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第二、三节 函数的单调性与极值、
最大值与最小值
一,函数单调性的判别法
二,函数的极值及其求法
三,函数的最大值和最小值
第三章 导数的应用
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与要求
本节重点
与难点
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一、函数单调性的判别法
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf 0)( ?? xf
定理 1
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导
内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
?
??
???
?
a b
B
A
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证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
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例 1
解
.1 的单调性讨论函数 ??? xey x
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用
导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一
点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,
).,(,????D?又
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单调区间求法,
问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调,
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调
的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点,
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
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例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??目录 后退
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例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,(,????D?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
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例 4
解,
注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,),( 上单调增加但在 ????
确定函数 193)( 23 ???? xxxxf 的单调区间
函数的定义域为（ -∞,＋ ∞ ）
)1)(3(3963)( 2' ?????? xxxxxf
令 0)(' ?xf 得,3,1 21 ??? xx
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列表讨论,
x （ -∞,-1） -1 （ -1,3） 3 （ 3,+∞）
f’（ x） + 0 - 0 +
f（ x）
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小结,
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的
重要应用,
定理中的闭区间换成开区间、半开区间或
无限区间，结论仍然成立,
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二、函数的极值及其求法
o x
y
a b
)(xfy ?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x目录 后退
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).(
)(;)(
)()(),()
(
,),(
,),()(
0
00
0
0
或极小值点的一个极大值点
称为函数点或极小值极大值
的一个是函数就称于
或都大附近的函数值都小于若点
内的一个点是
内有定义在区间设函数
xfx
xfxfxf
x
bax
baxfy ?
定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数
取得极值的点称为极值点,极值是一个局部
性的概念 。 目录 后退
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函数极值的求法,
设 )( xf 在点 0x 处可导,且在 0x
处取得极值,那末一定有 0)( 0' ?xf,
定理 2(必要条件 )
定义
.)(
0)(
的驻点做函数
的实根）叫使导数为零的（即方程
xf
xf ??
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定
点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,0 不是极值点但 ?x目录 后退
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(1) 如果 )(
' xf
由正变负，则 )( xf 在 0x 处取得极大值,
(2) 如果 )(
' xf
由负变正，则 )( xf 在 0x 处取得极小值,
(3) 如果 )(
' xf
不变号,则 )( xf 在 0x 处无极值,
定理 3(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
? ? ? ?
(是极值点情形 )
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x
y
o x
y
o0x 0x
?
?
?
?
求极值的步骤,
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf ?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
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例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
963)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,3,1 21 ??? xx得驻点 列表讨论
x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
? ? ?
?
0 0
? ?
极
大
值
极
小
值
)3(f极小值,22??)1( ?f极大值,10?
)3)(1(3 ??? xx
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593)( 23 ???? xxxxf
M
m
图形如下
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设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,且 0)(
0
'
?xf,
0)(
0
''
?xf,那末
(1) 当 0)(
0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)(
0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
定理 (第二充分条件 )
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例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
2463)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,2,4 21 ??? xx得驻点
)2)(4(3 ??? xx
,66)( ???? xxf?
???? )4(f?,018 ? )4( ?f故极大值,60?
??? )2(f,018 ? )2(f故极小值,48??
20243)( 23 ???? xxxxf 图形如下
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M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理
处不一定取极值在点时 xxfxf ???
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例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 ??? xxf
)2()2(32)( 3
1
????? ? xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx ??
时，当 2?x ;0)( ?? xf
时，当 2?x,0)( ?? xf
.)(1)2( 的极大值为 xff ??
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
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小结,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法
第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
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三、函数的最大值和最小值
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
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步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
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应用举例,
例 1
解 )1)(2(6)( ???? xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
计算 ?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ;142?)4(f
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，最大值 1 4 2)4( ?f比较得,7)1( ?f最小值
141232 23 ???? xxxy
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第 27 页
例 2 求函数 xxxf ln)( ?
在区间 [1,e]上的最大值和最小值
解,xxf ln1)(' ??
因为在（ 1,e）内 0)(' ?xf
所以函数 xxxf ln)( ? 在区间 [1,e]上单调增加
其最小值为 f（ 1） =0
最大值为 f（ e） =e 目录 后退 主页
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点击图片任意处播放 \暂停
例 3 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击,
速度为 2千米 /分钟,
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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第 29 页
解
公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts ????公里4B
?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss ?
?? )(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
???
?
,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B目录 后退
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实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
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例 4 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定
为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租
金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护
费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元,x
租出去的房子有 套,?????? ?? 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??
??
?
? ??
10
18050 x
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?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?
?
??
?
? ???
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?目录 后退 主页 退
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例 5
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
???
xy
xy
xyxy
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解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB ?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
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,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
解得 ).(16,316 00 舍去?? xx
8)316( ????s?,0?,2174096)316( 为极大值?? s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
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例 6：把一根半径为 R的圆木锯成矩形条木，问矩
形的长和宽多大时，条木的截面积最大？
x
2R
解,设矩形的长为 x
则矩形的宽为 224 xR ?
矩形的截面积为 224 xRxA ??
其中 （ 0＜ x＜ 2R）
现在求 x为何值时，函数 A在区间
（ 0,2R）内取得最大值。
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22
22'
4
24
xR
xxxRA
?
????
22
22
4
)2(2
xR
xR
?
??
令 0' ?A
得,RxRx 2,2 21 ??? （舍去）
由于函数 A在（ 0,2R）内只有一个驻点 Rx 2?
由实际情况知，函数 A的最大值一定存在，因此，当
Rx 2? 时，函数 A取得最大值 目录 后退 主页 退
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此时，矩形的宽为 RRR 2)2(4 22 ??
即：当矩形的长和宽都为 R2
条木的截面积最大。
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第二,三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
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小结,
注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
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第二,三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
1,理解函数单调性的判定定理；
2,理解函数极值的判定定理；
3,理解函数极值的概念；
4,正确区分函数的极值与最值；
5,利用定理正确求出较复杂函数的单调
区间和极值；
6,能够正确解决实际应用中的最值问题。
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第 41 页
本节的重点与难点
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第二,三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
? 重点
1．利用定理正确求出较复杂函数的单调
区间和极值
2．正确解决实际应用中的最值问题。
? 难点
1、正确理解函数极值的概念；
2、正确区分函数的极值与最值 。
第 1 页
第二、三节 函数的单调性与极值、
最大值与最小值
一,函数单调性的判别法
二,函数的极值及其求法
三,函数的最大值和最小值
第三章 导数的应用
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一、函数单调性的判别法
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
0)( ?? xf 0)( ?? xf
定理 1
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导
内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
?
??
???
?
a b
B
A
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证 ),,(,21 baxx ??,21 xx ?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf ?????? ??
,012 ?? xx?
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调增加在 baxfy ??
,0)(),( ?? xfba 内，若在,0)( ?? ?f则
).()( 12 xfxf ??,],[)( 上单调减少在 baxfy ??
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例 1
解
.1 的单调性讨论函数 ??? xey x
.1??? xey?
,)0,( 内在 ??,0??y
函数单调减少；?
,),0( 内在 ??,0??y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用
导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一
点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,
).,(,????D?又
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单调区间求法,
问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调,
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调
的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间
的分界点,
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号
然后判断区间内导的定义区间来划分函数
不存在的点的根及用方程
xf
xfxf ???
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例 2
解
.312
92)( 23
的单调区间
确定函数
??
??
x
xxxf
).,(,????D?
12186)( 2 ???? xxxf )2)(1(6 ?? xx
得，解方程 0)( ?? xf,2,1 21 ?? xx
时，当 1???? x,0)( ??f 上单调增加；在 ]1,( ???
时，当 21 ?? x,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 ???? x2,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),2[ ???
单调区间为,]1,(??,]2,1[ ).,2[ ??目录 后退
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例 3
解
.)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf ?
).,(,????D?
)0(,3 2)( 3 ??? xxxf
.,0 导数不存在时当 ?x
时，当 0???? x
,0)( ?? xf 上单调增加；在 ),0[ ??? 时，当 ???? x0
,0)( ?? xf 上单调减少；在 ]0,( ???
单调区间为,]0,(?? ).,0[ ??
3 2xy ?
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例 4
解,
注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,),( 上单调增加但在 ????
确定函数 193)( 23 ???? xxxxf 的单调区间
函数的定义域为（ -∞,＋ ∞ ）
)1)(3(3963)( 2' ?????? xxxxxf
令 0)(' ?xf 得,3,1 21 ??? xx
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列表讨论,
x （ -∞,-1） -1 （ -1,3） 3 （ 3,+∞）
f’（ x） + 0 - 0 +
f（ x）
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小结,
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的
重要应用,
定理中的闭区间换成开区间、半开区间或
无限区间，结论仍然成立,
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二、函数的极值及其求法
o x
y
a b
)(xfy ?
1x 2x 3x 4x 5x 6x
o x
y
o x
y
0x 0x目录 后退
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).(
)(;)(
)()(),()
(
,),(
,),()(
0
00
0
0
或极小值点的一个极大值点
称为函数点或极小值极大值
的一个是函数就称于
或都大附近的函数值都小于若点
内的一个点是
内有定义在区间设函数
xfx
xfxfxf
x
bax
baxfy ?
定义
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数
取得极值的点称为极值点,极值是一个局部
性的概念 。 目录 后退
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函数极值的求法,
设 )( xf 在点 0x 处可导,且在 0x
处取得极值,那末一定有 0)( 0' ?xf,
定理 2(必要条件 )
定义
.)(
0)(
的驻点做函数
的实根）叫使导数为零的（即方程
xf
xf ??
注意,
.
,)(
是极值点但函数的驻点却不一定
点的极值点必定是它的驻可导函数 xf
例如,,3xy ?,00 ?? ?xy,0 不是极值点但 ?x目录 后退
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(1) 如果 )(
' xf
由正变负，则 )( xf 在 0x 处取得极大值,
(2) 如果 )(
' xf
由负变正，则 )( xf 在 0x 处取得极小值,
(3) 如果 )(
' xf
不变号,则 )( xf 在 0x 处无极值,
定理 3(第一充分条件 )
x
y
o x
y
o0x 0x
? ? ? ?
(是极值点情形 )
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x
y
o x
y
o0x 0x
?
?
?
?
求极值的步骤,
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,)()3( 判断极值点在驻点左右的正负号检查 xf ?
.)4( 求极值
(不是极值点情形 )
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例 1
解
.593)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
963)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,3,1 21 ??? xx得驻点 列表讨论
x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3
)(xf?
)(xf
? ? ?
?
0 0
? ?
极
大
值
极
小
值
)3(f极小值,22??)1( ?f极大值,10?
)3)(1(3 ??? xx
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593)( 23 ???? xxxxf
M
m
图形如下
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设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,且 0)(
0
'
?xf,
0)(
0
''
?xf,那末
(1) 当 0)(
0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
(2) 当 0)(
0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
定理 (第二充分条件 )
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例 2
解
.20243)( 23 的极值求出函数 ???? xxxxf
2463)( 2 ???? xxxf
，令 0)( ?? xf,2,4 21 ??? xx得驻点
)2)(4(3 ??? xx
,66)( ???? xxf?
???? )4(f?,018 ? )4( ?f故极大值,60?
??? )2(f,018 ? )2(f故极小值,48??
20243)( 23 ???? xxxxf 图形如下
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M
m
注意,
.2
,)(,0)( 00
仍用定理
处不一定取极值在点时 xxfxf ???
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例 3
解
.)2(1)( 3
2
的极值求出函数 ??? xxf
)2()2(32)( 3
1
????? ? xxxf
.)(,2 不存在时当 xfx ??
时，当 2?x ;0)( ?? xf
时，当 2?x,0)( ?? xf
.)(1)2( 的极大值为 xff ??
.)( 在该点连续但函数 xf
注意,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,
M
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小结,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
函数的极值必在 临界点 取得,
判别法
第一充分条件 ;
第二充分条件 ;
(注意使用条件 )
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三、函数的最大值和最小值
o x
y
o x
y
ba o x
y
a b a b
.
],[)(
],[)(
在上的最大值与最小值存
在为零的点，则并且至多有有限个导数
处可导，上连续，除个别点外处在若函数
baxf
baxf
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第 24 页
步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
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应用举例,
例 1
解 )1)(2(6)( ???? xxxf?
.
]4,3[141232 23
上的最大值与最小值
的在求函数 ????? xxxy
得解方程,0)( ?? xf,1,2 21 ??? xx
计算 ?? )3(f ;23 ?? )2(f ;34
?)1(f ;7 ;142?)4(f
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第 26 页
，最大值 1 4 2)4( ?f比较得,7)1( ?f最小值
141232 23 ???? xxxy
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第 27 页
例 2 求函数 xxxf ln)( ?
在区间 [1,e]上的最大值和最小值
解,xxf ln1)(' ??
因为在（ 1,e）内 0)(' ?xf
所以函数 xxxf ln)( ? 在区间 [1,e]上单调增加
其最小值为 f（ 1） =0
最大值为 f（ e） =e 目录 后退 主页
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第 28 页
点击图片任意处播放 \暂停
例 3 敌人乘汽车从河的北岸 A处以 1千米 /分钟
的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的
南岸 B处向正东追击,
速度为 2千米 /分钟,
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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第 29 页
解
公里5.0
(1)建立敌我相距函数关系
).( 分追击至射击的时间
处发起为我军从设 Bt
敌我相距函数
22 )24()5.0()( ttts ????公里4B
?
A?
)(ts
)(ts
.)()2( 的最小值点求 tss ?
?? )(ts,)24()5.0(
5.75
22 tt
t
???
?
,0)( ?? ts令
得唯一驻点,5.1?t
.5.1 分钟射击最好处发起追击后故得我军从 B目录 后退
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第 30 页
实际问题求最值应注意,
(1)建立目标函数 ;
(2)求最值 ;
值．或最小函数值即为所求的最
点，则该点的若目标函数只有唯一驻
)(
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例 4 某房地产公司有 50套公寓要出租，当租金定
为每月 180元时，公寓会全部租出去．当租
金每月增加 10元时，就有一套公寓租不出去，
而租出去的房子每月需花费 20元的整修维护
费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月 元,x
租出去的房子有 套,?????? ?? 10 1 8 050 x
每月总收入为
)(xR )20( ?? x ??
??
?
? ??
10
18050 x
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?????? ??? 1068)20()( xxxR
?????? ????????? ??? 101)20(1068)( xxxR 570 x??
0)( ?? xR 3 5 0?? x （唯一驻点）
故每月每套租金为 350元时收入最高。
最大收入为 ?
?
??
?
? ???
10
35068)20350()( xR
)(1 0 8 9 0 元?目录 后退 主页 退
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例 5
形面积最大．
所围成的三角
及线
处的切线与直
使曲线在该点
上求一点，曲边成一个曲边三角形，在
围及抛物线，由直线
80
80
2
2
??
?
???
xy
xy
xyxy
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解 如图,
),,( 00 yxP设所求切点为
为则切线 PT
),(2 000 xxxyy ???
,200 xy ?? ),0,21( 0xA? )16,8( 200 xxB ?),0,8(C
T
x
y
o
P
A
B
C
)16)(218(21 2000 xxxS ABC ???? ? )80( 0 ?? x
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,0)1616643(41 020 ?????? xxS令
解得 ).(16,316 00 舍去?? xx
8)316( ????s?,0?,2174096)316( 为极大值?? s
.274 0 9 6)316( 最大者为所有三角形中面积的故 ?s
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第二,三 节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
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例 6：把一根半径为 R的圆木锯成矩形条木，问矩
形的长和宽多大时，条木的截面积最大？
x
2R
解,设矩形的长为 x
则矩形的宽为 224 xR ?
矩形的截面积为 224 xRxA ??
其中 （ 0＜ x＜ 2R）
现在求 x为何值时，函数 A在区间
（ 0,2R）内取得最大值。
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22
22'
4
24
xR
xxxRA
?
????
22
22
4
)2(2
xR
xR
?
??
令 0' ?A
得,RxRx 2,2 21 ??? （舍去）
由于函数 A在（ 0,2R）内只有一个驻点 Rx 2?
由实际情况知，函数 A的最大值一定存在，因此，当
Rx 2? 时，函数 A取得最大值 目录 后退 主页 退
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此时，矩形的宽为 RRR 2)2(4 22 ??
即：当矩形的长和宽都为 R2
条木的截面积最大。
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小结,
注意最值与极值的区别,
最值是整体概念而极值是局部概念,
实际问题求最值的步骤,
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第二,三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
1,理解函数单调性的判定定理；
2,理解函数极值的判定定理；
3,理解函数极值的概念；
4,正确区分函数的极值与最值；
5,利用定理正确求出较复杂函数的单调
区间和极值；
6,能够正确解决实际应用中的最值问题。
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本节的重点与难点
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第二,三节 函数的单调性与极值、最大值与最小值
? 重点
1．利用定理正确求出较复杂函数的单调
区间和极值
2．正确解决实际应用中的最值问题。
? 难点
1、正确理解函数极值的概念；
2、正确区分函数的极值与最值 。
