上页 下页 返回
第 1 页
第七节 定积分在物理中的应用
I.变力沿直线所作的功
II.液体的静压力
III.平均值和均方根
第五章 定积分
目录 后退
主
页
退
出
本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
上页 下页 返回
第 2 页
I,变力沿直线所作的功
1,由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
体位移为 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, )( xFF ?
一、预备知识
2,微元法
二、变力沿直线所作的功 如果物体在运动的过程中所受的力
)( xFF ?
是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
“微元法, 思想,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 3 页
如图：以
o
x dxx?
a b
)(xF
x
x 为积分变量，积分区间为 ].,[ ba
],[ ba ],,[ dxxx ?在区间 内任取一小区间
功的微元数
dxxFdW )(?
所以
? ??? ba ba dxxFdWW )(
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 4 页
例 1 设弹簧在 1N力的作用下伸长 0.01米，要
使弹簧伸长 0.1米，需作多少功？
解
x
o
xEF ?
x
如图：建立直角坐标系。
因为弹力的大小与弹簧的
伸长（或压缩）成正比，
即 ExF ?
比例系数
已知 01.0,1 ?? xNF
代入上式得 1 0 0?E
从而变力为 xF 100?
所求的功
?? 1.00 1 0 0 x d xW J5.0?
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 5 页
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 一圆柱形蓄水池
高为 5 米，底半径为
3 米，池内盛满了水,
问要把池内的水全部
吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 6 页
x
ox
dxx?
5
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 ),
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 7 页
由物理学知道，距液体表面深度为 h 处的
液体压强为 ghp ??,这里 ? 是液体密度,g 是
重力加速度。如果有一面积为 A 的平板水平地
放置在液体深为 h 处，那么，平板一侧所受的
液体压力为 ApP ??,
II,液体的静压力
一、预备知识
二、液体的静压力
如果平板垂直放置在液体中，由于液体
在不同的深度压强 p 不同，平板一侧所受的
液体的压力就不能直接使用此公式，可采用
,微元法,来计算,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 8 页
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算桶的一端面
上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,gxp ??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 9 页
小矩形片的压力元素为 dxxRgxdP 222 ???
端面上所受的压力
dxxRgxP R 220 2 ??? ?
)( 220 22 xRdxRg R ????? ?
? ? RxRg
0
322
3
2
??
?
??
? ????,
3
2 3Rg??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 10 页
III,平均值和均方差
实例,用某班所有学生的考试成绩的算术平均
值来描述这个班的成绩的概况。
n
yyyy n???? 21 算术平均值公式
只适用于有限个数值
一、预备知识
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 11 页
问题,求气温在一昼夜间的平均温度,
入手点,连续函数 在区间 上的平均值, )(xf ],[ ba
讨论思想,分割、求和、取极限,
二、平均值和均方差
1.平均值
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 12 页
（ 1）分割,把区间 ],[ ba 分成 n 等分
,1210 bxxxxxa nn ??????? ??
每个小区间的长度 ;n abx ???
（ 2）求和,设各分点处的函数值为 nyyyy,,,,210 ?
函数 在区间 上的平均值近似为 )(xf ],[ ba;1210 n yyyy n ???? ?
（ 3）取极限,每个小区间的长度趋于零,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 13 页
函数 在区间 上的 平均值 为 )(xf ],[ ba
,li m 1210 n yyyyy n
n
?
??
???? ?
n
ab
ab
yyyyy n
n
??
?
???? ?
??
1210l i m ?? x??
?
?
??? ???
n
i
ix xyab
1
10l i m
1,)(l i m1
1
10 ?
?
??? ???
n
i
ix xxfab
几何平均值公式
yab )( ?? )()( ?fab ??区间长度
??? ba dxxfaby )(1
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 14 页
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电 tIi m ?s i n? 在
一个周期上的功率的平均值（简称 平均功率 ）,
解 设电阻为, R 则电路中的电压为
,s in tRI m ??iRu ?
,s i n 22 tRI m ??uip ?功率
],2,0[ ??一个周期区间
平均功率 td tRIp m ??
?
?
?
2
2
02
s in1
2
??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 15 页
t d tRIp m ??
?
?
?
2
2
02 s i n
1 2?? )(s i n
2
2
0
2
2
ttdRI m ??? ?
?
??
)()2c o s1(4
2
0
2
tdtRI m ??? ?
?
? ??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttRI m
2
2 RI
m? ?
? 24
2
?? RI m
)( RIU mm ?.2 mmUI?
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 16 页
通常交流电器上标明的功率就是平均
功率．交流电器上标明的电流值都是一种
特定的平均值，习惯上称为有效值,
周期性非恒定电流 i （如正弦交流电）
的有效值规定如下：当 )( ti 在它的一个周
期 T 内在负载电阻 R 上消耗的平均功率，
等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功
率时，称这个值 I 为 )( ti 的有效值,
二、均方根
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 17 页
有效值计算公式的推导
固定值为 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率为 RI 2,
电流 )( ti 在 R 上消耗的功率为 Rti )(2,
它在 ],0[ T 上的平均功率为,)(
1
0
2?T Rd tti
T
,)(1 0 22 ?? T Rd ttiTRI按定义有
??? T dttiTI 0 22 )(1,)(
1
0
2?? T dtti
TI即
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 18 页
正弦交流电 tIti m ?s i n)( ? 的有效值
td tII m ??
?
?
?
2
0
2
2 s i n
1 2??
)(2 20
2 2
ttdinsI m ??? ?
?
??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttI m,
2
mI?
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2
1
.)(1 2?? ba dxxfab
在实际问题中，我们通常称另一种平均值为
函数的均方根，即
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 19 页
2,利用,微元法,思想求平均值、
均方差,
（注意熟悉相关的物理知识）
小结
1,利用,微元法,思想求变力作
功、水压力等物理问题,
函数的平均值 ;)(1 ???
b
a dxxfaby
函数的均方根（有效值）,)(1 2?? ba dxxfab
（理解平均功率、电流的有效值等概念）
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 20 页
1, 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上
坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围
的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位
正电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，
那么电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作的功,
练习题
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 21 页
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r
],,[ bar ?
? drr?
取任一小区间 ],[ drrr ?,功元素,2 drrkqdw ?
所求功为 drrkqw ba?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkqw a? ??? 2
??
??
?
??
???
ar
kq 1.
a
kq?
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 22 页
2, 将直角边各为 a 及 a2 的直角三角形薄板垂直
地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面
平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边
长，求薄板所受的侧压力,
解 建立坐标系如图
x
oa2 a2a
面积微元,)(2 dxxa ?
gdxxaaxdP ??????? 1)(2)2(
gdxxaaxP a ???? ? ))(2(20,37 3ag??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 23 页
习题 5-6
1.弹簧原长 0.30厘米，每压缩 0.01m需力 2N,
求把弹簧从 0.25m压缩到 0.20m所作的功。
2.一个质点按规律 x=t3作直线运动，介质的
阻力与速度成正比，求质点从 x=0移到 x=1时克服
介质阻力所作的功。
3.有一圆柱形贮水桶，高 2m，底圆半径 0.8m
桶内装 1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多
少功？
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 24 页
4.有一上口直径 20m，深为 15m的圆锥形水池,
其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？
5.有一闸门，它的形状
和尺寸如图所示。水面
门顶 1m，求闸门上所受
的水的压力。
6.一个横放着的半径为 R的圆形由桶，桶内盛有
半桶油，设油的密度为 ρ,计算桶的一个端面上所
受的压力。
3m
1m
2m
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 25 页
7.一块高为 a，底为 b的等腰三角形薄板，垂
直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计
算薄板每面所受的压力。如果把它倒放，使它的
顶与水面平行，压力又如何？
8.一物体以速度 v=3t2+2t(m/s)作直线运动，
计算它在 t=0到 t=3s这段时间内的平均速度。
9.计算函数 y=x/(1+x2)在区间 [0,1]的平均
值。
10.计算函数 y=sinx在区间 [0,π ]的平均值
和均方根。
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 26 页
习题 5-6解答
1,0.75J; 2,9k/5,k为阻力系数 ; 3,2.9956× 104J;
4,5.773× 107J; 5,1.47 × 105J; 6,2ρgR3/3;
7,ρga2b/6,ρga2b/3; 8,12m/s; 9,(ln2)/2;
10,2/π,.2/2
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 27 页
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节的学习目的与要求
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,了解利用定积分求变力所作的功
2,了解利用定积分求液体的静压力
3,掌握利用定积分求函数在某区间上的
平均值 。
上页 下页 返回
第 28 页
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节的重点与难点
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
? 重点
1,求变力作功的公式 ;
2,求液体静压力的公式 ;
3,平均值公式。
? 难点
? 正确应用微元法 。
第 1 页
第七节 定积分在物理中的应用
I.变力沿直线所作的功
II.液体的静压力
III.平均值和均方根
第五章 定积分
目录 后退
主
页
退
出
本节知识
引入
本节目的
与要求
本节重点
与难点
本节复习
指导
上页 下页 返回
第 2 页
I,变力沿直线所作的功
1,由物理学知道，如果物体在作直线运动的
过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
体位移为 s 时，力 F 对物体所作的功为
sFW ??, )( xFF ?
一、预备知识
2,微元法
二、变力沿直线所作的功 如果物体在运动的过程中所受的力
)( xFF ?
是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
“微元法, 思想,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 3 页
如图：以
o
x dxx?
a b
)(xF
x
x 为积分变量，积分区间为 ].,[ ba
],[ ba ],,[ dxxx ?在区间 内任取一小区间
功的微元数
dxxFdW )(?
所以
? ??? ba ba dxxFdWW )(
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 4 页
例 1 设弹簧在 1N力的作用下伸长 0.01米，要
使弹簧伸长 0.1米，需作多少功？
解
x
o
xEF ?
x
如图：建立直角坐标系。
因为弹力的大小与弹簧的
伸长（或压缩）成正比，
即 ExF ?
比例系数
已知 01.0,1 ?? xNF
代入上式得 1 0 0?E
从而变力为 xF 100?
所求的功
?? 1.00 1 0 0 x d xW J5.0?
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 5 页
点击图片任意处播放 \暂停
例 2 一圆柱形蓄水池
高为 5 米，底半径为
3 米，池内盛满了水,
问要把池内的水全部
吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?取 x 为积分变量,]5,0[?x
5取任一小区间 ],[ dxxx ?,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 6 页
x
ox
dxx?
5
这一薄层水的重力为
dx238.9 ??
功元素为,2.88 dxxdw ????
dxxw ???? ? 2.8850
5
0
2
2
2.88 ?
?
?
??
??? x
3462? (千焦 ),
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 7 页
由物理学知道，距液体表面深度为 h 处的
液体压强为 ghp ??,这里 ? 是液体密度,g 是
重力加速度。如果有一面积为 A 的平板水平地
放置在液体深为 h 处，那么，平板一侧所受的
液体压力为 ApP ??,
II,液体的静压力
一、预备知识
二、液体的静压力
如果平板垂直放置在液体中，由于液体
在不同的深度压强 p 不同，平板一侧所受的
液体的压力就不能直接使用此公式，可采用
,微元法,来计算,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 8 页
例 3 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R,水的比重为 ?,计算桶的一端面
上所受的压力,
解 在端面建立坐标系如图
x
o
取 x 为积分变量,],0[ Rx ?
取任一小区间 ],[ dxxx ?
x dxx?小矩形片上各处的压强近
似相等
小矩形片的面积为,2 22 dxxR ?
,gxp ??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 9 页
小矩形片的压力元素为 dxxRgxdP 222 ???
端面上所受的压力
dxxRgxP R 220 2 ??? ?
)( 220 22 xRdxRg R ????? ?
? ? RxRg
0
322
3
2
??
?
??
? ????,
3
2 3Rg??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 10 页
III,平均值和均方差
实例,用某班所有学生的考试成绩的算术平均
值来描述这个班的成绩的概况。
n
yyyy n???? 21 算术平均值公式
只适用于有限个数值
一、预备知识
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 11 页
问题,求气温在一昼夜间的平均温度,
入手点,连续函数 在区间 上的平均值, )(xf ],[ ba
讨论思想,分割、求和、取极限,
二、平均值和均方差
1.平均值
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 12 页
（ 1）分割,把区间 ],[ ba 分成 n 等分
,1210 bxxxxxa nn ??????? ??
每个小区间的长度 ;n abx ???
（ 2）求和,设各分点处的函数值为 nyyyy,,,,210 ?
函数 在区间 上的平均值近似为 )(xf ],[ ba;1210 n yyyy n ???? ?
（ 3）取极限,每个小区间的长度趋于零,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 13 页
函数 在区间 上的 平均值 为 )(xf ],[ ba
,li m 1210 n yyyyy n
n
?
??
???? ?
n
ab
ab
yyyyy n
n
??
?
???? ?
??
1210l i m ?? x??
?
?
??? ???
n
i
ix xyab
1
10l i m
1,)(l i m1
1
10 ?
?
??? ???
n
i
ix xxfab
几何平均值公式
yab )( ?? )()( ?fab ??区间长度
??? ba dxxfaby )(1
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 14 页
例 4 计算纯电阻电路中正弦交流电 tIi m ?s i n? 在
一个周期上的功率的平均值（简称 平均功率 ）,
解 设电阻为, R 则电路中的电压为
,s in tRI m ??iRu ?
,s i n 22 tRI m ??uip ?功率
],2,0[ ??一个周期区间
平均功率 td tRIp m ??
?
?
?
2
2
02
s in1
2
??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 15 页
t d tRIp m ??
?
?
?
2
2
02 s i n
1 2?? )(s i n
2
2
0
2
2
ttdRI m ??? ?
?
??
)()2c o s1(4
2
0
2
tdtRI m ??? ?
?
? ??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttRI m
2
2 RI
m? ?
? 24
2
?? RI m
)( RIU mm ?.2 mmUI?
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一,
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 16 页
通常交流电器上标明的功率就是平均
功率．交流电器上标明的电流值都是一种
特定的平均值，习惯上称为有效值,
周期性非恒定电流 i （如正弦交流电）
的有效值规定如下：当 )( ti 在它的一个周
期 T 内在负载电阻 R 上消耗的平均功率，
等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功
率时，称这个值 I 为 )( ti 的有效值,
二、均方根
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 17 页
有效值计算公式的推导
固定值为 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率为 RI 2,
电流 )( ti 在 R 上消耗的功率为 Rti )(2,
它在 ],0[ T 上的平均功率为,)(
1
0
2?T Rd tti
T
,)(1 0 22 ?? T Rd ttiTRI按定义有
??? T dttiTI 0 22 )(1,)(
1
0
2?? T dtti
TI即
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 18 页
正弦交流电 tIti m ?s i n)( ? 的有效值
td tII m ??
?
?
?
2
0
2
2 s i n
1 2??
)(2 20
2 2
ttdinsI m ??? ?
?
??
?
?
??
?
2
0
2
2
2s i n
4 ??
?
??
? ?? ttI m,
2
mI?
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2
1
.)(1 2?? ba dxxfab
在实际问题中，我们通常称另一种平均值为
函数的均方根，即
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 19 页
2,利用,微元法,思想求平均值、
均方差,
（注意熟悉相关的物理知识）
小结
1,利用,微元法,思想求变力作
功、水压力等物理问题,
函数的平均值 ;)(1 ???
b
a dxxfaby
函数的均方根（有效值）,)(1 2?? ba dxxfab
（理解平均功率、电流的有效值等概念）
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 20 页
1, 把一个带 q? 电量的点电荷放在 r 轴上
坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围
的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位
正电荷放在这个电场中距离原点为
r
的地方，
那么电场对它的作用力的大小为
2
r
q
kF ? （k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
ar ?
处沿
r
轴移动到 br ? 处时，计算电场力
F
对它所作的功,
练习题
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 21 页
解 取 r 为积分变量,ro?q? ?a ?b? ? ? ? ???1?r
],,[ bar ?
? drr?
取任一小区间 ],[ drrr ?,功元素,2 drrkqdw ?
所求功为 drrkqw ba?? 2
b
ar
kq ?
?
?
??
??? 1
.11 ?????? ?? bakq
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
drrkqw a? ??? 2
??
??
?
??
???
ar
kq 1.
a
kq?
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 22 页
2, 将直角边各为 a 及 a2 的直角三角形薄板垂直
地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面
平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边
长，求薄板所受的侧压力,
解 建立坐标系如图
x
oa2 a2a
面积微元,)(2 dxxa ?
gdxxaaxdP ??????? 1)(2)2(
gdxxaaxP a ???? ? ))(2(20,37 3ag??
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 23 页
习题 5-6
1.弹簧原长 0.30厘米，每压缩 0.01m需力 2N,
求把弹簧从 0.25m压缩到 0.20m所作的功。
2.一个质点按规律 x=t3作直线运动，介质的
阻力与速度成正比，求质点从 x=0移到 x=1时克服
介质阻力所作的功。
3.有一圆柱形贮水桶，高 2m，底圆半径 0.8m
桶内装 1m深的水，问要将桶内水全部吸出要作多
少功？
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 24 页
4.有一上口直径 20m，深为 15m的圆锥形水池,
其中盛满了水，若将水全部抽尽，需作多少功？
5.有一闸门，它的形状
和尺寸如图所示。水面
门顶 1m，求闸门上所受
的水的压力。
6.一个横放着的半径为 R的圆形由桶，桶内盛有
半桶油，设油的密度为 ρ,计算桶的一个端面上所
受的压力。
3m
1m
2m
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 25 页
7.一块高为 a，底为 b的等腰三角形薄板，垂
直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计
算薄板每面所受的压力。如果把它倒放，使它的
顶与水面平行，压力又如何？
8.一物体以速度 v=3t2+2t(m/s)作直线运动，
计算它在 t=0到 t=3s这段时间内的平均速度。
9.计算函数 y=x/(1+x2)在区间 [0,1]的平均
值。
10.计算函数 y=sinx在区间 [0,π ]的平均值
和均方根。
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 26 页
习题 5-6解答
1,0.75J; 2,9k/5,k为阻力系数 ; 3,2.9956× 104J;
4,5.773× 107J; 5,1.47 × 105J; 6,2ρgR3/3;
7,ρga2b/6,ρga2b/3; 8,12m/s; 9,(ln2)/2;
10,2/π,.2/2
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
上页 下页 返回
第 27 页
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节的学习目的与要求
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
1,了解利用定积分求变力所作的功
2,了解利用定积分求液体的静压力
3,掌握利用定积分求函数在某区间上的
平均值 。
上页 下页 返回
第 28 页
第六节 定积分在物理中的应用
目录 后退
主
页
退
出
本节的重点与难点
本节
知识
引入
本节
目的
与要
求
本节
重点
与难
点
本节
复习
指导
? 重点
1,求变力作功的公式 ;
2,求液体静压力的公式 ;
3,平均值公式。
? 难点
? 正确应用微元法 。
