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第四节 曲线的凹凸与拐点
一,曲线的凹凸
二,曲线的拐点
第三章 导数的应用
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本节目的
与要求
本节重点
与难点
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一、曲线的凹凸
问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy ?
曲线弧位于任一点切
线的下方
x
y
o
)(xfy ?
1x 2x
曲线弧位于任一点的
切线上方
A
B C
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定义;,区间内是凹的那么此曲线弧叫做在该线的上方
弧位于其任一点切如果在某区间内的曲线
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指导 ;,区间内是凸的那么此曲线弧叫做在该线的下方
弧位于其任一点切如果在某区间内的曲线
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曲线凹凸的判定,
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
递增)( xf ? a b
B
A
0???y 递减)( xf ? 0???y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在二阶导数
内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
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例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy ?
解,3 2xy ???,6 xy ???
时，当 0?x,0???y
为凸的；在曲线 ]0,( ???
时，当 0?x,0???y 为凹的；在曲线 ),0[ ???
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
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二、曲线的拐点
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
1.定义
注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法
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指导 0)())(,
000 ??? xfxfx 为是曲线拐点的必要条件点（
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判定曲线的凹凸与拐点的一般方法为,
)(xfy?
(1)确定函数的定义域
(2)求其二阶导数；
(3)求出满足二阶导数为零的所有点；
(4) 以 （ 2） 中找出的点为界, 把函数的定义域分成
若干个部分区间, 然后考察二阶导数在各部分区
间的符号, 从而判定曲线的拐点 。
)(xf
0)( ??? xf
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例 2
.
143 34
凹、凸的区间
的拐点及求曲线 ??? xxy
解 ),(,????D?
,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy
,0???y令,32,0 21 ?? xx得
x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32
)(xf ??
)(xf
? ? ?0 0
凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 )1,0( )2711,32(
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).,32[],32,0[],0,( ????凹凸区间为
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方法 2,
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线
是曲那末而
且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 ??? xxy
解,s inc o s xxy ???,c o ss in xxy ?????
.s inc o s xxy ??????
,0???y令,47,43 21 ???? xx得
2)43( ?????f,0? 2)47( ??????f,0?
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内曲线有拐点为在 ]2,0[ ?? ).0,47(),0,43( ??
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在若
xfy
xfxxf
?
??注意,
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例 4,3 的拐点求曲线 xy ?
解,0时当 ?x,31 3
2?
?? xy,94 3
5?
???? xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx ????
,0,)0,( ????? y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在 ??
,0,),0( ????? y内在,),0[ 上是凸的曲线在 ??
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy ??
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小结,
曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2,
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第四节 曲线的凹凸与拐点
1,理解曲线凹凸性判定定理的结论
2,理解拐点的定义及判定方法
3,掌握利用定理正确求出简单的多项式
函数的凹凸区间和拐点。
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第四节 曲线的凹凸与拐点
? 重点
1,判定曲线在某区间上的凹凸性；
2,求曲线凹凸区间和拐点的方法和步
骤。
? 难点
1,正确理解曲线的凹凸性判定定理；
2．曲线凹凸区间和拐点的求解 。