a ?? é? l ?á x D? °? ?ˉ é? ￡? ?ˉ l ={ - 1 ￡? 0} ?a ￡?
l?
? f
= -
x
f
°a ?? é? l ?á y D? °? ?é é? ￡? ?ˉ l ={0 ￡? 1} ?a ￡?
l?
? f
=
y
f
°a ?? é? l ?á y D? °? ?ˉ é? ￡? ?ˉ l ={0 ￡? - 1} ?a ￡?
l?
? f
= -
y
f
ì? ˉ? ￡? ਠ°? ?é ?á ?· é? °? ?é °? ?? ?ù á° 1? ?￡
2 ￡? ?à ?ú ±¨ oí ?T 3è ′? ?é ),( yxfz = ￡? ?ó °ú ),( yxP 1? è￠ ￡? ?á ?| ′?
?é ?ó 2? °ú ?? ?è ìμ ?· é? °? ?· é? °? ?é ±? ˉY ?ó ￡? áì íê
l?
? f
=
x
f fc o s + yf fs i n ￡? à? Dê f è§ x D? ?é é? °· ?· é? l °? ?§ ·á ?￡
?é ?? ±¨ oí 1? ?à 3ú °· ?é ?§ ′? ?é ),,( zyxfu = ￡?
íê
l?
? f
=
xf
ac o s + yf bcos +
zf gc o s
￡? à? Dê ac o s ￡? bcos ￡? gc o s ?D
aa ?á ?· é? l °? ?· é? í- éì ?￡
oé 1 ￡? á? ′? ?é yxez 2= ?ó °ú P ￡¨ 1 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ?? ˉí P ￡¨ 1 ￡? 0 ￡| °· °ú Q
￡¨ 2 ￡? - 1 ￡| ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ￡′ l ={2 - 1 ￡? - 1 - 0 } = { 1 ￡? - 1} ￡? 1tan -=f ￡?
4
p
f -= ￡? xf = ye 2 ￡?
yf =
yxe 22 ￡?
l?
? f =
)0,1(xf fc o s + )0,1(yf fs i n =
2
2 -
2 = -
2
2
oé 2 ￡? á? ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= ?ó °ú M )
2
,
2
(
ba
ˉ￥ ?? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
?ó ?ù °ú °? ?ó ?¨ é? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ￡′
xz
)
2
,
2
(
ba
=
a
2
- ￡? yz )
2
,
2
(
ba
=
b
2
- ￡?
?ˉ 1),(
2
2
2
2
-+=
b
y
a
x
yxF
í? ìê ′? ?é á? °? 3¨ ?· 1? °?
2
2
a
x
F
x
= ￡?
2
2
b
y
F
y
= ￡? ì? ˉ? ￡? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
3é °ú ￡¨ x,y ￡| °? áê é? °? êa ?? è§
ya
xb
F
F
dx
dy
y
x
2
2
-=-= ￡?
?¨ é? °? êa ?? è§
xb
ya
dx
dy
2
2
= ￡?
y ￠ )
2
,
2
(
ba
=
b
a
￡? ?￠ ìù °· ?ó ?¨ é? ?· é? ±? í￥ °? ?ê ·á ?ó °ó ?é é? é× ￡? í?
b
a
=qtan ￡? 1? °?
qc o s =
22
ba
b
+
-
,qsin =
22
ba
a
+
-
￡? ì? ˉ? ￡?
=
?
?
M
z
l
(
a
2
- )(
22
ba
b
+
-
)+(
b
2
- )(
22
ba
a
+
-
)=
ab
ba )(2
22
+
±ê ￡? ?? ±?
?ˉ ±ê ?§ ′? ?é yxfz,(= ￡| ?ó à· ?Y á? í? D ?ó ?? íê ìμ ·? ?? ê? ਠ°? ?é ￡?
?á ?ˉ ￡? ±? íó ?è ?? °? DyxP ?),( ￡? ±? 1? ±? í￥ °? ±¨ ìü ìμ 2? é? ?1
j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
￡? ?ù 2? é? ?1 ?à è§ ′? ?é yxfz,(= ￡| ?ó °ú ),( yxp °? ?? ±? ￡?
?á ?e ),( yxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
±? íó ?é ?§ ′? ?é ),,,( zyxfu = 1? é- í￥ °? ±¨ ìü ?ó ?ó °ú ),,( zyxp W?
°? ?? ±?
),,( zyxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
+ k
z
f
?
?
±? í￥ íó DyxP ?),( μ? ),,( zyxp W? Dê °? ìμ °ú ￡? )( pf ?? ±¨ ?? ìμ 2? ?é ?￡
ì? ˉ? ￡? ±? íó ?è 2? DyxP ?),( μ? ),,( zyxp W? ￡? )( pf ?D aa ?ó à· ?Y μ?
1? ?? á? í? ?ó ?? ±¨ ?? ìμ 2? ?é ?1 ?? ?￡ é- í￥ °? ￡? )( Pg r a d f ?á ?é ?1 ?? )( pf
±? í￥ °? é? ?1 ?? ?￡ ?ù D í? ?é ?1 ?? °? ?? ±? 3 ?? °? é? ?1 ?? ?à è§ ?? ±?
?? ?￡
′? ?é yxfz,(= ￡| °? ?· é? °? ?é
l?
? f
=
x
f
?
?
fc o s +
y
f
?
?
fs i n
={
x
f
?
?
￡?
y
f
?
?
}{ fc o s ￡? fs i n }= ),( yxg r a d f e×
= ),( yxgradf ),),(c o s ( eyxg r a d f
ù
￡? à? Dê e è§ l ?· é? °? °¤ èμ é? ?1 ?￡
í? ˉ? 1? ?è
1 ￡? ?· é? °? ?é
l?
? f
?? ?á ?? ±? ),( yxg r a d f ?ó ?? é? l ?é °? ?± í? ￡μ
2 ￡? ?? ?? ±? ?· é? °? ?· é? °? ?é ˉá °· ?à ˉ? D° ￡? à? D° è§ ?? ±? °? ?￡
),( yxgradf =
22
)()(
y
f
x
f
?
?
+
?
?
￡¨ ?? ±? ?· é? ?á 2e ?· é? Dê ?· é? °? ?é ?à ˉ? °? ?· é? ￡? ?á ?? ?á ?° ￡? ??
±? ?· é? ?á ′? ?é ),( yxf ?ó °ú ),( yx
?? ?¤ ?à 1ì °? ?· é? ￡| ?￡ ?é ?§ ′? ?é íê o- ?à °? ·? ?? ?￡
3 ?￡ í? ),( yxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
1? D§ ￡?
ˉí x D? ?é é? °· ?? ±? ?· é? ?§ ·á °? ?é áê è§
x
f
y
f
?
?
?
?
=qt a n =
x
y
f
f
￡?
±? =z ),( yxf ?? aí ?? °? áò ?Y í? à· ?Y =z c °? ·μ é? ),( yxf = c ?ò ?ú
0=+
dx
dy
ff
yx
￡? áò é? ),( yxf = c °? áê é? °? êa ??
dx
dy
=
y
x
f
f
- ￡? ˉí ±? áò
é? ),( yxf = c °? ?¨ é? °? êa ??
dx
dy
=
x
y
f
f
￡? áò é? ),( yxf = c ?à è§ °? 2? é? ￡?
í? ˉ? 1? ?è ￡? ′? ?é =z ),( yxf °? ?? ±? ?· é? ?? ?á °? 2? é? ),( yxf = c °? ?¨
é? ?· é? ￡? à? D2 é? ?á ˉí ?é D° ·é °? °? °? 2? é? D2 é? ?é D° ·é 2? °? °? 2?
é? ?￡
?é ?§ ′? ?é íê o- ?à °? ·? ?? ￡′ ?ˉ ?é ?§ ′? ?é ),,,( zyxfu = °? ?? ±? ?· é?
?? ?á °? D° ?Y ),,( zyxf = c °? ?¨é ? ?· é? ￡? à? D2 é? ?á ˉí ?é D° ·é °? °? °?
D° ?Y D2 é? ?é D° ·é 2? °? °? D° ?Y ?￡
oé 1 ￡? è? ′? ?é zxyu 2= ?ó °ú P ￡¨ 1 ￡? - 1 ￡? 2 ￡| ˉ￥ ?? ?- ?ˉ ?· é? °? ?·
é? °? ?é ?à ˉ? ￡? -￠ á? ˉ? ?· é? °? ?é °? ?à ˉ? D° ?￡
·ù ￡′ ),,( zyxg r a d f = j
y
f
i
x
f
?
?
+
?
?
+ k
z
f
?
?
= kxyjx y zizy )()2()( 22 ++
}1,,4,2{)2,1,1( -=-gradf ￡? ?? ˉ? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?à ˉ? ￡? à? D° è§
211)4(2
222
=+-+
oé 2 ￡? ?? á? ?é ?1 ??
r
m
?? -ò ?ò °? ?? ±? ?? ￡? à? Dê ?￡ ?é
222
,0 zyxrm ++=>
è§ ?a °ú O °· °ú M (x,y,z ) °? ?- o? ?￡
·ù ￡′ ?è P ?￡ 59
oé 3 ￡? á? ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= ?ó °ú M )
2
,
2
(
ba
ˉ￥ ?? áò é?
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
?ó ?ù °ú °? ?ó ?¨ é? ?· é? °? ?· é? °? ?é ?￡
·ù ?¨ 2 ￡′ ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-= °? °? 2? é? è§ ?D ?- ?￡
D2 é? í? ?ù é? ?ó ?￡ í? áò é? 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
°? ?ó ?¨ é? ?· é? ìμ D? ?￡
ì? ˉ? ￡? 2? ?· é? ?? ?á ′? ?é )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z +-=
°? ?? ±? ?· é? ?￡ ˉí ±? ￡? )
2
,
2
(
ba
g r a d f ={
ba
2
,
2
-- } ￡?
l?
? f
=| )
2
,
2
(
ba
g r a d f |=
22
)
2
()
2
(
ba
-+- =
ab
ba )(2
22
+
多元函数的极值及其求法
ìμ ￡? ìμ ?§ ′? ?é ′? ±- ?§ ′? ?é °? ?¨ D° °? a? ·é
1,±¨ ìü
±? íó Dxx ì? )(
0
d ￡? ′ú íê )( xf < )(
0
xf ￡? ?à ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ˉ? D° ￡μ
±? íó Dxx ì? )(
0
d ￡? ′ú íê )( xf > )(
0
xf ￡? ?à ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ê? D°,
±? íó Dyxyx ì? ),(),(
00
d ￡? ′ú íê ),( yxf < ),(
00
yxf ￡? ?à ′? ?é
),( yxfz = ?ó °ú
),(
00
yx ?? ?¨ ˉ? D° ￡μ
±? íó Dyxyx ì? ),(),(
00
d ￡? ′ú íê ),( yxf > ),(
00
yxf ￡? ?à ′? ?é
),( yxfz = ?ó °ú
),(
00
yx ?? ?¨ ê? D° ￡μ
2.必要条件
一阶导数等于零或一阶导数不存在的点是可能的极值点；
两个一阶偏导数同时为零 （ 称为函数的驻点 ） 或一阶偏导数不
存在的点是可能的极值点 。
3 ￡? ?? ?D ?? ?ê
?? ?ê 1 ￡′ ?ó °ú
0
x ìμ ·? °? ?é °? íó ?ú μ? ìμ ·? °? ?é -μ ˉY ?ó ￡? ±? áì 3é
°ú
0
x ?a ￡? ìμ ·? °? ?é a? ′? ?￡ ?á ?| ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ D° ?￡ ?T
3è 3é °ú
0
x ?a ìμ ·? °? ?é í? ?é a? 2′ ￡? ?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ˉ?
D° ￡μ ?T 3è 3é °ú
0
x ?a ìμ ·? °? ?é í? 2′ a? ?é ￡? ?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ??
?¨ ê? D° ?￡
?? ?ê 2 ￡′ ?ó °ú
0
x ìμ ·? °? ?é °? íó ?ú áì ±ê ·? °? ?é -μ °? íó ?ú ￡? ?á ?|
′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ D° ?￡ ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é ê? íó ?ú ￡? ??
′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ˉ? D° ￡μ ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é ˉ? íó ?ú ￡?
?? ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x ?? ?¨ ê? D° ?￡
( ?T 3è ?ó °ú
0
x ±ê ·? °? ?é °? íó ?ú ￡? ?á ?| ′? ?é )( xfy = ?ó °ú
0
x 1? ??
?? ?¨ D° ￡? ì- 1? ?? -μ ?? ?¨ D° ￡? êˉ ?í ?e ?D ?? )
±ê ?§ ′? ?é ?? ?¨ D° °? ?? ?D ?? ?ê ￡′
0),(,0),(
0000
== yxfyxf
yx
áì ?ˉ
xx
f ),(
00
yx =A ￡?
xy
f ),(
00
yx =B ￡?
yy
f ),(
00
yx =C ￡? ?? íê ￡′
￡¨ 1 ￡| °a
2
BAc - >0 ?a ￡? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),(
00
yx ?? ?¨ D° ?￡ áì
°a A <0 ?a ?? ?¨ ˉ? D° ￡? °a A >0 ?a ?? ?¨ ê? D° ￡μ
￡¨ 2 ￡| °a 2BAc - <0 ?a ￡? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( 00 yx -μ ?? ?¨ D° ?￡
￡¨ 3 ￡| °a 2BAc - =0 ?a￡ ? ′? ?é ),( yxfz = ?ó °ú ),( 00 yx 1? ?? ?? ?¨ D° ￡?
ì- 1? ?? -μ ?? ?¨ D° ￡? êˉ ?í ?e ?D ??
oé 1 ￡? ?ê ±¨′ ? ?é ￡¨ 1 ￡|
22
43 yxz += ￡¨ 2 ￡|
22
yxz +-= ′? ￡¨ 3 ￡|
xyz = ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ?á ?? ?? ?¨ D° ￡1
·ù ￡′ ￡¨ 1 ￡| 0)0,0( =
x
f ￡? 0)0,0( =
y
f ￡? A =6 ￡? C =8 ￡? B =0 ￡?
2
BAc - >0
áì A >0 ￡? f(0,0 )=0 è§ ?¨ ê? D° ￡μ
￡¨ 2 ￡| ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ ìμ ·?à ¨ °? ?é -μ ˉY ?ó ￡? -μ ?? í? ?? ?D ??
?ê ?ê ±¨ ?￡ ?? ?° ?é ￡? f(0,0 )=0 è§ ?à ˉ? D° ￡μ
￡¨ 3 ￡| 0)0,0( =
x
f ￡? 0)0,0( =
y
f ￡? A =0 ￡? C =0 ￡? B =1 ￡?
2
BAc - <0 ￡?
′? ?é xyz = ?ó °ú ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ˉ￥ -μ ?? ?¨ D° ?￡
oé 2 ￡? á? ′? ?é )4)(6(),(
22
yyxxyxf --= °? ?¨ D°
·ù ￡′ )4)(26(),(
2
yyxyxf
x
--= ￡? )24)(6(),(
2
yxxyxf
y
--=
?à 0),( =yxf
x
￡? °? x =3,y =0,y =4 ; 0),( =yxf
y
,°? y =2,x =0,x =6, ì?
ˉ? ￡? 1? ?? °? ?¨ D° °ú è§
￡¨ 3 ￡? 2 ￡| ￡? ￡¨ 0 ￡? 0 ￡| ￡? ￡¨ 0 ￡? 4 ￡| ￡? ￡¨ 6 ￡? 0 ￡| ￡? ￡¨ 6 ￡? 4 ￡| í? o- ?à °? ?· ?¨
1? ì? ?ê ±¨ f(3,2 )= 3 6 è§ ?¨ ˉ? D° ￡? à? í- 2e °ú ±? -μ ?á ?¨ D° °ú ?￡
下面讨论如何求多元函数的最大值
和最小值？
±ê ￡? ?T ′è á? ±ê ?§ ′? ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡1
?ˉ ′? ?é ),( yxfz = ?ó íê ·T a? á? í? D ?é ?? ê? ￡? ?á ?| ′? ?é ?ó D ?é a?
±¨ ?? °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° 1? ?? ?ó D °? ?ó -1 ì-
1? ?? ?ó D °? a? ·T ?é ?￡ ì? ˉ? ￡? á? ′? ?é ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° °? ìμ ?ú ?·
?¨ ?á ?? ?? íê 1? ?? °? ?¨ D° °ú ￡¨ ?ó o¨ ?¤ °ú ′? ìμ ·? °? ?é -μ ˉY ?ó °? °ú ￡?
?ù ê| °ú a? ±¨ ?ó D ?ó ￡| ?é °? ′? ?é D° í? a? ·T ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D°
·? ê a? ·é ￡? à? Dê ?à ˉ? ?? ?? ?á ?à ˉ? D° ￡? ?à ê? ?? ?? ?á ?à ê? D° ?￡ D?
íó 1? ?? °? ?¨ D° °ú ?á ?? ?Y °? ?á ?¨ D° °ú ?? è× 3? ·? ì§ ￡? a? ·é á? -μ a?
?ê ±¨ ?￡
á? a? ·T ?é °? ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ￡? íê ?a μ3 ?á ?￥ 2ˉ ?í °? ￡? ?ó ?° ??
è? ?ù Dê ￡? ?T 3è 2? ?? è? ?ù °? ê? D? ￡? ?? ?? á? ?ê ±¨ ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D°
ìμ ±¨ ?ó D ?ó ?? °? ￡? ±? ′? ?é ?ó D ?ó íD Dμ íê ìμ 2? 1? ?? °? ?¨ D° °ú ￡?
?á ?| 1? ì? 1é ±¨ 2? °ú °? ′? ?é D° ?? ?á ′? ?é ?ó D ?é °? ?à ˉ? D° ￡¨ ?à ê?
D° ￡| ?￡
oé 3 ￡? ?? ?§ ì§ í? ?ò ?ü ?? ?? ìμ 2? ?ü μé è§ 2 °? íê 2á ?¤ ?· ?ü ?? é? ￡? è?
°a ?¤ ￡? 1í ￡? 2? 2e ?? ?? ?? °? ?? ˉT ?a ￡? -? ?? ?3 í? ?é ?à ?? ￡1
·ù ￡′ ?ˉ ?? é? °? ?¤ ￡? 1í ￡? 2? ?D aa è§ x,y,z,??
xy
z
2
= ￡? ?? é? ?? í? -?
?é °? ?Y μé è§ A= 2 x y +2 x z +2 y z
=2 (x y + )
22
xy
+,?à 0
2
2,0
2
2
22
=-==-=
y
xA
x
yA
yx
￡? ·ù D? °?
x = y =z =
3
2,í? ?ù ìù 1? D§ ?à ˉ? D° ′? ?à ê? D° ìμ ±¨ ?ó ±¨ ìü í? ?ó ?? °?
áì Dμ íê è¨ ìμ ?¤ °ú ?￡ ì? ˉ? ￡? °a x =y =z =
3
2 ?a ?? é? ?? í? -? ?é °? ?Y μé
?à ?? ?￡ í? ˉ? 1? ?è ￡? ?ó ?ü μé ìμ ±¨ °? ?¤ ?· ?ü Dê ì? ?￠ ?· ?ü °? aí ?Y μé
?à ê? ?￡
?? ?ê ?¨ D° è? ?ù °? ìμ ?ú êa ?? ?T é? ￡′
′? ?é ),( yxfz = ￡¨ 1 ￡| ?ó ?? ?ê 0),( =yxf ￡¨ 2 ￡| é? á? ?¨ D° ?￡
éD ?ó ?D ?? ?é ?? è? ?ù ?ó °ú ),( 00 yx ?? ?¨ D° °? a? ì§ ?? ?ê ￡′
三, 条件极值 拉格朗日乘数法
?T 3è ?ˉ ￡¨ 2 ￡| °? é? ?· ˉY ?ó ￡? ?? í? ￡¨ 2 ￡| 1? ??± ¨ )( xy y= ￡? ˉò ?? ￡¨ 1 ￡|
°? )](,[ xxfz y= ￡? ì? ˉ? ￡?
dx
dy
ff
dx
dz
yx
+= ￡? í? ìê ′? ?é á? °? ￡?
μ3 1? °? °·
y
x
dx
dy
f
f
-= ?￡ ?T 3è ′? ?é ￡¨ 1 ￡| ?ó °ú ),(
00
yx ?ò ?ú ?? ?ê ￡¨ 2 ￡|
°? á? ?? é? ?? ?¨ D° ￡?
?á ?ˉ ￡? 0),(
00
=yxf ￡¨ 3 ￡| ￡?
),(
),(
00
00
0
yx
yx
dx
dy
y
x
xx
f
f
-=
=
￡¨ 4 ￡|
áì
yx
fyxf,0),(
00
= ),(
00
yx 0= ￡?
ˉí ±? ￡? +=
=
),(
00
0
yxf
dx
dz
x
xx
y
f ),(
00
yx
0
xx
dx
dy
=
0= ￡¨ 5 ￡|
ˉí ±? ￡? +=
=
),(
00
0
yxf
dx
dz
x
xx
y
f ),(
00
yx
0
xx
dx
dy
=
0= ￡¨ 5 ￡|
·¨ ￡¨ 4 ￡| ˉò ?? ￡¨ 5 ￡| °? ),(
00
yxf
x
-
y
f ),(
00
yx
),(
),(
00
00
yx
yx
y
x
f
f
0= ￡?
?ˉ
),(
),(
00
00
yx
yxf
y
y
f
- = l ￡? ?? íê
),(
00
yxf
x
+ l 0),(
00
=yx
x
f ￡¨ 6 ￡|
y
f ),(
00
yx + l
y
f ),(
00
yx 0= ￡¨ 7 ￡|
?ò ?í ?é ?a íê °? 0),(
00
=yxf ￡¨ 3 ￡| ?ó ?á 3 ?? ?? á? ?? ?ê ?¨ D° °?
a? ì§ ?? ?ê ?￡
è§ aú íó ?á ì? ￡? èì ?á é? ?ˉ ?ù ìù ?ò ?ˉ ìμ 2? 2¨ Dò ′? ?é
F ( x,y,l ) = f ( x,y ) + l ),( yxf
±? 2¨ Dò ′? ?é F (x,y,l )= f(x,y )+ l ),( yxf,?D aa ±? x,y ￡? l á? ਠ°? ?é
°?
l
FFF
yx
,,￡? -￠ ?à à? è§ ?ú ￡? ?ù ??
í? ?· ?? ?°
0),(
0),(),(
0),(),(
=
=+
=+
yx
yxyxf
yxyxf
yy
xx
f
lf
lf
·ù ?? °? °ú ),(
00
yx ?? ?ê ?¨ D° 1? ?? °? ?¨ D° °ú ?￡
这种求解条件极值的可能极值点的方法 （ 必要条件 ） 叫做拉格
朗日乘数法 。 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个, 约束
条件多于一个的情况 。
oé 3 í? ?? ?ê ?¨ D° á? ·ù ￡′ ?ˉ ?? é? °? ?¤ ￡? 1í ￡? 2? ?D aa è§ x,y,z ￡?
-￠ ?ˉ F (x,y,l )= 2 (x y +x z +y z )+ l (x y z - 2 ),?? íê
022
022
022
=++=
=++=
=++=
xyyxF
xzzxF
yzzyF
z
y
x
l
l
l
·ù D? °? x =y =z =
3
2
02 =-= x y zF
l
例 4,求内接于半径为 R的球且有最大体积的长方体 。
·ù ￡′ ?ˉ ( x,y,z ) è§ á? ?Y ?é ìμ °ú ￡?
),,,( lzyxF = x y z + l ( 2222 Rzyx -++ )
oé 5 ￡? ?? èá ?Y 22 yxz += aμ à· ?Y 1=++ zyx ·? ?? ìμ ?D ?- ￡? á?
?a °ú °· ?ù ?D ?- °? ?à ?¤ í? ?à ±? ?- o? ?￡ ·ù ￡′ ?ˉ (x,y,z ) è§ ?D ?- ?é ìμ °ú ￡?
),,,,(
21
llzyxF =
)1()()( 2
22
1
222
-+++--+++ zyxyxzzyx ll
P, 8 6 °ó 16 ?ù
)1
543
(),,,,(,1221 -+++== zyxzzyxFzd lll + )1( 222 -+ yxl
第 7章 习题课
本章的重点是第二至六节。
要掌握的内容包括,
1。多元函数极限和连续的定义
2。多元函数偏导数的定义及计算
3。多元函数可微的定义及全微分和全增量的计算
4。多元函数在某点极限存在，连续，可微，偏导数存在，偏
导数连续等概念的区别和联系
5。多元复合函数的求导，隐函数的求导
6。求过曲线上已知点的切线方程和法平面方程，求
过曲面上已知点的切平面方程和法线方程
7。方向导数的定义和计算，梯度的定义和计算。梯
度方向是方向导数最大的方向，也是函数等高线的法
线方向
8。多元函数无条件极值的必要条件和充分条件，条
件极值的必要条件
9。多元函数无条件极值和条件极值的计算，简单应
用题的最大值和最小值的计算（条件极值中设置辅助
函数的技巧 )
设 z=xy+xF(u),而 u=,F(u)为可导函数,
证明,x +y =z+xy x
y
x
z
?
?
y
z
?
?
证,
xyz
uxFxyuFyxyuFy
uxFxy
y
z
y
x
z
x
uFx
x
uFxx
y
z
uF
x
y
uFy
x
y
uFxuFy
x
z
+=
+=￠++￠-
+=
?
?
+
?
?
?
￠+=￠+=
?
?
￠-+=
-￠++=
?
?
)(2)()(
)(
)(
1
)(
)()(
))(()(
2
设 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z,证明
1=??+?? yzxz
解法 1,
1
3)32cos(6
2)32cos(4
1)32cos(2
32)32sin(2),,(
=
+
-=
?
?
+
?
?
+-+-=
--+=
--+=
+---+=
z
yx
z
y
x
F
FF
y
z
x
z
zyxF
zyxF
zyxF
zyxzyxzyxF
解法 2,
1,032,031
3
232
1)32cos(2:)2(
1
3
2
3
1
,1)32cos(2:)1(
0)32](1)32cos(2[
0)31](1)32cos(2[
=
?
?
+
?
?
=
?
?
-=
?
?
-?
?=-+?
=-+
=+=
?
?
+
?
?
?
?-+
=
?
?
---+
=
?
?
---+
y
z
x
z
y
z
x
z
Kzyx
zyx
y
z
x
z
zyx
y
z
zyx
x
z
zyx
p
p
