信号与系统
第一章 绪论
2
第一章 绪论
? § 1.1 信号与系统
? § 1.2 信号分类与典型确定性信号
? § 1.3 冲激函数、广义函数
? § 1.4 信号分解
? § 1.5 系统分类
? § 1.6 线性系统
3
§ 1.1 信号与系统
信 源 发 送 器 信 道 接 收 器 信 宿
消 息 信 号
噪 声
消 息信 号
? Message（消息）
– 信源的输出＋语义学上的理解
? Signal（信号）
– Information Vector消息 /信息的载体
? Information（信息）
– 消息、内容、情报
? System系统
– 由若干个相互作用和相互依赖的部分组合而成的具有特定功能的
整体。
4
本课要解决的问题
? 信号表示（分析）
– 把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、
理论和方法，即用简单表示复杂。
? 信号通过系统
– 系统分析
? 在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号
所产生的输出响应。
– 系统综合
? 按某种需要先提出对于给定激励的响应，而后跟据
此要求设计（综合）系统。
§ 1.2 信号分类与典型确定性信号
6
信号分类 Ⅰ
? 确定性信号
– 由确定性系统产生的，物理参数确定的信号。
? 非确定性信号
– 随机信号
? 具有不可预知的不确定性的信号。
– 模糊信号
7
信号分类 Ⅱ
? 周期信号
–
? 非周期信号
–
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8
信号分类 Ⅲ
? 连续时间信号
– 模拟信号
? 时间和幅值都连续的信号。
– 阶梯信号
? 时间连续，幅值离散的信号。
? 离散时间信号
– 抽样信号
? 幅值具有无限精度的离散时间信号。
– 数字信号
? 幅值具有有限精度的离散时间信号。
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1
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1
抽样信号
9
典型确定性信号
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10
典型确定性信号
? 5.
– 采样函数 Sa(t)为偶函数
– 在 t的正、负两方向振幅都
逐渐衰减，当 t=± π,
± 2π,…,± nπ时，函数值
为零。
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11
典型确定性信号
? 6
– 高斯函数比任何一个多项
式的倒数衰减都快，
是一个高阶无穷小量。
– 高斯函数的傅里叶变换仍
为高斯的。
– 高斯函数为正实函数。
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12
奇异函数
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13
奇异函数
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14
奇异函数
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15
奇异函数
? 4.门函数
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t
0
1
§ 1.3 冲激函数、广义函数
17
定义
? Ⅰ,P.A.M,Dirac定义
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18
定义
? Ⅱ,面积（强度）为 1，等效宽度 → 0函数的极限，
此种函数有多可数多个
– (1)
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定义
– (2)
– (3)
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定义
– (4)
– (5)
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21
定义
– (6)
– (7)
– (8)
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22
一般定义
? 检验函数
– 区间 上的光滑函数（连
续的，具有各阶连续导数） 为检验函数。检验
函数的全体记为 D（ Ω） 。
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定 义 对, 满 足
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23
性质
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g
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有 界 连 续
24
性质
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9) 0,0,1,2,
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K
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g@
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则
25
广义函数
? 检验函数
– 设 为开域,是 Ω上的实 /复函数，具有以
下性质：
? 是 Ω上的光滑函数（各阶导数处处存在）
? 是 Ω中紧集（有界闭集）
则称 是 Ω上的检验函数。
– 检验函数的全体记为 D（ Ω）。
? Supp－（ support承托 /支撑）
–
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闭包
26
广义函数
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x
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例：
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1
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例：
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27
广义函数定义
? 广义函数（广函）
– 若 （函数列）,f(x)（函数）
对,均有
即,
则称 的弱（广义）极限，
亦称 弱收敛于 f(x)，亦称 f(x)是 D（ Ω）
上的广义函数 。
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28
广义函数
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对, 满 足
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29
广义函数
? 广函的（广义）导数
–
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x x x x
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在 某 个 之 外 恒 等 于,
考 虑 上 的 广 函, 有
，
即
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D
30
冲激偶
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0 0 0
00 0
0 0 0
x
x
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x
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– 特别地，
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31
冲激偶性质
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4) 0 0
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g
32
§ 1.4 信号分解
? 1.直流分量 /交流分量
? 2.偶分量 /奇分量
? 3.脉冲分解
? 4.实分量 /虚分量
? 5.正交分解
– Fourier分析
注：正交分解和脉冲分解的极限形式可通过
Fourier变换统一
f ( t )
t
o
t
i
t
i + 1
f ( t
i
)
Δ t
33
§ 1.5 系统分类
? 1.简单 /复杂
? 2.连续 /离散 /混合
? 3.即时 /非即时（无记忆 /有记忆）
? 4.集中参数 /分布参数
? 5.线性 /非线性
? 6.时变 /时不变（定常）
? 7.确定 /非确定（随机、混沌、模糊）
§ 1.6 线性系统
35
系统输入－输出描述
? 1.零状态系统
? 2.冲激响应
? 3.因果律
? 4.时不变性
? 5.线性系统
黑 箱 T
输 入 输 出
X ( t ) Y ( t )
36
信号通过零状态 LTI系统
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线 性
定 常
定 常,
37
信号通过零状态 LTI系统
? 零状态响应
? 时变系统
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δ ( t )
y ( t )
h ( t )
x ( t )
x ( t ) * δ ( t )
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,
T t h t T t h t
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x ( t ) y ( t )
h ( t )
注：对于线性 /非线性、时变 /时不变系统均可定义
冲激响应 h(t)，但只对 LTI系统有 y(t)=x(t)*h(t)
38
信号通过零状态 LTI系统
? 放大 /衰减
? 微分
? 积分
x ( t) y ( t)
K
x ( t ) y ( t )
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???
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??
?
x ( t ) y ( t )
dp
dt
x ( t ) y ( t )
n
n
n
dp
dt
结束
第一章 绪论
2
第一章 绪论
? § 1.1 信号与系统
? § 1.2 信号分类与典型确定性信号
? § 1.3 冲激函数、广义函数
? § 1.4 信号分解
? § 1.5 系统分类
? § 1.6 线性系统
3
§ 1.1 信号与系统
信 源 发 送 器 信 道 接 收 器 信 宿
消 息 信 号
噪 声
消 息信 号
? Message（消息）
– 信源的输出＋语义学上的理解
? Signal（信号）
– Information Vector消息 /信息的载体
? Information（信息）
– 消息、内容、情报
? System系统
– 由若干个相互作用和相互依赖的部分组合而成的具有特定功能的
整体。
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本课要解决的问题
? 信号表示（分析）
– 把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、
理论和方法，即用简单表示复杂。
? 信号通过系统
– 系统分析
? 在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号
所产生的输出响应。
– 系统综合
? 按某种需要先提出对于给定激励的响应，而后跟据
此要求设计（综合）系统。
§ 1.2 信号分类与典型确定性信号
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信号分类 Ⅰ
? 确定性信号
– 由确定性系统产生的，物理参数确定的信号。
? 非确定性信号
– 随机信号
? 具有不可预知的不确定性的信号。
– 模糊信号
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信号分类 Ⅱ
? 周期信号
–
? 非周期信号
–
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? ? ? ?,f t f t n T n? ? ? ? Z
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信号分类 Ⅲ
? 连续时间信号
– 模拟信号
? 时间和幅值都连续的信号。
– 阶梯信号
? 时间连续，幅值离散的信号。
? 离散时间信号
– 抽样信号
? 幅值具有无限精度的离散时间信号。
– 数字信号
? 幅值具有有限精度的离散时间信号。
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典型确定性信号
? 5.
– 采样函数 Sa(t)为偶函数
– 在 t的正、负两方向振幅都
逐渐衰减，当 t=± π,
± 2π,…,± nπ时，函数值
为零。
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典型确定性信号
? 6
– 高斯函数比任何一个多项
式的倒数衰减都快，
是一个高阶无穷小量。
– 高斯函数的傅里叶变换仍
为高斯的。
– 高斯函数为正实函数。
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§ 1.3 冲激函数、广义函数
17
定义
? Ⅰ,P.A.M,Dirac定义
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定义
? Ⅱ,面积（强度）为 1，等效宽度 → 0函数的极限，
此种函数有多可数多个
– (1)
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定义
– (2)
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定义
– (4)
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定义
– (6)
– (7)
– (8)
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一般定义
? 检验函数
– 区间 上的光滑函数（连
续的，具有各阶连续导数） 为检验函数。检验
函数的全体记为 D（ Ω） 。
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gL若 光 滑 且
则
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广义函数
? 检验函数
– 设 为开域,是 Ω上的实 /复函数，具有以
下性质：
? 是 Ω上的光滑函数（各阶导数处处存在）
? 是 Ω中紧集（有界闭集）
则称 是 Ω上的检验函数。
– 检验函数的全体记为 D（ Ω）。
? Supp－（ support承托 /支撑）
–
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? ?? ? ? ?? ? ? ?sup p 0nf x X R f x f x??@ 称 为 的 支 集 。
闭包
26
广义函数
f ( x )
x
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例：
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27
广义函数定义
? 广义函数（广函）
– 若 （函数列）,f(x)（函数）
对,均有
即,
则称 的弱（广义）极限，
亦称 弱收敛于 f(x)，亦称 f(x)是 D（ Ω）
上的广义函数 。
? ? 1()m mfx ? ?
? ?()x?? ? ?D ( ),( ) l i m ( ),( )m
mf x x f x x?? ???
( ) ( ) l i m ( ) ( )mmf x x d x f x x d x???? ?????
? ? ? ? 1()m mf x f x ? ?是
? ? 1()m mfx ? ?
28
广义函数
?
–
? ?t? 定 义
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l i m
m
m
m
m
x
f x x f x x f x x d t
f x f x x
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对, 满 足
，
则
D
29
广义函数
? 广函的（广义）导数
–
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( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[,] 0
,( 1 ),
( 1 )
,1,1 0
n n n
bb
n n n
aa
nn
n n n
x a b
fx
f x x f x x
f x x dx f x x dx
x x x x
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在 某 个 之 外 恒 等 于,
考 虑 上 的 广 函, 有
，
即
特 别 地,
D
D
30
冲激偶
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00 0
0 0 0
00 0
0 0 0
x
x
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δ ( x )
x
δ ’ ( x )
x
o
o
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0
1 0 1
nnk
n k n k k
n
k
x f x C f x?? ?
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? 已知 f(x)连续可微，
– 特别地，
?
31
冲激偶性质
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? ?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1)
2) 0
3)
4) 0 0
11
5)
tt
t dt
d
tt
dt
dd
t t t t
dt dt
at t
aa
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???? ? ? ?
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?
g
32
§ 1.4 信号分解
? 1.直流分量 /交流分量
? 2.偶分量 /奇分量
? 3.脉冲分解
? 4.实分量 /虚分量
? 5.正交分解
– Fourier分析
注：正交分解和脉冲分解的极限形式可通过
Fourier变换统一
f ( t )
t
o
t
i
t
i + 1
f ( t
i
)
Δ t
33
§ 1.5 系统分类
? 1.简单 /复杂
? 2.连续 /离散 /混合
? 3.即时 /非即时（无记忆 /有记忆）
? 4.集中参数 /分布参数
? 5.线性 /非线性
? 6.时变 /时不变（定常）
? 7.确定 /非确定（随机、混沌、模糊）
§ 1.6 线性系统
35
系统输入－输出描述
? 1.零状态系统
? 2.冲激响应
? 3.因果律
? 4.时不变性
? 5.线性系统
黑 箱 T
输 入 输 出
X ( t ) Y ( t )
36
信号通过零状态 LTI系统
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? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
x t x t d x t t
y t T x t T x t d
x T t d
T t h t T t h t
y t x h t d x t h t
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?
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?
@
线 性
定 常
定 常,
37
信号通过零状态 LTI系统
? 零状态响应
? 时变系统
x ( t )
δ ( t )
y ( t )
h ( t )
x ( t )
x ( t ) * δ ( t )
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? ? ? ? ? ?
y t x t h t
x t t h t
t x t h t
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,,
,
T t h t T t h t
y t x h t d
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??
? ? ?
? ?
x ( t ) y ( t )
h ( t )
注：对于线性 /非线性、时变 /时不变系统均可定义
冲激响应 h(t)，但只对 LTI系统有 y(t)=x(t)*h(t)
38
信号通过零状态 LTI系统
? 放大 /衰减
? 微分
? 积分
x ( t) y ( t)
K
x ( t ) y ( t )
? ?t d ????
? ? ? ?
? ? ? ?
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? ? ? ?
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? ?
? ? ? ? ? ?
nn
t
h t K t
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h t t
dt
p t t
h t p t t
h t t dt u t
?
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??
?
??
?
?
???
??
??
?
x ( t ) y ( t )
dp
dt
x ( t ) y ( t )
n
n
n
dp
dt
结束
