信号与系统
第四章 信号的谱表示
2
第四章 信号的谱表示
? § 4.1 上的傅里叶级数
? § 4.2 典型周期信号的谱
? § 4.3 上函数的傅里叶变换
? § 4.4 傅里叶变换的性质
? § 4.5 周期信号的傅里叶变换
? ?1 0L,tt?
? ?1L,?? ?
3
Chapter 4 信号的谱表示
? § 4.6 采样定理
? § 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? § 4.8 相关函数与谱分析
? § 4.9 匹配滤波器
? § 4.10 等效带宽、等效时宽,Heisenberg
测不准原理
4
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 1,
? 2,Dirichlet条件：
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ? ? ?? ?
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0
1
0
0
L,| d
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t
t
t t f t f t t
tt
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上 绝 对 可 积 函 数 全 体
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t
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f t t t T
f t t t T
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?
?
在 上 具 有 有 限 个 极 大 值, 极 小 值
在 上 具 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点
- 1) d L
- 2)
- 3)
5
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 3.三角函数形式的傅里叶级数
– (1) 三角函数集
? ?1 0L,tt ?
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? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
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LL
@ L L
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是 上 完 备 正 交 集,
6
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (2)
的傅里叶级数为
其中
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ? ? ? ? ?120 0 0 0L,L,,f t t t T t t T f t? ? ? ? ?
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7
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nn
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§ 4.1 上的傅里叶级数
– (3)
其中：
? ?1 0L,tt ? n?
n?
na
nb22nnab ?
8
§ 4.1 上的傅里叶级数
注：
– 1.
物理含义：第 n次谐波的幅度
– 2,为第 n次谐波的相位
– 3,为直流分量
– 4,离散幅度谱
? ?1 0L,tt ?
2,,,
n n n na b c d n T
??? ?是 的 函 数,
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0 0 0a c d??
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a
1
a
2
a
3
a
2 ? 3 ??
9
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 4.指数形式的傅里叶级数
– (1)
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@ 是 上 完 备 正 交
集
10
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (2),有
其中
注：复频率的引入完全由完备性决定。
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11
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (3)
– (4)
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:
:
一 般 为 的 复 变 函 数,是 离 散 的,间 隔 为 。
,和 均 为 的 函 数 。
,的 幅 度 谱 （ 线 谱 ）
,的 相 位 谱 （ 线 谱 ）
12
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (5)
利用
可导出：
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ?0
1
c os si nnn
n
f t a a n t b n t??
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13
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 5.傅里叶级数使用范围
– (1) 可展成傅里叶级数
– (2)
将 f(t)以为周期 T向左、右做周期延拓得：
所以，在一个周期内绝对可积的周期信号可展成傅里叶级数。
周期信号：
主周期：
? ?1 0L,tt ?
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14
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 6.函数的对称性与 F.S.的定性性质
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15
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (1) f(t)为偶函数,f(t)= f(-t),f(t)的傅里叶级数
只含有直流和余弦分量。
– (2) f(t)为奇函数,f(t)= -f(-t),f(t)的傅里叶级数
只含有正弦分量。
– (3) f(t)为奇谐函数：, f(t)的傅
里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。
– (4) f(t)为偶谐函数：, f(t)的傅
里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。
? ?1 0L,tt ?
? ? 2Tf t f t??? ? ?????
? ? 2Tf t f t????????
16
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 7,Parseval定理（内积不变性）
– 定理（ Parseval）：对
? ?1 0L,tt ?
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17
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 8.能量定理
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2 22
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? ? ? ? ??对, 有
18
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 9.均方收敛性（依范数收敛，强收敛）
– 定理（均方收敛）：对
其中
– 在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。
– 2N+1项 F.S.近似，欧式范数最小 方差最小 均方差
最小。
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为 误 差,
为 均 方 误 差 。
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19
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 10.可 F.S.展开的充分条件
– 定理（可 F.S.展开的充分条件）：
若
证明：
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20
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 11,Gibbs现象
– 若用 F.S.逼近 f(t)，在第 1类间断点处不一致收
敛，且在间断点的很小邻域内有奇异现象出现，
9% 的最大峰起。
? ?1 0L,tt ?
o
f ( t )
t
第一类间断点
21
§ 4.2 典型周期信号的谱
? 周期矩形脉冲信号：
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? ? ? ???
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t
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§ 4.2 典型周期信号的谱
? ?
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0
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2 1 2 1
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，
，
23
§ 4.2 典型周期信号的谱
? (1) f(t)的频谱为可列的无穷多条线谱
? (2)谱线间隔为
? (3)线谱包络为
? (4) 0到第一零点之间的谱线的个数：
（ 表示对 取整 )
2
T
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2 ?
?????
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2 T??
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T
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????
T
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24
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 1.问题提出
考虑
则
谱线间隔：
此时信号有周期信号变为非周期信号，其频谱由
离散谱变为连续谱。
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T
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25
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
其中,表示单位频率上的谱强度，
为 f(t) 的频谱密度函数（谱
密度）。
令：
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2
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2
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26
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 2.傅里叶变换
– 定义：对
傅里叶 (正 )变换：
傅里叶反变换：
? ?1L,?? ?
? ? ? ?1L,,ft? ? ? ? ? 则
? ? ? ?? ? ? ? j dtF f t f t e t?? ? ????? ?F
? ? ? ?? ? ? ? ? ?21 j j1 dd2 fttf t F F e F e f????? ? ? ?? ???? ? ? ? ?? ? ???F
? ? ? ? ? ?j ()F F e f t????? 为 的 ( 频 ) 谱 ( 密 度 )
? ? ? ?( ) ( )F f t f t? ? ?为 的 幅 度 谱 ( 密 度 ),为 的 相 位 谱 ( 密 度 )
其中：
27
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 定义：
– 定理：
存在的充分条件：
? ?1L,?? ?
? ?? ? ? ?f t F ? ??存 在,F
? ?? ?ftF
? ? ? ? ? ?? ?1L,,f t f t? ? ? ? ?对 存 在 。F
28
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 映射
–
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? ? ? ?1,L,L,?? ? ? ? ? ? ? ? ?F
? ? ? ?? ? ? ?1j dtf t F F e f??? ?? ???? ?F
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29
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
–
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j2
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而 。
30
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 3.典型函数的谱
– (1)高斯函数
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2
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31
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 高斯函数：
– 高斯函数为正实函数
– 高斯函数的傅里叶变换仍是高斯的
– 高斯函数是速降函数
– 令
? ?1L,?? ?
? ?2e x p ax?
11,,2Ef? ? ?
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22tfee?????F
32
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (2)矩形函数
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33
§ 4.3 上函数的傅里叶变换? ?1L,?? ?
ω
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?
? ? ? ?,F ? ? ?
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34
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (3)三角脉冲函数
推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数
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?? 2 ??? 4???
2E
35
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (4)双边指数函数
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,0,,
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36
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (5)单边指数函数
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37
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (5)单边指数函数
? ?1L,?? ?
t
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2
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F
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38
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (6)符号函数
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j
0
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2
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???
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39
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (6)符号函数（续）
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t
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S g n ( t )
ω
o
2
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F
2
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1
- 1
40
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (7)冲击函数
? ?1L,?? ?
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F t t e t?
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F
F
t
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f ( t ) = δ ( t )
ω
o
F
? ?? ?t?F
1
41
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (8)直流
? ?1L,?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?j1,,1 d 2tf t t F e t?? ? ? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?F
t
o
f ( t ) = δ ( t )
ω
o
F
? ? ? ?21 t???F
1
? ?2 ?
42
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (9)阶跃函数
? ?1L,?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
11
s g n
22
1 1 1
s g n
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f t u t t
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F
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t
o
f ( t ) = u ( t )
F
1
ω
o
2
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2
?
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? ? ? ?,F ? ? ?? ??
43
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 1.,F 是线性变换：
? 2.对称性：
? ? ? ?1,L,L,?? ? ? ? ? ? ? ? ?F
? ? ? ?? ?
11
NN
n n n n
nn
f t f t??
??
?? ?
??
??
??FF
? ?? ? ? ?2F t f????F
44
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 3,共轭,
注：
– (1)若 f(t)为实函数：
则
– (2)若 f(t)为纯虚函数，
仍然成立。
? ?? ? ? ?**f t F ???F
? ? ? ?*f t f t?
? ? ? ?? ? ? ?*F f t F??? ? ?F
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?j - j FFF e F e? ? ? ? ????
? ? ? ?
? ??? ? ?
? ? ?
模 偶 对 称
相 位 奇 对 称
? ? ? ? ? ? ? ?FF? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?和
45
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 4,相似性定理（ Similarity Theorem）（尺
度变换性质）：
– 特别地，
? ?? ? 1f t F ?? ?? ??? ??
??
F
? ?? ? ? ?1 f t F??? ? ? ? ?当 时,。F
46
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 5.时移：
? ?? ? ? ?-jf t e F??????F
?延 迟
? ?
? ?
ft
F ?
c
? ?
? ?j
ft
eF ??
?
??
?
c
47
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 6.调制（频移）,? ?? ? ? ?
0j 0tf t e F? ????F
?
? ?
? ?
ft
F ?
c
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0
0
jt
f t e
F
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???
c
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? ?? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?
0 0 0
0 0 0
11
c o s
22
11
sin
2 j 2 j
f t t F F
f t t F F
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
F
F
注：此时谱的形状没有发生变化，为线性调制。
48
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 7.时域微分：
? ?? ? ? ?pjf t F???F
? ?? ? ? ? ? ?npj nf t F???推 广, F
dp
dt@
49
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 8.频域微分：
? ?? ? ? ? ? ? ? ?11 dpj dF F t f t?? ??? ??? ? ???
??
FF
? ?? ? ? ? ? ?1n pj nF t f t?? ??推 广, F
dp
d?@
50
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 9.时域卷积：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 2f t f t F F????F
? ?
? ?
1
1
ft
F ?
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12
12
f t f t
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2
2
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?
?
零 状 态 响 应
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??
??
??
卷 积 积 分 运 算
乘 法 运 算
51
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1
1
ft
F ?
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12
12
1
2
f t f t
FF ??
?
?
? ?
? ?
2
2
ft
F ?§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 10.频域卷积定理：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 212f t f t F F?????F
52
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 11.时域积分：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
-
11 d0
pj
t
f t f F F? ? ? ? ? ?
??
?? ? ? ?
??
?? ?
FF
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0
-
00
0 | d t 0 0
11
pj
F
F F f t F
f t F
?
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?
?
??
?
?
?
? ? ? ? ?
??
???
??
?
特 别 的,当 时,即 信 号 没 有 直 流 分 量,
即 在 处 有 界,
有 F
-
1 d
p
t ?
??
@
53
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 12.矩定理：
? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,n d,
0j
n
n
nn
n
f t F f t m t f t t
Fm
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?@的 阶 矩,
则 。
F
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2 0 j j d
3 0 d
4d
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F m tf t t
F t f t t
t m f t t?
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??
?
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?
?
注, 1) -- -- 平 均 值 / 直 流
) -- -- 一 阶 矩 / 几 何 中 心
) -- -- 二 阶 矩
) -- -- 二 阶 中 心 矩, 方 差
54
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 13.矩展开式：设
则 ? ? ? ? ? ?
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LL
LL
? ? ? ? ? ?n,,,nnf t m t h t t????? ? ? ? ? ? ?Cd
55
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 例,t
o
f ( t )
t
o
h ( t )
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? ? ? ? ? ? ? ? 0
d
d
y t f t h
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y t f t h f t m
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?
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??
??
??
??
??
?
?
?B
零 阶 近 似,
可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。
56
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 例,已知
? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
2
2
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j
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j
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t t u t t u t
t t u t t u t
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? ? ?
??
??
? ? ?
? ? ? ???
??
则
注,
即 可 证 明 。
F
F
FF
F
FF
FF
57
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 周期信号
? f(t)～ 傅里叶级数 ～ 对傅里叶级数求变换
? ? ? ?
? ? ? ?
0
1
,,
L,
f t f t n T t
ft
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? 不 满 足 傅 里 叶 变 换 的 充 分 条 件 。
58
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 1.典型周期信号的傅里叶变换
– (1)
– (2)
? ? ? ?
? ? ? ?
1,,,
2
f t t
F ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
是 周 期 为 零 的 周 期 信 号
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ω
o
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ω
o
? ?0jte ?F ? ?2 ?
0?
59
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
– (3) ? ?
? ? ? ? ? ?
00j - j
0
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11
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22
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F
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F
ω
o
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0
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60
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
– (4) ? ?
? ? ? ? ? ?
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0
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11
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2 j 2 j
j
tt
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F
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0
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? ???
0
??
61
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 2,一般周期信号的傅里叶变换
– 定义（主周期）：对周期信号
定义主周期：
? ? ? ?0,f t f t n T??
? ? ? ? 000 22TTf t f t u t u t??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???
? ? ? ???
@
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0
0
j1 00
00
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-j2
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j
0
2
L,,,,,
22
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nt
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T
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f t f t F e t
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当
FF
62
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 3,? ?? ?
nF f t与 的 关 系,F
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
0
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2
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j
0
0
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2
0 0 0 0 0
0 0 02
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d
2
,
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T
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n
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f t f t nT f t f t u t u t
F f t f t e t
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F f t e t F f F f
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F
63
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 4.理想采样序列的傅里叶变换
– 定义,为理想采样序列。
? ? ? ?Ts
n
t t nT??
?
? ? ?
???
t
o
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S
T
t?
S
T 2
S
T2
S
T?
S
T?
64
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
–
–
? ? ? ?
? ? ? ?
j - j2
2
j
11
,d
1
P oisson
s
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s
s
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?? LLL 求 和 公 式
? ? ? ?? ? ? ?? ?
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j
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1
22
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Ts
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??
?
??
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 43
求 和 公 式
FF
F
65
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
ω
o
? ?? ??
S?2 S?2 S???
? ?S?
66
§ 4.6 采样定理
? 1,问题的提法 采样f ( t ) A / D
模拟
? ? ? ?Sp t p t n T??
? ?Sft
? ?Sf n T?
67
§ 4.6 采样定理
? 2,采后信号的谱结构
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
1
2
s
ns
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s
ss
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nn
p t p t nT
P p t P n
F f t
f t f t p t
F f t F P
P F n P F n
? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ?
??
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? ? ?
? ? ? ? ?
?
??
F
F
F
68
§ 4.6 采样定理
? 3.矩形脉冲采样
– (1)
t
o
f ( t )
ω
o
F
F ( ω )
- σ σ
69
ω
o
F
f( t)
t
o
E
T- T
2T2T? 2?? ?
SE ??
S?? S?§ 4.6 采样定理– (2)
f ( t )
F
t
o
T- T
2T2T? 2?? ?
ω
o
F ( ω ) S
E
T
?
S?? S?
70
§ 4.6 采样定理
? 4.理想采样
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
1
1
Ts
n
n
s
s T s
ns
p t t t n T
P
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F f t t F n
T
??
? ? ? ?
?
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? ? ?
?
? ? ?
?
?F
71
§ 4.6 采样定理
? 5.零阶采样保持器
Rs
C Ri
+
-
f ( t )
隔
离
放
大
器
A / D
72
§ 4.6 采样定理
–
0,,T,
A/
siRR
D
?? ? ? 每 时 间 通 一 次,断 的 时 间 为
在 断 开 的 时 间 内 做 转 换 。
ω
o
? ?ft
ST2 STτ
73
§ 4.6 采样定理
– 上面的电路可用下面的模型表示：
相 乘
? ?ft ?
延 迟 τ
A / D
???? ?Sft ? ?uft ? ?dSf nT? ?
ST
t?
74
§ 4.6 采样定理
t
o
f ( t )
ω
o
F
F ( ω )
- σ σ
t
o
? ?
ST
t?
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
S?
F
2SS T?? ?
? ?S?
75
§ 4.6 采样定理
t
o
? ?S tf
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
S
?F 2
SS T?? ?
? ?SF ?
S
??
t
o
? ?u tf
ST 2 ST2 ST? S?
τ
? ?
? ?
? ?
? ?
()
s
u
ds
ft
ft
ft
f nT
为 模 拟 信 号
为 采 样 信 号 ( 离 散 时 间 信 号 )
为 阶 梯 信 号 连 续 时 间 信 号
数 字 信 号
76
§ 4.6 采样定理
ω
o
S?
F
2SS T?? ?
? ?? ?dSf n TF
S??t
o
? ?u tf
ST 2 ST2 ST? S?
1
ST
77
§ 4.6 采样定理
? 6.时域采样定理
– 定理（ Nyquist时域采样定理）：
? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
,
2 ( 2 )
S a,
0,,2
T
s
s
s f s
n
f s s s
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f f f f t
f n T
f t K f n T t n T
Kf
??
??
??
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
??
????
??
? ? ? ? ?
?
带 限 信 号 被 理 想 采 样 则 当 采 样 频 率
时,可 用 等 间 隔 采 样 值
唯 一 表 示,
式 中, 。
78
§ 4.6 采样定理
t
o
? ?S tf
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
? ?F ?
???A
ω
o
S?
? ?SF ?
S??t
o
? ?ST t?
ST 2 ST2 ST? S? ??? S?? ?
S
A
T
ω
o
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? ?H ?
f??
t
o
? ? ? ?f f
B
h t Sa t
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?
?
?
B
fB ?
?
79
§ 4.6 采样定理
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
Sa
Sa
f
T s s f
n
f
s f s
n
B
f t f t t h t f nT t nT t
B
f nT t nT
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? ? ?
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? ? ?
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? ? ?
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? ? ? ? ????? ??
??
????
??
?
?
,,,
2 /,2 2
11
2
fs
s s s
s
s
r a d s f f H z f f
T
ff
??
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
??
注, 要 求 此 时 不 会 重 叠 可 以 恢 复 即 要 求
。 称 为 Nyquist 采 样 频 率,
称 为 Nyquist 采 样 间 隔 。
80
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 1,定理（ Riemann-Lebesgue Lemma）：
? ? ? ? ? ?1L,,l im 0f t F? ???? ? ? ? ? ?对 有 。
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
j1
-
j1
-j
1
1 ) O,,0
2) l i m l i m d 0,L,
l i m,0,L,( 1 )
l i m c os 0
l i m 0
l i m si n 0
t
t
t
F
F f t e t f t
f t e f t
t
e
t
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?
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?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
LLLL
广 义
广 义
依 (1)
广 义
依 (1)
依 (1)
注, 渐 近
对常义的极限不等于零。
81
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 2.有界变差函数（ Bound Variation Function）
– 定义：设
–
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
01
1
1
0
,,,
T,,
,,
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n
nb
ii
a i
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f T f x f x
f x BV
V
?
?
?
? ? ? ? ?
? ? ??
L
@
是 上 实 函 数 对 于 上 的 任 一
分 割 若
则 称 是 有 界 变 差 函 数 记 为 有 界 变 差 函 数 的 全 体 。
? ? ? ?? ? fxf x B V fx???? ?
??
有 界
可 写 成 两 个 单 调 增 有 界 函 数 之 差
82
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
–
– 有界变差函数未必绝对可积。
? ? ? ?
? ?
,
11
,,,s in
f x B V f x
ab
xx
?
?
则 或 者 无 界 或 者 急 剧 振 荡 。
例, 在 含 原 点 的
? ? 12 2 11,1xx x???:例, 在 时 不 可 积
83
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 3,Riemann定理：若 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
1
L,,
1
,,,,O,
f t a b f x
a b BV a b F ?
?
?
?
??
? ??
??
??
??
且 为
上 可 有 限 可 无 限 则
。
84
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 4,定理：若
– 若
? ?
? ?
? ?
? ?
1
,,
1
O
n
n
f t f t
F ?
?
?
??
? ? ?
??
??
L 存 在,且 有 界 变 差,
绝 对 可 积,则 。
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
1
O,,,,
,
n
n
n
F f t f t
ft
??
?
?
?
??
? ? ? ? ?
??
??
L则
连 续 有 界 。
85
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 1.相关（似）系数
–
,,0nR ? ? ?X Y X Y
o
o c?
o
,0?XY
//XY
2
2
,,
,
c
c
c
?
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?
X Y X X
XX
X
1
,
T
n
ii
i
xy
?
?
? ?
XY
XY
86
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（相关（似）系数）：对
? ?2
22
,L,,
,
xy
x y a b
xy
xy
xy
?
??
?定 义 与 的 相 关 系 数,
22
* *
1 1 1 1
2 2 2 2
1 ),1 1
2),0 0
3)
,,
1
,,,,
,1,;,1,
xy
xy
x y x y
x y x y
x y x y
x y x y
y c x x y
x c x c x x c
c
x x y y x x c x x
cc
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?
??
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? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
Q
P
注,
为 正 实 数 正 相 关 为 负 实 数 负 相 关 。
87
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 正交投影误差与相关系数
? ? ? ?0 2x c x????正 交 投 影 误 差 或 使 最 小
o
Y
0CXXCX
??
0
00
2 * 2*
0 0 0 0 02
,
,0
,
,,,,,
y c x
xy
x y c x c
xx
y c x y c x y y c x y c x y c x x
?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
88
§ 4.8 相关函数与谱分析
? ?
? ?
? ?
22
22
222
2
2
2
22
2 2 2
2 2 2
2
2
,,
m i n,
,
,m i n
1 1 2
,
1,2
0,2 1
xy
xy
xy
x y x y
y y y
xx x
xy
y x y
y
yx
yx
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?
?
?
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? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
LLLL
P
其 中 为 投 影 的 相 对 误 差 。
若 式 =0 。
若 式 = 。
89
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 2,中信号的相关函数与能谱
相关系数
只能描述两个没有时差（时间原点相同）的函
数之间的相关（似）性。
? ?2L,?? ??
22
,
xy
xy
xy
? ?
90
§ 4.8 相关函数与谱分析
? (1) 相关函数
– 定义（互相关函数）：对
定义
? ? ? ? ? ?2,L,x t y t? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?**--,d dxyR x t y t x t y t t x t y t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???@
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
**
-
*
-
*
**
-
1 ) d
2 ) d
d
xy
yx
xy
R t x t y t x y t
R y t x t t
y t x t t R
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??
??
??
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??
?
??
?
? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
????
?
?
?
注,
共 轭 对 称,
91
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（自相关函数）：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*-,dxxR x t x t x t x t t? ? ????? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
*
*
2*
--
1)
2)
3 ) 0 d d
xx
x x x x
xx
R t x t x t
RR
R x t x t t x t t
??
? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ???
注,
共 轭 偶 对 称,
能 量
92
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（能谱（密度））：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?j*dx x x x x xS R R e X X??? ? ? ? ? ??? ???? ? ??F
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1j
*
**
-
22
1 ) d
0 d d
dd
2),
,
x x x x x x
x x x x
xy
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R S f X X f
x t x t t X X f
x t y t
R
x t y t
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?
?
?
?
??
??
注,
能 量 不 变 性
欧 氏 范 数 不 变 性 /Parseval 定 理
相 关 函 数 反 映 的 是 动 态 的 相 关 性 两 个 函 数 的 时 间
原 点 不 同 。 相 关 函 数 也 可 以 规 一 化,
F
93
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（互谱密度）：
注：互谱密度没有可指称的物理意义。
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?**x y x yS R x t y t X Y? ? ? ?? ? ? ?@ FF
94
§ 4.8 相关函数与谱分析
? (2) 相关定理：对
有 。
? ? ? ? ? ?2,L,,x t y t? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?*xyR X Y? ? ??F
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
*
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*j
-
*
-
2
0 d,
ed
0 d,
,,
L,
xy
xy
xy
R x t y t t x t y t
R X Y f
R X Y f X Y
x t y t X Y
x t y t
??
? ? ?
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??
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? ? ?
??
? ? ? ? ?
?
?
?
注,
即 中 傅 里 叶 变 换 具 有 内 积 不 变 性 。 在
时,即 为 能 量 不 变 性 。
95
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 3,功率有限信号的相关函数与功率谱
– 周期信号等不是能量有限信号。设 ? ? ? ?
0,x t x t n T??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
0
*2
2
L,
2 2 2 2
d
T
T
TT
T T T T
x t x t u t u t T T
R x t x t t??
?
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
??
? ? ? ? ? ???
???
不 一 定 为
96
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 定义：对功率有限信号：
? 定义（功率谱（密度））：
? 功率：
? ? ? ? ? ? ? ?*2
2
11l i m l i m dT
Tx x TTTR R x t x t tTT? ? ?? ? ? ? ??? ?@
? ? ? ?? ? ? ? ? ?*2
2
1l i m dT
Tx x x x TS R x t x t tT? ? ??? ?
??
? ? ???
??
?FF
? ? ? ? ? ?*2
2
10 l i m dT
Txx TR x t x t tT?? ?? ?
97
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 4.线性定常系统的输入输出相关分析
x ( t ) y ( t )h ( t )? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
* * *
**
yy
h h x x
y y h h x x
y t h t x t
R t y t y t h t x t h t x t
h t h t x t x t
R t R t
S S S? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ? ? ???
?? ??
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
??
?
98
§ 4.9 匹配滤波器
? 1,问题的提法
– 滤波：在信号＋白噪声（噪声＋干扰）中分离
信号。
– 匹配滤波：以发现信号为目的。
– 维纳滤波：以克隆信号为目的。
– 需要解决的问题：在加性白噪声的背景下把信
号很好的分离
99
§ 4.9 匹配滤波器
? 2,白噪声,? ?
int
? ? ? ? ? ? ? ?*2
2
1l i m dT
T iiTR n t n t t NT? ? ? ??? ? ???@
? ? ? ?? ?iN R N???? 为 常 数F
τ
o
R ( τ )
ω
o
? ?iN ?
N
N
100
§ 4.9 匹配滤波器
? 3,匹配滤波器
– 定义,……
S i ( t ) Y ( t )= S o ( t )+ n o ( t )h ( t )
n i ( t )
? ? 0200
2
ttst?
?
??@ 信 号 的 瞬 时 功 率
噪 声 的 平 均 功 率
（ 时）
峰值信噪比
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
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00
2
2
0 0 0 0 0 0 0
1
l i m d,
|,
T
Tn
T
tt
R t n t n t t
T
s t s t s t s t t t
?
?? ?
?
??
??
? 输 出 噪 声 的 平 均 功 率
为 在 时 刻 的 瞬 时 功 率
0tt?
101
§ 4.9 匹配滤波器
– 定义（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，
使瞬时信噪比最大的线性滤波器谓之匹配滤波
器。
– 定理（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，
对匹配滤波的系统冲激响应：
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?
0
*
0
j*
00,,
i
t
i
ii
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H h t k S e
k t S s t
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??
??为 观 测 时 刻
F
F
102
§ 4.9 匹配滤波器
– (1)
– (2)
t
o
S i ( t )
t
o
2 3
1
T
h ( t )
k
0
tT ?
0
t
00
00
0,;
0,
t T t T
t T t T
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? ? ? ?
当 时 系 统 为 非 因 果 的
当 时 系 统 为 因 果 的 。
? ? 2m a x diS f N?? ??
??
? ? 1 2 3
输 入 信 号 功 率 谱
0
bE
n
b
1 4 4 2 4 4 3
输 入 信 号 功 率
]
输 入 白 噪 声 的 功 率 谱 密 度
注：
103
§ 4.9 匹配滤波器
– (3)
t
o
S i ( t )
t
o
E
T
h ( t )
B
0
tT ?
0
t
*
t
o
S o ( t )
EB
0
tT ?
0
t
0
tT ?
在观测时刻，读取卷积输出的峰值
104
§ 4.9 匹配滤波器
? 4,匹配滤波与相关接收等价
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
*
00
*
00 d i
i i i
i i s
s t s t h t s t k s t t
k s t s t t t k R t??
??
??
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乘
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i
kS t
?
延迟 t
? ? ? ? ? ?
ii
v t S t n t??
?
? ? ? ? ? ?
oo
y t S t n t??
105
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
?
?
? ? ? ?? ?ft f t f t??带 宽, 时 宽 的 定 义 不 唯 一,与,
的 特 点 和 应 用 场 景 有 关
F
ft C?? ?
106
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 1,按波形与谱结构定义
– (1)
– (2)
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Sac c c cf t t F u u? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
ω
o
c?
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c??
t
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1
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c
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c
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2 c??? ?
? ?2S a 8ctt ?? ? ? ???三 角 窗
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2
2
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107
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1
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F ?1
2 ?
?? ???
1
e
1
? t?
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 2,按信号特征参数定义
? ? ? ? ? ? 221tf t e u t F? ?
??
?? ? ?
?
1,2,2
tt??? ? ? ? ??? ? ?
? ?
? ? 02 0 l g 3 d B
F
F
??
?
?
?
?
?
??
108
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 3.等效矩形时宽与等效矩形带宽
– 若
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
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0,0 m a x,
0,0 m a x
d
0
d
1
0
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t
t
f f t
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F F F
f t t
f
Ff
F
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?
?
? ? ?
?
?
??
??
??
??
??
??
?
??
?
?
,则 定 义 等 效 矩 形 时 宽
定 义 等 效 矩 形 带 宽
,则
t
o
f ( t )
t
?
109
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
–
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
00
00
,,
m a x,m a x,
dd
,,
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f t f t F F
f t t F f
f t F
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?
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?? ??
??
?
??
@@
设 是 变 号 函 数 是 复 变 函 数
定 义
则 。
110
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 4,Heisenberg测不准原理
– 对
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
2
2
2
2
2
2
2
22
22
L,ft
ft
ft
F
F
f t F
?
?
?
? ? ?? ??
?
LLLL
LLLL
规 一 化 瞬 时 功 率
规 一 化 能 谱 密 度
111
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
2
2
2
2
2
22
22
22
2
2
2
22
2
2
2
d
1
d
2
1
d
1
d
2
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f
t f t t
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F
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??
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?
?
?
@ L L L L
@ L L L L
LLLL
LLLL
几 何 中 心
的 几 何 中 心
时 间 集 散
频 率 集 散
112
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
– 定理：对
? ? ? ? ? ?
? ?
22L,,l i m 0,
1
,,
2
t
ft
f t f t t
ft??
??
? ? ?? ?? ?
?则 且 等 号 成 立 时 为 高 斯 信 号 。
113
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 5,一个信号不可能既带限又时限
– 一个信号不可能在时域和频域同时具有紧支集
– 若
– 若
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,
1
2 Sa
2
f t f t f t u t u t
FF
? ? ?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?????
? ? ?
为 时 限,
非 带 限
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,
Sa
f t F F u u
f t f t t
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ?????
? ? ?
是 带 限,
非 时 限
114
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 定理（时宽带宽积的尺度不变性）：
– 注：
? ? ? ? 0f t f t????的 时 宽 带 宽 积 的 时 宽 带 宽 积 。
? ? ? ?
? ? ? ?
1
j
L,,
dt
ft
F f t e t??
?
?
??
? ? ? ? ?
? ?
如 果 在 几 乎 处 处 相 等 的 意
义 上,正 演 变 换 的 反 演 变
换 唯 一 。
结束
第四章 信号的谱表示
2
第四章 信号的谱表示
? § 4.1 上的傅里叶级数
? § 4.2 典型周期信号的谱
? § 4.3 上函数的傅里叶变换
? § 4.4 傅里叶变换的性质
? § 4.5 周期信号的傅里叶变换
? ?1 0L,tt?
? ?1L,?? ?
3
Chapter 4 信号的谱表示
? § 4.6 采样定理
? § 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? § 4.8 相关函数与谱分析
? § 4.9 匹配滤波器
? § 4.10 等效带宽、等效时宽,Heisenberg
测不准原理
4
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 1,
? 2,Dirichlet条件：
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
0
1
0
0
L,| d
,
t
t
t t f t f t t
tt
?
?
?
? ? ??
上 绝 对 可 积 函 数 全 体
? ? ? ?00,,f t t t t T? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
0
0
1
00
00
00
,,
,
,
tT
t
f t t f t t t T
f t t t T
f t t t T
?
? ? ? ?
?
?
?
在 上 具 有 有 限 个 极 大 值, 极 小 值
在 上 具 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点
- 1) d L
- 2)
- 3)
5
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 3.三角函数形式的傅里叶级数
– (1) 三角函数集
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
01
2
00
1
,c o s,s in,,c o s,s in,
2
,,,,
2
L,
,d
2
n
tT
i j i j ij
t
t t n t n t
t t t
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T
T
t t t t t
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?
?
? ? ? ? ?
?
??
??
??
??
?
?
LL
@ L L
@
是 上 完 备 正 交 集,
6
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (2)
的傅里叶级数为
其中
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ? ? ? ? ?120 0 0 0L,L,,f t t t T t t T f t? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?0 0 0
1
c os si n,,nn
n
f t a a n t b n t t t t T??
?
?
? ? ? ? ??
? ?
? ?
? ?
0
0
0
1
d
,cos
cos,cos
,s i n
s i n,s i n
tT
t
n
n
a f t t
T
f t n t
a
n t n t
f t n t
b
n t n t
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?
??
?
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?
?
7
? ? ? ?
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? ?
? ?
1
22
2
0 11
1 2 2 2 2
22
0
1
0
1
22
0 0 0
c os sin
c os
sin
tg,tg,,
nn
nn
n
n n n n
nn
n
nn
n
nn
n n n n n n
nn
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a b a b
c c n t
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a c d c d a b
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?
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?
??
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????
??
??
??
? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
@
@
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (3)
其中：
? ?1 0L,tt ? n?
n?
na
nb22nnab ?
8
§ 4.1 上的傅里叶级数
注：
– 1.
物理含义：第 n次谐波的幅度
– 2,为第 n次谐波的相位
– 3,为直流分量
– 4,离散幅度谱
? ?1 0L,tt ?
2,,,
n n n na b c d n T
??? ?是 的 函 数,
,nn???
0 0 0a c d??
o ?
0
a
1
a
2
a
3
a
2 ? 3 ??
9
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 4.指数形式的傅里叶级数
– (1)
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
0
0
j2
00
j
*
L,
2
,
0
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nt
n
nn
nt
n
tT
i j i j ij
t
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? ?
? ? ?? ? ?
?
?
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?
?
?
?
???
@ 是 上 完 备 正 交
集
10
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (2),有
其中
注：复频率的引入完全由完备性决定。
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ?1 00L,f t t t T? ? ?
? ?
? ?
? ?
0
0
j
j
-j
jj
,1
d
,
nt
n
n
nt
tT
nt
n n t n t
t
f t F e
e f t
F f t e t
Tee
?
?
?
??
?
? ? ?
?
?
??
?
?
11
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (3)
– (4)
? ?1 0L,tt ?
? ?
*
j j j
j
2 Re 2 c o s
n
nn
n t n t n t
n n n n n
nn
FF
F e F e F e F n t
F F e
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??? ? ? ???
?其 中
? ?
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j
2
n
n
n n n n
n
n
Fn
T
F F e F n
F n f t
n f t
?
?
??
??
?
??
?
?
:
:
一 般 为 的 复 变 函 数,是 离 散 的,间 隔 为 。
,和 均 为 的 函 数 。
,的 幅 度 谱 （ 线 谱 ）
,的 相 位 谱 （ 线 谱 ）
12
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (5)
利用
可导出：
? ?1 0L,tt ?
? ? ? ?0
1
c os si nnn
n
f t a a n t b n t??
?
?
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13
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 5.傅里叶级数使用范围
– (1) 可展成傅里叶级数
– (2)
将 f(t)以为周期 T向左、右做周期延拓得：
所以，在一个周期内绝对可积的周期信号可展成傅里叶级数。
周期信号：
主周期：
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14
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 6.函数的对称性与 F.S.的定性性质
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15
§ 4.1 上的傅里叶级数
– (1) f(t)为偶函数,f(t)= f(-t),f(t)的傅里叶级数
只含有直流和余弦分量。
– (2) f(t)为奇函数,f(t)= -f(-t),f(t)的傅里叶级数
只含有正弦分量。
– (3) f(t)为奇谐函数：, f(t)的傅
里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。
– (4) f(t)为偶谐函数：, f(t)的傅
里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。
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16
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 7,Parseval定理（内积不变性）
– 定理（ Parseval）：对
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17
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 8.能量定理
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18
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 9.均方收敛性（依范数收敛，强收敛）
– 定理（均方收敛）：对
其中
– 在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。
– 2N+1项 F.S.近似，欧式范数最小 方差最小 均方差
最小。
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为 误 差,
为 均 方 误 差 。
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19
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 10.可 F.S.展开的充分条件
– 定理（可 F.S.展开的充分条件）：
若
证明：
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20
§ 4.1 上的傅里叶级数
? 11,Gibbs现象
– 若用 F.S.逼近 f(t)，在第 1类间断点处不一致收
敛，且在间断点的很小邻域内有奇异现象出现，
9% 的最大峰起。
? ?1 0L,tt ?
o
f ( t )
t
第一类间断点
21
§ 4.2 典型周期信号的谱
? 周期矩形脉冲信号：
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§ 4.2 典型周期信号的谱
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，
23
§ 4.2 典型周期信号的谱
? (1) f(t)的频谱为可列的无穷多条线谱
? (2)谱线间隔为
? (3)线谱包络为
? (4) 0到第一零点之间的谱线的个数：
（ 表示对 取整 )
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T
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24
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 1.问题提出
考虑
则
谱线间隔：
此时信号有周期信号变为非周期信号，其频谱由
离散谱变为连续谱。
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25
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
其中,表示单位频率上的谱强度，
为 f(t) 的频谱密度函数（谱
密度）。
令：
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2
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2
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26
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 2.傅里叶变换
– 定义：对
傅里叶 (正 )变换：
傅里叶反变换：
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? ? ? ?1L,,ft? ? ? ? ? 则
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? ? ? ? ? ?j ()F F e f t????? 为 的 ( 频 ) 谱 ( 密 度 )
? ? ? ?( ) ( )F f t f t? ? ?为 的 幅 度 谱 ( 密 度 ),为 的 相 位 谱 ( 密 度 )
其中：
27
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 定义：
– 定理：
存在的充分条件：
? ?1L,?? ?
? ?? ? ? ?f t F ? ??存 在,F
? ?? ?ftF
? ? ? ? ? ?? ?1L,,f t f t? ? ? ? ?对 存 在 。F
28
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 映射
–
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29
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
–
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而 。
30
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
? 3.典型函数的谱
– (1)高斯函数
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31
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– 高斯函数：
– 高斯函数为正实函数
– 高斯函数的傅里叶变换仍是高斯的
– 高斯函数是速降函数
– 令
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32
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (2)矩形函数
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换? ?1L,?? ?
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34
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (3)三角脉冲函数
推广：矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数
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35
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (4)双边指数函数
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36
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (5)单边指数函数
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (5)单边指数函数
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (6)符号函数
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (6)符号函数（续）
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (7)冲击函数
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§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (8)直流
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t
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f ( t ) = δ ( t )
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42
§ 4.3 上函数的傅里叶变换
– (9)阶跃函数
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43
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 1.,F 是线性变换：
? 2.对称性：
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? ? ? ?? ?
11
NN
n n n n
nn
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??
?? ?
??
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??FF
? ?? ? ? ?2F t f????F
44
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 3,共轭,
注：
– (1)若 f(t)为实函数：
则
– (2)若 f(t)为纯虚函数，
仍然成立。
? ?? ? ? ?**f t F ???F
? ? ? ?*f t f t?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?j - j FFF e F e? ? ? ? ????
? ? ? ?
? ??? ? ?
? ? ?
模 偶 对 称
相 位 奇 对 称
? ? ? ? ? ? ? ?FF? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?和
45
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 4,相似性定理（ Similarity Theorem）（尺
度变换性质）：
– 特别地，
? ?? ? 1f t F ?? ?? ??? ??
??
F
? ?? ? ? ?1 f t F??? ? ? ? ?当 时,。F
46
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 5.时移：
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?延 迟
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c
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c
47
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 6.调制（频移）,? ?? ? ? ?
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F
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注：此时谱的形状没有发生变化，为线性调制。
48
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 7.时域微分：
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? ?? ? ? ? ? ?npj nf t F???推 广, F
dp
dt@
49
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 8.频域微分：
? ?? ? ? ? ? ? ? ?11 dpj dF F t f t?? ??? ??? ? ???
??
FF
? ?? ? ? ? ? ?1n pj nF t f t?? ??推 广, F
dp
d?@
50
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 9.时域卷积：
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? ?
? ?
1
1
ft
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零 状 态 响 应
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乘 法 运 算
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2
2
ft
F ?§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 10.频域卷积定理：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 2 1 212f t f t F F?????F
52
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 11.时域积分：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
-
11 d0
pj
t
f t f F F? ? ? ? ? ?
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FF
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00
0 | d t 0 0
11
pj
F
F F f t F
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特 别 的,当 时,即 信 号 没 有 直 流 分 量,
即 在 处 有 界,
有 F
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p
t ?
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53
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 12.矩定理：
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注, 1) -- -- 平 均 值 / 直 流
) -- -- 一 阶 矩 / 几 何 中 心
) -- -- 二 阶 矩
) -- -- 二 阶 中 心 矩, 方 差
54
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 13.矩展开式：设
则 ? ? ? ? ? ?
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LL
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55
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 例,t
o
f ( t )
t
o
h ( t )
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? ? ? ? ? ? ? ? 0
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d
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??
??
??
??
??
?
?
?B
零 阶 近 似,
可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。
56
§ 4.4 傅里叶变换的性质
? 例,已知
? ?? ? ? ?
? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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2
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则
注,
即 可 证 明 。
F
F
FF
F
FF
FF
57
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 周期信号
? f(t)～ 傅里叶级数 ～ 对傅里叶级数求变换
? ? ? ?
? ? ? ?
0
1
,,
L,
f t f t n T t
ft
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? 不 满 足 傅 里 叶 变 换 的 充 分 条 件 。
58
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 1.典型周期信号的傅里叶变换
– (1)
– (2)
? ? ? ?
? ? ? ?
1,,,
2
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是 周 期 为 零 的 周 期 信 号
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ω
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ω
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0?
59
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
– (3) ? ?
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11
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60
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
– (4) ? ?
? ? ? ? ? ?
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11
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2 j 2 j
j
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F
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0
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0
??
61
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 2,一般周期信号的傅里叶变换
– 定义（主周期）：对周期信号
定义主周期：
? ? ? ?0,f t f t n T??
? ? ? ? 000 22TTf t f t u t u t??? ? ? ?? ? ?? ? ? ???
? ? ? ???
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FF
62
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 3,? ?? ?
nF f t与 的 关 系,F
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
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0
-j
2
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d
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,
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63
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
? 4.理想采样序列的傅里叶变换
– 定义,为理想采样序列。
? ? ? ?Ts
n
t t nT??
?
? ? ?
???
t
o
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S
T
t?
S
T 2
S
T2
S
T?
S
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64
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
–
–
? ? ? ?
? ? ? ?
j - j2
2
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11
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P oisson
s
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s
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1
22
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??
1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 43
求 和 公 式
FF
F
65
§ 4.5 周期信号的傅里叶变换
ω
o
? ?? ??
S?2 S?2 S???
? ?S?
66
§ 4.6 采样定理
? 1,问题的提法 采样f ( t ) A / D
模拟
? ? ? ?Sp t p t n T??
? ?Sft
? ?Sf n T?
67
§ 4.6 采样定理
? 2,采后信号的谱结构
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
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2
1
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s
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s
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F f t F P
P F n P F n
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?
?
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?
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F
F
F
68
§ 4.6 采样定理
? 3.矩形脉冲采样
– (1)
t
o
f ( t )
ω
o
F
F ( ω )
- σ σ
69
ω
o
F
f( t)
t
o
E
T- T
2T2T? 2?? ?
SE ??
S?? S?§ 4.6 采样定理– (2)
f ( t )
F
t
o
T- T
2T2T? 2?? ?
ω
o
F ( ω ) S
E
T
?
S?? S?
70
§ 4.6 采样定理
? 4.理想采样
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
1
1
Ts
n
n
s
s T s
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p t t t n T
P
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F f t t F n
T
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? ? ? ?
?
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?
? ? ?
?
?F
71
§ 4.6 采样定理
? 5.零阶采样保持器
Rs
C Ri
+
-
f ( t )
隔
离
放
大
器
A / D
72
§ 4.6 采样定理
–
0,,T,
A/
siRR
D
?? ? ? 每 时 间 通 一 次,断 的 时 间 为
在 断 开 的 时 间 内 做 转 换 。
ω
o
? ?ft
ST2 STτ
73
§ 4.6 采样定理
– 上面的电路可用下面的模型表示：
相 乘
? ?ft ?
延 迟 τ
A / D
???? ?Sft ? ?uft ? ?dSf nT? ?
ST
t?
74
§ 4.6 采样定理
t
o
f ( t )
ω
o
F
F ( ω )
- σ σ
t
o
? ?
ST
t?
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
S?
F
2SS T?? ?
? ?S?
75
§ 4.6 采样定理
t
o
? ?S tf
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
S
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SS T?? ?
? ?SF ?
S
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t
o
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ST 2 ST2 ST? S?
τ
? ?
? ?
? ?
? ?
()
s
u
ds
ft
ft
ft
f nT
为 模 拟 信 号
为 采 样 信 号 ( 离 散 时 间 信 号 )
为 阶 梯 信 号 连 续 时 间 信 号
数 字 信 号
76
§ 4.6 采样定理
ω
o
S?
F
2SS T?? ?
? ?? ?dSf n TF
S??t
o
? ?u tf
ST 2 ST2 ST? S?
1
ST
77
§ 4.6 采样定理
? 6.时域采样定理
– 定理（ Nyquist时域采样定理）：
? ? ? ?
? ?
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? ? ? ? ? ?
,
2 ( 2 )
S a,
0,,2
T
s
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? ? ? ? ?
?
带 限 信 号 被 理 想 采 样 则 当 采 样 频 率
时,可 用 等 间 隔 采 样 值
唯 一 表 示,
式 中, 。
78
§ 4.6 采样定理
t
o
? ?S tf
ST 2 ST2 ST? S? ω
o
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???A
ω
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S?
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S??t
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ST 2 ST2 ST? S? ??? S?? ?
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A
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t
o
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B
h t Sa t
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?
?
B
fB ?
?
79
§ 4.6 采样定理
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
Sa
Sa
f
T s s f
n
f
s f s
n
B
f t f t t h t f nT t nT t
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11
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fs
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ff
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?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
??
注, 要 求 此 时 不 会 重 叠 可 以 恢 复 即 要 求
。 称 为 Nyquist 采 样 频 率,
称 为 Nyquist 采 样 间 隔 。
80
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 1,定理（ Riemann-Lebesgue Lemma）：
? ? ? ? ? ?1L,,l im 0f t F? ???? ? ? ? ? ?对 有 。
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
j1
-
j1
-j
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2) l i m l i m d 0,L,
l i m,0,L,( 1 )
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l i m 0
l i m si n 0
t
t
t
F
F f t e t f t
f t e f t
t
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?
?
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?
?
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LLLL
广 义
广 义
依 (1)
广 义
依 (1)
依 (1)
注, 渐 近
对常义的极限不等于零。
81
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 2.有界变差函数（ Bound Variation Function）
– 定义：设
–
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
01
1
1
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T,,
,,
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n
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f T f x f x
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?
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? ? ? ? ?
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L
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是 上 实 函 数 对 于 上 的 任 一
分 割 若
则 称 是 有 界 变 差 函 数 记 为 有 界 变 差 函 数 的 全 体 。
? ? ? ?? ? fxf x B V fx???? ?
??
有 界
可 写 成 两 个 单 调 增 有 界 函 数 之 差
82
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
–
– 有界变差函数未必绝对可积。
? ? ? ?
? ?
,
11
,,,s in
f x B V f x
ab
xx
?
?
则 或 者 无 界 或 者 急 剧 振 荡 。
例, 在 含 原 点 的
? ? 12 2 11,1xx x???:例, 在 时 不 可 积
83
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 3,Riemann定理：若 ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
1
L,,
1
,,,,O,
f t a b f x
a b BV a b F ?
?
?
?
??
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??
??
??
且 为
上 可 有 限 可 无 限 则
。
84
§ 4.7 傅里叶变换的渐近性质
? 4,定理：若
– 若
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? ?
? ?
? ?
1
,,
1
O
n
n
f t f t
F ?
?
?
??
? ? ?
??
??
L 存 在,且 有 界 变 差,
绝 对 可 积,则 。
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
1
O,,,,
,
n
n
n
F f t f t
ft
??
?
?
?
??
? ? ? ? ?
??
??
L则
连 续 有 界 。
85
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 1.相关（似）系数
–
,,0nR ? ? ?X Y X Y
o
o c?
o
,0?XY
//XY
2
2
,,
,
c
c
c
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?
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X Y X X
XX
X
1
,
T
n
ii
i
xy
?
?
? ?
XY
XY
86
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（相关（似）系数）：对
? ?2
22
,L,,
,
xy
x y a b
xy
xy
xy
?
??
?定 义 与 的 相 关 系 数,
22
* *
1 1 1 1
2 2 2 2
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2),0 0
3)
,,
1
,,,,
,1,;,1,
xy
xy
x y x y
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y c x x y
x c x c x x c
c
x x y y x x c x x
cc
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? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
Q
P
注,
为 正 实 数 正 相 关 为 负 实 数 负 相 关 。
87
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 正交投影误差与相关系数
? ? ? ?0 2x c x????正 交 投 影 误 差 或 使 最 小
o
Y
0CXXCX
??
0
00
2 * 2*
0 0 0 0 02
,
,0
,
,,,,,
y c x
xy
x y c x c
xx
y c x y c x y y c x y c x y c x x
?
?
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
88
§ 4.8 相关函数与谱分析
? ?
? ?
? ?
22
22
222
2
2
2
22
2 2 2
2 2 2
2
2
,,
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,
,m i n
1 1 2
,
1,2
0,2 1
xy
xy
xy
x y x y
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xx x
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y
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yx
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? ? ?
? ? ?
LLLL
P
其 中 为 投 影 的 相 对 误 差 。
若 式 =0 。
若 式 = 。
89
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 2,中信号的相关函数与能谱
相关系数
只能描述两个没有时差（时间原点相同）的函
数之间的相关（似）性。
? ?2L,?? ??
22
,
xy
xy
xy
? ?
90
§ 4.8 相关函数与谱分析
? (1) 相关函数
– 定义（互相关函数）：对
定义
? ? ? ? ? ?2,L,x t y t? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?**--,d dxyR x t y t x t y t t x t y t t? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ???@
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
**
-
*
-
*
**
-
1 ) d
2 ) d
d
xy
yx
xy
R t x t y t x y t
R y t x t t
y t x t t R
? ? ?
??
??
??
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??
?
??
?
? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
????
?
?
?
注,
共 轭 对 称,
91
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（自相关函数）：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?*-,dxxR x t x t x t x t t? ? ????? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
*
*
2*
--
1)
2)
3 ) 0 d d
xx
x x x x
xx
R t x t x t
RR
R x t x t t x t t
??
? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ???
注,
共 轭 偶 对 称,
能 量
92
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（能谱（密度））：
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?j*dx x x x x xS R R e X X??? ? ? ? ? ??? ???? ? ??F
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
1j
*
**
-
22
1 ) d
0 d d
dd
2),
,
x x x x x x
x x x x
xy
R S S e f
R S f X X f
x t x t t X X f
x t y t
R
x t y t
??
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??
?
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??
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? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
??
?
?
?
?
??
??
注,
能 量 不 变 性
欧 氏 范 数 不 变 性 /Parseval 定 理
相 关 函 数 反 映 的 是 动 态 的 相 关 性 两 个 函 数 的 时 间
原 点 不 同 。 相 关 函 数 也 可 以 规 一 化,
F
93
§ 4.8 相关函数与谱分析
– 定义（互谱密度）：
注：互谱密度没有可指称的物理意义。
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?**x y x yS R x t y t X Y? ? ? ?? ? ? ?@ FF
94
§ 4.8 相关函数与谱分析
? (2) 相关定理：对
有 。
? ? ? ? ? ?2,L,,x t y t? ? ? ? ? ?
? ?? ? ? ? ? ?*xyR X Y? ? ??F
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
*
-
*j
-
*
-
2
0 d,
ed
0 d,
,,
L,
xy
xy
xy
R x t y t t x t y t
R X Y f
R X Y f X Y
x t y t X Y
x t y t
??
? ? ?
? ? ? ?
??
??
?
??
?
??
?
??
?
? ? ?
??
? ? ? ? ?
?
?
?
注,
即 中 傅 里 叶 变 换 具 有 内 积 不 变 性 。 在
时,即 为 能 量 不 变 性 。
95
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 3,功率有限信号的相关函数与功率谱
– 周期信号等不是能量有限信号。设 ? ? ? ?
0,x t x t n T??
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
2
0
*2
2
L,
2 2 2 2
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T
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T T T T
x t x t u t u t T T
R x t x t t??
?
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ???
??
? ? ? ? ? ???
???
不 一 定 为
96
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 定义：对功率有限信号：
? 定义（功率谱（密度））：
? 功率：
? ? ? ? ? ? ? ?*2
2
11l i m l i m dT
Tx x TTTR R x t x t tTT? ? ?? ? ? ? ??? ?@
? ? ? ?? ? ? ? ? ?*2
2
1l i m dT
Tx x x x TS R x t x t tT? ? ??? ?
??
? ? ???
??
?FF
? ? ? ? ? ?*2
2
10 l i m dT
Txx TR x t x t tT?? ?? ?
97
§ 4.8 相关函数与谱分析
? 4.线性定常系统的输入输出相关分析
x ( t ) y ( t )h ( t )? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
* * *
**
yy
h h x x
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98
§ 4.9 匹配滤波器
? 1,问题的提法
– 滤波：在信号＋白噪声（噪声＋干扰）中分离
信号。
– 匹配滤波：以发现信号为目的。
– 维纳滤波：以克隆信号为目的。
– 需要解决的问题：在加性白噪声的背景下把信
号很好的分离
99
§ 4.9 匹配滤波器
? 2,白噪声,? ?
int
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2
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τ
o
R ( τ )
ω
o
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N
N
100
§ 4.9 匹配滤波器
? 3,匹配滤波器
– 定义,……
S i ( t ) Y ( t )= S o ( t )+ n o ( t )h ( t )
n i ( t )
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2
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噪 声 的 平 均 功 率
（ 时）
峰值信噪比
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0
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2
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? 输 出 噪 声 的 平 均 功 率
为 在 时 刻 的 瞬 时 功 率
0tt?
101
§ 4.9 匹配滤波器
– 定义（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，
使瞬时信噪比最大的线性滤波器谓之匹配滤波
器。
– 定理（匹配滤波器）：在加性白噪声背景下，
对匹配滤波的系统冲激响应：
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102
§ 4.9 匹配滤波器
– (1)
– (2)
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1
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当 时 系 统 为 非 因 果 的
当 时 系 统 为 因 果 的 。
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输 入 信 号 功 率 谱
0
bE
n
b
1 4 4 2 4 4 3
输 入 信 号 功 率
]
输 入 白 噪 声 的 功 率 谱 密 度
注：
103
§ 4.9 匹配滤波器
– (3)
t
o
S i ( t )
t
o
E
T
h ( t )
B
0
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0
t
*
t
o
S o ( t )
EB
0
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0
t
0
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在观测时刻，读取卷积输出的峰值
104
§ 4.9 匹配滤波器
? 4,匹配滤波与相关接收等价
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00
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105
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
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的 特 点 和 应 用 场 景 有 关
F
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106
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 1,按波形与谱结构定义
– (1)
– (2)
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107
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§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 2,按信号特征参数定义
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1,2,2
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108
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 3.等效矩形时宽与等效矩形带宽
– 若
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? ? ? ? ? ?
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0,0 m a x
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0
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1
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Ff
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,则 定 义 等 效 矩 形 时 宽
定 义 等 效 矩 形 带 宽
,则
t
o
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109
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
–
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00
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设 是 变 号 函 数 是 复 变 函 数
定 义
则 。
110
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 4,Heisenberg测不准原理
– 对
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2
2
2
2
2
2
2
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22
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ft
F
F
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LLLL
LLLL
规 一 化 瞬 时 功 率
规 一 化 能 谱 密 度
111
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
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? ?
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2
2
2
2
2
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22
22
2
2
2
22
2
2
2
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1
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1
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1
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@ L L L L
@ L L L L
LLLL
LLLL
几 何 中 心
的 几 何 中 心
时 间 集 散
频 率 集 散
112
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
– 定理：对
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22L,,l i m 0,
1
,,
2
t
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f t f t t
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? ? ?? ?? ?
?则 且 等 号 成 立 时 为 高 斯 信 号 。
113
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 5,一个信号不可能既带限又时限
– 一个信号不可能在时域和频域同时具有紧支集
– 若
– 若
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
,
1
2 Sa
2
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为 时 限,
非 带 限
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,
Sa
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?
?
?
? ? ? ?????
? ? ?
是 带 限,
非 时 限
114
§ 4.10 等效带宽、等效时宽、
Heisenberg测不准原理
? 定理（时宽带宽积的尺度不变性）：
– 注：
? ? ? ? 0f t f t????的 时 宽 带 宽 积 的 时 宽 带 宽 积 。
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? ? ? ?
1
j
L,,
dt
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F f t e t??
?
?
??
? ? ? ? ?
? ?
如 果 在 几 乎 处 处 相 等 的 意
义 上,正 演 变 换 的 反 演 变
换 唯 一 。
结束
