第六节
空间曲线及其方程
本节必须掌握哪些内容？
一。空间曲线方程的两种表示形式,
一般方程和参数方程
二。已知空间曲线，如何求该曲线在坐
标面上的投影曲线？
三。已知立体 或曲面,如何求它们在坐标
面上的投影？
四。简单的立体或曲面的作图
一。空间曲线方程的两种形式,
一般方程,
??
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF 理解成两曲面的交线。
参数方程,
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tz
ty
tx
?
?
?
消去空间曲线参数方程中的参数 t，可将参数方程化为一般
方程；
在空间曲线一般方程中引入参数 t，可将一般方程化为参
数方程，因引入的参数可以不同,一般方程对应的参数方
程不是唯一的。
曲面方程也可以写成参数方程,
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
比较空间曲线的参数方程和曲面的参数方程,
空间曲线的参数方程中只有一个参数；
曲面的参数方程中包含两个参数。
例,将曲线
?
?
?
?
???
xy
zyx 9222
的一般方程化为参数方程。
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
tz
ty
tx
?
?
?
空间曲线的参数方程
0),,( ?? zyxF
?
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
可以看出,
例 1 方程组 表示怎样的曲线？ ??
?
???
??
6332
122
zyx
yx
解 122 ?? yx 表示圆柱面,
6332 ??? zyx 表示平面,
?
?
?
???
??
6332
122
zyx
yx
交线为椭圆,
例 2 方程组 表示怎样的曲线？ ?
?
?
?
?
???
???
4
)
2
(
2
22
222
a
y
a
x
yxaz
解 222 yxaz ???
上半球面,
4)2(
2
22 ayax ??? 圆柱面,
交线如图,
动点从 A点出
发，经过 t时间，运动到 M点
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面
222
ayx ?? 上以
角速度 ? 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z
轴的正方向上升 （其中 ?, v 都是常数），那么点
M 构成的图形叫做 螺旋线,试建立其参数方程．
A
?M
M?
M 在 xoy 面的投影 )0,,( yxM ?
tax ?c os?
tay ?s i n?
vtz ?t?
螺旋线的参数方程
取时间 t为参数,解
x y
z
o
螺旋线的参数方程还可以写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
s i n
c o s
),( ??? vbt ??
旋转一圈上升的高度 ?? bh 2 称为螺距
消去参数 可得 螺旋线的一般方程,
?
?
?
?
?
?
??
a
y
bz
ayx
a r c s in
222
?
二。空间曲线在坐标面上的投影
设有空间曲线 C,
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
以 C为准线，母线平行于 z轴的柱面被称为 C关于 XOY坐标面
的投影柱面；
投影柱面与 XOY面的交线称为 C在 XOY面上的投影。
（ 1）
在（ 1）中消去 z，得母线平行于 z轴的柱面
)2(,0),( ?yxH
注意到如果 x,y,z满足（ 1）必有 x,y满足（ 2），因
此 C必定在（ 2）上。
?
?
?
?
?
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF )2(,0),( ?yxH（ 1）
?
?
?
?
?
0
0),(
z
yxH 是包含 C在 XOY面上的投影曲线。
C,
类似地：可定义 包含 C在其他坐标面上的投影曲线
??
?
?
?
0
0),(
x
zyR
??
?
?
?
0
0),(
y
zxT
面上的 投影曲线,yoz 面上的 投影曲线,xoz
那就是说（ 2）是包含空间曲线 C关于 XOY的投影柱
面的一个柱面，从而曲线
如图,投影曲线的研究过程,
空间曲线 投影曲线 投影柱面
例 5 求抛物面 xzy ?? 22 与平面 02 ??? zyx
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程,
截线方程为
?
?
?
???
??
02
22
zyx
xzy
解 如图,
（ 2 ）消去 y 得投影,0
0425 22
?
?
?
?
????
y
xxzzx
（ 3 ）消去 x 得投影,0
0222
?
?
?
?
????
x
zyzy
（ 1 ）消去 z 得投影
,
0
045 22
?
?
?
?
????
z
xxyyx
P。 416 6。 求螺旋线
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
bz
ay
ax
s in
c o s
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
解,
消去 ?
在 XOY面上的投影曲线方程为,
?
?
?
?
??
0
222
z
ayx
因此，在 XOZ面上的投影曲线方程为,
在 YOZ面上的投影曲线方程为,
a
y
a
x
b
z a r c s ina r c c o s ??得,
??
?
?
?
?
?
0
c o s
y
b
z
ax
??
?
?
?
?
?
0
s in
x
b
z
ay
三。空间立体 或曲面 在坐标面上的投影
空
间
立
体
曲
面
例 6
.
,)(3
4,
22
22
面上的投影
求它在锥面所围成和
由上半球面设一个立体
x o yyxz
yxz
??
???
解 半球面和锥面的交线为
??
?
?
?
??
???
,)(3
,4
:
22
22
yxz
yxz
C
,122 ?? yxz 得投影柱面消去
面上的投影为在则交线 xoyC
?
?
?
?
??
.0
,122
z
yx 一个圆,
面上的投影为所求立体在 xoy?
.122 ?? yx
P.417 7,求上半球 2220 yxaz ???? 与园柱体
)0(22 ??? aaxyx 的公共部分在 XOY面和 XOZ面上的投影。
解,曲面
axyxyxaz ????? 22222,
的交线在 XOY面上的投影为
?
?
?
?
??
0
22
z
axyx
所围立体在 XOY面上的投影为 axyx ?? 22
由
??
?
?
?
??
???
22
2222
xaxy
zxay
消去 y,可得 交线在 XOZ面上的投影为,
?
?
?
?
??
0
22
y
axaz
因此，所围立体在 XOZ面上的投影为,
0,0 2 ???? xaxaz
P。 417 8。 求旋转抛物面 )40(22 ???? zyxz
在三个坐标面上的投影。
解,
旋转抛物面在 XOY面上的投影为,
422 ?? yx
旋转抛物面在 XOZ面上的投影为,4
2 ?? zx
由旋转抛物面的空间图形可知,
旋转抛物面在 YOZ面上的投影为,42 ?? zy
四。简单的立体或曲面的作图
1。画出两园柱面 和
222 ayx ?? 222 azx ??
所围立体的图形。
2。画出园锥面 及旋转抛物面 22 yxz ??
222 yxz ???
所围立体的图形。