信号与系统
第七章 离散信号、离散系统
2
第七章 离散信号、离散系统
? § 7.1 基本概念
? § 7.2 线性定常系统差分方程的解
? § 7.3 卷积
3
§ 7.1 基本概念
? 1,离散时间信号 —序列
– 定义：自变量（宗量）为离散点的信号（函
数），记为 。
– 连续时间信号离散化
? ?,f n n Z?
? ?f ??
?
g （ 离 散 ） 信 号 或 采 样 或 采 后 信 号 （ 取 值 无 限 精 度 ）
数 字 信 号 （ 取 值 有 限 精 度 ）
f ( t )
t
o
2 T 3 T
f ( nt )
4
§ 7.1 基本概念
? 2.典型序列
– (1)单位样值（冲激）序列
– (2)单位阶跃序列
? ? 1,00,0nn n? ??? ? ?
?
o
n
- 2 - 1 1 2
δ ( n )
? ? 1,00,0nun n ??? ? ?
?
o
n
- 1 1 2
u ( n )
3 4
1
5
§ 7.1 基本概念
– (3)单位矩形序列
? ?
? ? ? ? ? ?
1,
0,
1
N
N
nN
pn
nN
p n u n N u n N
???
? ?
???
? ? ? ? ?????
o
n
- 1 1 2
P N ( n )
3 4
1
N- 2- 3- 4- N
6
§ 7.1 基本概念
– (4)正弦序列
– (5)复指数序列
? ? 0
0
2si n si nx n n nT
T
????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
0 j a r gj
01,a r g
xnnx n e x n e
x n x n n
?
?
??????
??????
7
§ 7.1 基本概念
? 3.信号分解 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
,
0,
m
x n m n
x m n m
mn
x n x m n m
x n n
?
?
?
??
? ? ?
??
?? ?
??
??
?
?
@ L L L L 卷 积 和
8
§ 7.1 基本概念
? 4.离散时间系统
例：
– 求和
– 相乘
x ( n )
?
Z
- 1
y ( n )
a
f
1
( t )
?
f
2
( t )
? ? ? ? ? ? ?12y t f t f t??f 1 ( t )
f
2
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t???
x ( n ) y ( n )= ax ( n )a
9
§ 7.1 基本概念
– 分支
– 一步延迟（一步右移）算子
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f 3 ( t )
x ( n ) Z - 1 y ( n )= x ( n - 1 )x ( n )
Z - 1
y ( n )= x ( n - m )
Z - 1...
m
1 4 4 4 2 4 4 43
? ? ? ?1 1z x n x n? ??
? ? ? ?mz x n x n m? ??
10
§ 7.1 基本概念
– 一步导前（一步左移）算子,
– 例：
若 n递减则为后向差分方程；若 n递增则为前
向差分方程。
– 例：
? ? ? ?1z x n x n??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
1
1
y n a y n x n
y n a y n x n
? ? ?
? ? ?
x ( n )
y ( n )
b
0
b
1
Z
- 1
Z
- 1
Z
- 1
a
1
a
2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 0 1
1 2 0 1
1 2 1
1 2 1
y n a y n a y n b x n b x n
y n a y n a y n b x n b x n
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
11
§ 7.1 基本概念
– 零状态：
– 零状态线性系统：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
00
1,2,,0
NM
kr
kr
y y y N
a y n k b x n r
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L
L ? ?xn ? ?yn
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? ? ? ? ? ? ? ?
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11
00
L
L L
,
NN
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ii
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NM
kr
kr
kr
y n x n
x n x n
y n k z y n x n r z x n
a z y n b z x n
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??
?
?
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?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
线 性
由
12
§ 7.1 基本概念
定义 为线性定常离散时间系统的系
统算子,N为差分方程的阶。
? ? ? ? ? ? ? ?10
0
M
r
r
r
N
k
k
k
bz
y n x n H z x n
az
?
??
?
?
?
?
?
@
? ?1L Hz ??
13
§ 7.1 基本概念
? 5.零状态响应、零输入响应：
– 零状态响应：
– 零输入响应：
造成
–
? ? ? ? ? ?1,2,,0y y y N? ? ? ?L
? ? ? ? ? ? ? ?0 1,2,,0x n y y y N? ? ? ? ?L,由
? ? ? ? ? ?z s z iy n y n y n??
14
§ 7.1 基本概念
? 6.单位样值响应 h(n),L = H ( Z - 1 )
? ?xn ? ?yn
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
1
L
= L = L
LL
m
zs
m
m
h n n H z n
h n n h n m n m
x n x n n x m n m
y n x n x m n m
x m h n m x n h n
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? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
?
?
?
零 状 态 线 性 定 常
线 性
定 常
定 常,
15
§ 7.1 基本概念
? 7.因果系统：
– 因果信号：
– BIBO稳定：
线性离散时间系统 BIBO稳定
线性定常系统 BIBO稳定
稳定信号
? ? ? ? ? ?h n h n u n?
? ? ? ? ? ?f n f n u n?
? ?,
n
h n m
??
? ??
? ? ??
? ?
n
hn
??
? ? ?
? ? ??
? ? ? ? ? ? 1
n
f n f n f n l
??
? ? ?
? ? ? ? ??
16
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 1.迭代方法：
– 已知：
求：
解：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,1 0y n a y n x n x n n y?? ? ? ? ? ?,
? ? ? ??y n h n??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
2
0 1 0 1
1 0 1
2 1 2
n
y ay
y ay a
y ay a
y n a u n
?
?
?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
?
KK
17
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
– 差分方程给出了递推形式
– 迭代法：已知
构造
若 满足压缩映射条件，则对
*,,,?nnAA ??X Y Y X已 知 求
? ?1nn
A
IA?
? ? ?
? ? ?
X - X X Y
X = X Y
B I A??
0 1 2,n n? ? ? ? ? ? ? ?LX X X X X
18
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 2.经典方法
– 齐次解：
? ? |?? 初 始 条 件全 解 齐 次 解 特 解
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
11
1
11
1
11
10
0,
,,
NN
n
NN
NN
N
nn
NN
y n a y n a y n N
y n C
a a a
y n C C u t
?
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?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
??? ? ?
??
L
L
L
L
齐
令
为 特 征 方 程
为 特 征 根
19
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
– 特解：
– 完全解：
? ? ? ? 10
0
,
,,
kk
k
k
x n n D n D n D n D
DD
? ? ? ? ?L
L代 入 方 程 求
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
1
,
0,1,,1,,
0,1,,1 1,,
N
n
ii
i
N
y n C D n u n
y y y N C C
y y y N y y N
?
?
??
??
??
??
?
? ? ?
?
LL
LL
代 入 确 定,
其 中 由
迭 代 得 到 。
20
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 3.零输入响应 /零状态响应：
– 零输入响应：
– 零状态响应：
? ? ? ? ? ?z s z iy n y n y n??
? ? ? ?00x n D n? ? ?
? ? ? ? ? ?1,,
1
|
N
n
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i
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?
? ? L代 入
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? ? ? ? ? ?
1
N
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i
y n B D n u n?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,,0,1,,1,
,1,,
TT
i
y y N y y y N
B i N
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?
0LL
L
由 迭 代 得 到
代 入 得 到 。
21
§ 7.3 卷积
? 1.卷积
h ( n )
? ?xn ? ?yn
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
m
y n h n x n x m h n m
h n h n n?
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?
22
§ 7.3 卷积
– 例：
– 解：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,?nh n a u n x n u n u n N y n? ? ? ? ?,求
o
m
1 2
x ( m )
N - 1
1
o
m
- 1- 2
h ( - m )
1
? ?
nm
yn
?
? ? ? ?反 折 平 移 相 乘 求 和
23
§ 7.3 卷积
? 2.反卷积
– 问题：
卷积：已知：
反卷积：已知：
– 病态反卷积：
? ? ? ? ? ?y n h n x n??
? ? ? ? ? ?,h n x n y n,求
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?,,y n h n x n x n h n或 求 或 h ( n )
? ? ? ? ? ? ? ?oy n h n x n n n? ? ??
? ?xn
? ?inn
24
§ 7.3 卷积
– ? ? ? ? ? ?,y n h n x n??
h ( n )
? ?xn ? ?yn
伪随机信号
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
**
,
xx
xx
n
x x y y h h
R m N m
R m x m x m x n x n m
R m N m R m N R m
?
?
??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
??
?
当 时 。
结束
第七章 离散信号、离散系统
2
第七章 离散信号、离散系统
? § 7.1 基本概念
? § 7.2 线性定常系统差分方程的解
? § 7.3 卷积
3
§ 7.1 基本概念
? 1,离散时间信号 —序列
– 定义：自变量（宗量）为离散点的信号（函
数），记为 。
– 连续时间信号离散化
? ?,f n n Z?
? ?f ??
?
g （ 离 散 ） 信 号 或 采 样 或 采 后 信 号 （ 取 值 无 限 精 度 ）
数 字 信 号 （ 取 值 有 限 精 度 ）
f ( t )
t
o
2 T 3 T
f ( nt )
4
§ 7.1 基本概念
? 2.典型序列
– (1)单位样值（冲激）序列
– (2)单位阶跃序列
? ? 1,00,0nn n? ??? ? ?
?
o
n
- 2 - 1 1 2
δ ( n )
? ? 1,00,0nun n ??? ? ?
?
o
n
- 1 1 2
u ( n )
3 4
1
5
§ 7.1 基本概念
– (3)单位矩形序列
? ?
? ? ? ? ? ?
1,
0,
1
N
N
nN
pn
nN
p n u n N u n N
???
? ?
???
? ? ? ? ?????
o
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- 1 1 2
P N ( n )
3 4
1
N- 2- 3- 4- N
6
§ 7.1 基本概念
– (4)正弦序列
– (5)复指数序列
? ? 0
0
2si n si nx n n nT
T
????
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
0 j a r gj
01,a r g
xnnx n e x n e
x n x n n
?
?
??????
??????
7
§ 7.1 基本概念
? 3.信号分解 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
,
0,
m
x n m n
x m n m
mn
x n x m n m
x n n
?
?
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??
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??
??
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@ L L L L 卷 积 和
8
§ 7.1 基本概念
? 4.离散时间系统
例：
– 求和
– 相乘
x ( n )
?
Z
- 1
y ( n )
a
f
1
( t )
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f
2
( t )
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f
2
( t )
? ? ? ? ? ?12y t f t f t???
x ( n ) y ( n )= ax ( n )a
9
§ 7.1 基本概念
– 分支
– 一步延迟（一步右移）算子
f 1 ( t )
f 2 ( t )
f 3 ( t )
x ( n ) Z - 1 y ( n )= x ( n - 1 )x ( n )
Z - 1
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1 4 4 4 2 4 4 43
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10
§ 7.1 基本概念
– 一步导前（一步左移）算子,
– 例：
若 n递减则为后向差分方程；若 n递增则为前
向差分方程。
– 例：
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? ? ? ? ? ?
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1 2 0 1
1 2 1
1 2 1
y n a y n a y n b x n b x n
y n a y n a y n b x n b x n
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11
§ 7.1 基本概念
– 零状态：
– 零状态线性系统：
? ? ? ? ? ?
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NM
kr
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y y y N
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线 性
由
12
§ 7.1 基本概念
定义 为线性定常离散时间系统的系
统算子,N为差分方程的阶。
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0
M
r
r
r
N
k
k
k
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y n x n H z x n
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@
? ?1L Hz ??
13
§ 7.1 基本概念
? 5.零状态响应、零输入响应：
– 零状态响应：
– 零输入响应：
造成
–
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? ? ? ? ? ? ? ?0 1,2,,0x n y y y N? ? ? ? ?L,由
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14
§ 7.1 基本概念
? 6.单位样值响应 h(n),L = H ( Z - 1 )
? ?xn ? ?yn
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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1
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LL
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h n n H z n
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?
?
零 状 态 线 性 定 常
线 性
定 常
定 常,
15
§ 7.1 基本概念
? 7.因果系统：
– 因果信号：
– BIBO稳定：
线性离散时间系统 BIBO稳定
线性定常系统 BIBO稳定
稳定信号
? ? ? ? ? ?h n h n u n?
? ? ? ? ? ?f n f n u n?
? ?,
n
h n m
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16
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 1.迭代方法：
– 已知：
求：
解：
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? ? ? ??y n h n??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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0 1 0 1
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y ay a
y ay a
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?
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?
KK
17
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
– 差分方程给出了递推形式
– 迭代法：已知
构造
若 满足压缩映射条件，则对
*,,,?nnAA ??X Y Y X已 知 求
? ?1nn
A
IA?
? ? ?
? ? ?
X - X X Y
X = X Y
B I A??
0 1 2,n n? ? ? ? ? ? ? ?LX X X X X
18
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 2.经典方法
– 齐次解：
? ? |?? 初 始 条 件全 解 齐 次 解 特 解
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
11
1
11
1
11
10
0,
,,
NN
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NN
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L
L
L
L
齐
令
为 特 征 方 程
为 特 征 根
19
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
– 特解：
– 完全解：
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0
,
,,
kk
k
k
x n n D n D n D n D
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? ? ? ? ?L
L代 入 方 程 求
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? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
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0,1,,1 1,,
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y y y N C C
y y y N y y N
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?
LL
LL
代 入 确 定,
其 中 由
迭 代 得 到 。
20
§ 7.2 线性定常系统差分方程的解
? 3.零输入响应 /零状态响应：
– 零输入响应：
– 零状态响应：
? ? ? ? ? ?z s z iy n y n y n??
? ? ? ?00x n D n? ? ?
? ? ? ? ? ?1,,
1
|
N
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L
由 迭 代 得 到
代 入 得 到 。
21
§ 7.3 卷积
? 1.卷积
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
m
y n h n x n x m h n m
h n h n n?
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22
§ 7.3 卷积
– 例：
– 解：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,?nh n a u n x n u n u n N y n? ? ? ? ?,求
o
m
1 2
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N - 1
1
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h ( - m )
1
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?
? ? ? ?反 折 平 移 相 乘 求 和
23
§ 7.3 卷积
? 2.反卷积
– 问题：
卷积：已知：
反卷积：已知：
– 病态反卷积：
? ? ? ? ? ?y n h n x n??
? ? ? ? ? ?,h n x n y n,求
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?,,y n h n x n x n h n或 求 或 h ( n )
? ? ? ? ? ? ? ?oy n h n x n n n? ? ??
? ?xn
? ?inn
24
§ 7.3 卷积
– ? ? ? ? ? ?,y n h n x n??
h ( n )
? ?xn ? ?yn
伪随机信号
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
**
,
xx
xx
n
x x y y h h
R m N m
R m x m x m x n x n m
R m N m R m N R m
?
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?
? ? ? ? ?
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?
当 时 。
结束
