信号与系统
第五章 拉普拉斯变换
2
第五章 拉普拉斯变换
? § 5.1 定义、存在性
? § 5.2 性质
? § 5.3 拉普拉斯逆变换
? § 5.4 系统函数
? § 5.5 线性定常系统频率响应
? § 5.6 BIBO稳定性
? § 5.7 全通系统 /最小相移系统
3
§ 5.1 定义、存在性
? 信号 f (t)的傅里叶变换存在要求：
考虑是否可以将 纳入积分核？
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11
0
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对 因 果 信 号
4
§ 5.1 定义、存在性
? 定义信号 f (t)的（单边）拉普拉斯变换为
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@@
L
L
令 为 常 数,
5
§ 5.1 定义、存在性
? 定义（指数阶函数）：指 f (t)分段连续（存
在有限个第一类间断点），且
注：
?
? 命题：指数阶信号的拉式变换存在。
0,0,MT? ? ?
? ? 0,tf t M e t T?? ? ?使 对 。
? ? ? ?0O tf t e ??
? ? ? ?F s F s ??存 在, 。
6
§ 5.1 定义、存在性
? 为非指数阶信号。
? 为指数阶信号，其中 p(t)为多项式。
? 为收敛坐标，过 垂直于 轴的垂线为收
敛轴,收敛域（已知收敛域）。
23,,,0tte e t ?L
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σ
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j ω
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sj ????
7
§ 5.1 定义、存在性
? 例：
? 例：
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0
0
1,1,0,0,0
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收 敛
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L
8
§ 5.1 定义、存在性
? 例：
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LL
L
L
L
9
§ 5.1 定义、存在性
? 积分下限：当 f (t)在 t = 0处第一类间断，
– 注：,解微分方程
的初（边）值问题。
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10
§ 5.2 性质
? 1,代数性质
– 线性：
– 卷积：
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11
nn
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ii
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零状态响应
11
§ 5.2 性质
– 像卷积（ s域卷积）：
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1 2 1 2
+j
12
-j
1
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1
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12
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12
§ 5.2 性质
? 拓扑性质（微 /积分性质）：
– 微分：
– 1) 对因果信号
– 2)
– 3)
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LL
特别：
13
§ 5.2 性质
– 积分：
– 像微分（ s域微分）：
– 像积分：
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t 1
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? ? ? ?s1 df t F z zt ??? ????? ?L
14
§ 5.2 性质
? 其他性质：
– 平移（延时）：
– 像平移（调制）：
例：
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延时 t 0? ? ? ?f t u t ? ? ? ?00f t t u t t? ? ?
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L
LL
15
§ 5.2 性质
– 相似（尺度变换）：
– 初值定理：
– 注：
? ?? ? 1,0sf a t F aaa ????????L
? ?? ? ? ? ? ?? ?,f t F s f t?? 存 在, 则LL
? ? ? ? ? ?0l i m 0 l i mtsf t f s F s
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RN? ? ?处 的 所 有 点
j
0,
st
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16
§ 5.2 性质
– 终值定理：
– 注,(1)应用：
– 希望输出能够再现输入，即
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
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0
,
l i m l i mr
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f t F s p f t s F s
f t s F s? ?
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存 在, 在 除 原 点
外 的 （ 右 半 闭 平 面 ） 解 析, 则
LL
? h ( t ) = w ( t )
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c
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? ? ? ? ? ?
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1l i m l i m
1sse sE s s Ws??? ? ? ? 为 稳 态 误 差 / 系 统 误 差
17
§ 5.2 性质
– (2)
– (3)定理条件：
? ?0,j,0,0ss ? ? ? ?? ? ? ? ? 慢 变 信 号
? ? rs F s ? ?在 除 原 点 外 的 解 析
? ? 022
0
c oss u t ts ?? ??, 不 满 足 定 理 条 件
18
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 极点、零点：
–
–
? ? ? ?? ? ? ?? ?NsF s f t
Ds
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? ?
NDii
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F s p F p
p D s
? ? ?的 极 点, 当 与 互 素 时,
即 的 零 点 。
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? ?
0 N Dii
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F s z F z
z N s
??的 零 点, 当 与 互 素 时,
即 的 零 点 。
19
§ 5.3拉普拉斯逆变换
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F s f t已 知, 求
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@, 最 右 边 极 点
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S 平 面
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20
§ 5.3拉普拉斯逆变换
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i
21
§ 5.3拉普拉斯逆变换
– 注：
(1)
(2)充要条件：
(3)
(4)
(5)
,C R R ??, 左 半 平 面
? ? ? ?1 d 0 *2j stCR F s e s? ??
? ? ? ?? ? ? ?d e g d e gNsF s N DDs? ? ?,若, 则 式 成 立
? ?ste 全 纯 解 析 函 数
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1
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2j
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CR
Fs
F s e s
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当 不 是 有 理 函 数 时 需 考 察
22
§ 5.3拉普拉斯逆变换
(6)
(7)
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当 为 的 一 阶 极 点
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当 为 的 阶 极 点
23
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? (8)
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24
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 例：
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sF s f t
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解
25
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 部分分式展开：
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11
11
,de g de g
,
r
rn
rn
Ns
F s N D
Ds
Ns
Fs
s p s p s p
p r p p
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??
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L阶 阶
26
§ 5.3拉普拉斯逆变换
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1
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11
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??
L
27
§ 5.4 系统函数
? 1.问题的提法：
R s
R
v ( t )
R L
i i ( t ) i o ( t )
Y ( t )
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
,,,
,,,
io
io
v t i t i t y t
i t v t i t y t
输 入 求
输 入 求
28
§ 5.4 系统函数
输入 /输出x ( t ) y ( t )h ( t )
? ?
? ? ? ?? ?:
ht
H s h t?
为 系 统 的 冲 击 响 应
系 统 函 数 L
x ( t )
X ( s )
y ( t )
Y ( s )
h ( t )
H ( s )
cc c
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11
Y s H s X s
y t Y s H s X s??
?
?? 零 状 态 响 应LL
29
§ 5.4 系统函数
? 2,x(t) y(t)h (t)
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
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|,,
d
:,
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y t H p x t
H s h t
Y s H s X s
H s H p p s
t
y t H s x t
Y s H s x t
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??
?
?
?
形 式
收 敛 域
注 若 写 为 则 s 表 示 微 分 算 子
但 不 能 写 作
L
30
§ 5.4 系统函数
? 系统的多种输入输出描述：
冲击响应 ~系统算子 ~系统函数 ~微分方程描述
h(t) H(p) H(s)
零状态响应
零状态响应 非零状态响应
31
§ 5.4 系统函数
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? ?
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? ?
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? ? ? ? ? ?
? ?
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1
11
1
11
1
11
1
11
,,de g de g
i
r
rn
rn
ii
i
i i r i
rn
ptpti
ii
i i r
H s h t
Ns
H s N D N D
Ds
Ns
Hs
s p s p s p
CC
spsp
h t H s C t e C e u t
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??
??
??
L
的 零 极 点 与 的 特 征 波 形 函 数
与 互 素
L
32
§ 5.4 系统函数
? 注：
– (1)
– (2)
– (3)
1 1 1 11,,,,,,,nr ptp t p t p t p tre t e t e e e??LL 线 性 无 关 与 极 点
有 关,称 为 模 态,
? ?
? ?
*
1 0 2 1 0
1 2 0
,.
j,j
s in
i
at
H s p
p a p p a
p p e tu t
??
?
? ? ? ? ?
U:
是 s 的 实 系 数 有 理 函 数 中 可 能 存 在 共 轭 对
若
? ?1 1 1 1 1,,,,,r r nC C C C H s?LL 决 定 于 的 零 极 点 分 布
33
§ 5.4 系统函数
– (4) ? ?
1
1
,R e 0,0
,,,0
i
t
pt
i
i
ptm
H s p e
p
p t e t T
??
? ? ?
??
? ? ?
对 若
是 一 阶 极 点
是 重 极 点 模 态 当 时 单 调 渐 近 于
34
§ 5.4 系统函数
– (5)
Re 0,ip ?若 即 极 点 在 虚 轴 上
σ
j ω
S 平 面
j ω 0
- j ω 0
? ?
? ?
1 0
022
0
1
sin
1
tu t
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,0 ;
j,;
j,si n
il
i
i
p
p
p t tu t
?
?
??
??
?
?
模 态 渐 近 于
一 阶 模 态 等 幅
二 阶 模 态 线 性 增 幅
35
§ 5.4 系统函数
– (6)
虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的
R e 0,,i i rpp ? ???若 模 态 发 散
σ
j ω
o
渐 近 于 0
衰 减 越 来 越 慢
指 数 发 散
（ 指 数 ） 发 散 越 来 越 快
P
i
- P
2
- P
1
2Pte ? 1Pte ?
等 幅, 线 性 增 幅, 增 幅
36
§ 5.4 系统函数
? 4.
自由响应 强迫响应
? ? ? ? ? ?Y s H s V s? 零 极 分 布 与 响 应V ( s ) Y ( s )
H ( s )
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?R e s R e s
ij
s t s t
zs H s p V s p
ij
y t Y s e Y s e???? 极 点 极 点
37
§ 5.4 系统函数
?
? ?
? ?
? ?
? ?
,
0
l
r
Hs
Hs
Y s t
Ys
?
?
?
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?
?
?
零 输 入 响 应 自 由 响 应 与 极 点 有 关,
与 零 点 无 关
瞬 态 响 应 在 上 极 点 贡 献 渐 近 于,
稳 态 响 应 在 上 极 点 贡 献
快 变 响 应 远 离 虚 轴 极 点 贡 献
慢 变 响 应 虚 轴 附 近 极 点 贡 献
38
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 1.正弦稳态响应、特征函数：
T, H ( s )
? ? 0jtv t e ??
? ?
0
1Vs
sj ?
?
?
? ? ? ?
0
1Y s H s
sj ?
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g
? ?Yt
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
0j
R e s R e s
i
s t s t
zs p H s p
ii
y t Y s e Y s e?????? 极 点
? ? ~ B I B O 0Hs ?稳 定? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
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0
0
0
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j
0
j
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j
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jj
0
j
j | j
j
j
t
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H H s H e
y t H e
y t T e H e
?
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??
39
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 注,(1)
(2)
? ?0
j
0
,0,,
:
,j
n
t
AR
eH
?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
对 矩 阵 A,为 特 征 根
为 特 征 向 量
对 应 上 式 有
为 特 征 函 数 为 谱 特 征 根
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
00
0 0 0 0
00
0 0 0 0
c o s
j c o s
sin
j sin
s
s
v t A t
y t H A t
v t A t
y t H A t
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
40
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 2.频率响应：
–
? ? ? ? ? ?0,,jH?? ? ? ? ?当 跑 遍 时 即 系 统 的 频 率 响 应 谱
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
j
jj
,j,;
,;
B I B O,d
,j
l
H H e
H
h t t H s
H h t
??
??
?
??
?
?
??
?
??
?
? ? ?
?
?
其 中 为 系 统 的 幅 频 特 性 响 应 幅 度 谱
为 系 统 的 相 频 特 性 响 应 相 位 谱
系 统 稳 定 极 点
此 时 F
41
§ 5.5 线性定常系统频率响应
t d ?
???? ?
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1
Hs
s
h t u t
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j
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j
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H H s
H h t
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? ? ?而
两 者 不 相 等
F
42
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 3.确定频率特性的几何方法：
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1
1
B I B O,,j j j
m
j
j
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稳 定 在 平 面 沿 轴 从
43
§ 5.5 线性定常系统频率响应
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j
j
1 1 1 j
jj
11
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H
M
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注：与正实轴的夹角：逆时针为正，顺时针为负。
44
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 例：考虑如下的 ? ?HS
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i
j
j
j
- j j
- j 0
22
j0
22
k
k
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HK
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H H K
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45
§ 5.6 BIBO稳定性
? 1.系统稳定性：
– 零状态稳定性：
输入 ~输出,外部稳定性
BIBO稳定；
– 零输入稳定性：内部稳定性
李亚谱诺夫稳定性。
46
§ 5.6 BIBO稳定性
? 2,BIBO稳定性：
定义：零状态系统 T是 BIBO稳定的：对任一有界输入，其
输出均有界。
注,1）此定义是普适的（不要求系统是线性的）
2）系统在零状态 BIBO稳定；系统在非零状态未必
BIBO稳定。
v ( t ) Y ( t )T
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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L,,T L,
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tt
v t a b y t v t a b
v t v t y t y t
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????
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? ? ? ? ? ?
即 对 恒 有
即
47
§ 5.6 BIBO稳定性
? 例：
零状态 BIBO稳定
负电容指数增长放电（数学上）
非零状态非 BIBO稳定。
1 Ω
v ( t )
Y ( t )
1 Ω
1 Ω
1 Ω
- 1 F
+ V c ( t ) -
1CF??
48
§ 5.6 BIBO稳定性
? 定理：零状态线性系统 BIBO稳定
? 定理：线性定常 BIBO稳定
? ?,d,h t t??????? ? ? ??
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1
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,d e g d e g
,1 ) d e g d e g,,;
2 ) L,
3)
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H s h t p
Ns
H s N D
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N D B I B O
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的 极 点
且
注 若 则 必 非 稳 定 微 分 算 子
稳 定 信 号
临 界 稳 定 不 是 BIBO 稳 定
L
49
§ 5.6 BIBO稳定性
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
12
2
L,,L,
L,
h t v t
y t h t v t
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
定 理, 若
则 v ( t ) Y ( t )
H ( s )
BIB O 稳定
? ?2,L? ?? ?? ? ?2,L? ?? ??
50
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 1.全通系统：
? ?
? ?
? ? ? ?
:
1
2j
Hs
BIBO
HK ?
?
? ? ?
定 义 为 全 通 函 数
系 统 稳 定
51
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
– 注,(1)
σ
j ω
S 平 面
j ω
P i Z i
o
? ?
? ?
*
j
,,i l i r i i
HK
p z z p
?
????
? ? ? ?
? ? ? ?
零 点 与 极 点 关 于 虚 轴 镜 像 对 称
极 点 零 点
52
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
– (2) ? ?
? ? ?全 通 系 统 的 是 的 单 调 减 函 数
? ? ?? ? ? ? ?
零点
iz
3
2
?
? 2
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极点
ip
2
?
?
? 2
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2?
?
0
? ?HS
有 n 个 零点 / 极点 2 n ?
?
0
53
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 2.最小相移系统,? ? ? ?
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:
1)
2)
,
il
il
il
Hs
H s p
H s z
z
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?
?
?
??
?
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定 义 为 最 小 相 移 系 统 函 数
的 任 意 极 点
的 任 意 零 点
若 任 意 极 点 则 为 严 格 最 小 相 移 系 统
对 幅 度 相 同 的 系 统,最 小 相 移 系 统 相 移 最 小
54
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 定理：任意 BIBO稳定的线性定常系统都可由一个
全通系统与一个最小相移系统级联构成。
?
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:
d
dp
??
?
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定 理 在 所 有 幅 频 特 性 相 同 的 系 统 中 最 小 相 移 系 统
的 群 延 迟 最 小 ? ?
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@群 延 时 反 映 邻 域 附 近 整 体 的 延 迟 变 化
相 位 延 时 为
处 的 相 位 延 迟
结束
第五章 拉普拉斯变换
2
第五章 拉普拉斯变换
? § 5.1 定义、存在性
? § 5.2 性质
? § 5.3 拉普拉斯逆变换
? § 5.4 系统函数
? § 5.5 线性定常系统频率响应
? § 5.6 BIBO稳定性
? § 5.7 全通系统 /最小相移系统
3
§ 5.1 定义、存在性
? 信号 f (t)的傅里叶变换存在要求：
考虑是否可以将 纳入积分核？
?
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11
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F
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对 因 果 信 号
4
§ 5.1 定义、存在性
? 定义信号 f (t)的（单边）拉普拉斯变换为
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@@
L
L
令 为 常 数,
5
§ 5.1 定义、存在性
? 定义（指数阶函数）：指 f (t)分段连续（存
在有限个第一类间断点），且
注：
?
? 命题：指数阶信号的拉式变换存在。
0,0,MT? ? ?
? ? 0,tf t M e t T?? ? ?使 对 。
? ? ? ?0O tf t e ??
? ? ? ?F s F s ??存 在, 。
6
§ 5.1 定义、存在性
? 为非指数阶信号。
? 为指数阶信号，其中 p(t)为多项式。
? 为收敛坐标，过 垂直于 轴的垂线为收
敛轴,收敛域（已知收敛域）。
23,,,0tte e t ?L
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sj ????
7
§ 5.1 定义、存在性
? 例：
? 例：
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0
0
1,1,0,0,0
1
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收 敛
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8
§ 5.1 定义、存在性
? 例：
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LL
L
L
L
9
§ 5.1 定义、存在性
? 积分下限：当 f (t)在 t = 0处第一类间断，
– 注：,解微分方程
的初（边）值问题。
? ? ? ?? ? ? ?
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0
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0
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F s f t f t e t
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? ? ? ? ? ? ? ?00| ~,| ~ttf t t f t t????? ?? ?
10
§ 5.2 性质
? 1,代数性质
– 线性：
– 卷积：
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11
nn
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2
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H h t F S?
?
??L
c
零状态响应
11
§ 5.2 性质
– 像卷积（ s域卷积）：
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1 2 1 2
+j
12
-j
1
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1
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12
f t f t?
12
§ 5.2 性质
? 拓扑性质（微 /积分性质）：
– 微分：
– 1) 对因果信号
– 2)
– 3)
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?d 00d f t s f t f sF s ft ???? ? ? ? ?????LL
? ? ? ?? ? ? ? d0 0,,df p f t s F s p t? ?? @L
? ? ? ?~ ~ jp s p f t s F s? ?
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p f t pf t s sF s f f
s F s sf f
f f f p f t s F s
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? ? ?
??? ? ? ?????
?? ? ?
?? ? ? ?L
LL
特别：
13
§ 5.2 性质
– 积分：
– 像微分（ s域微分）：
– 像积分：
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? ? ? ? ? ?
t 1
-
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1 1 1
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LL
? ?? ? ? ? ? ?dd,t f t F s p F s pss? ? ?@L
? ? ? ?s1 df t F z zt ??? ????? ?L
14
§ 5.2 性质
? 其他性质：
– 平移（延时）：
– 像平移（调制）：
例：
? ? ? ?? ? ? ?? ?000 stf t t u t t e f t?? ? ?LL
延时 t 0? ? ? ?f t u t ? ? ? ?00f t t u t t? ? ?
? ?? ? ? ?tf t e F s? ???L
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j - j
0
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s
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????
????
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????
??
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? ? ???
L
LL
15
§ 5.2 性质
– 相似（尺度变换）：
– 初值定理：
– 注：
? ?? ? 1,0sf a t F aaa ????????L
? ?? ? ? ? ? ?? ?,f t F s f t?? 存 在, 则LL
? ? ? ? ? ?0l i m 0 l i mtsf t f s F s
? ?? ? ?
??
RN? ? ?处 的 所 有 点
j
0,
st
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es
??
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
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??
? ? ?
16
§ 5.2 性质
– 终值定理：
– 注,(1)应用：
– 希望输出能够再现输入，即
? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
0
,
l i m l i mr
ts
f t F s p f t s F s
f t s F s? ?
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?
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存 在, 在 除 原 点
外 的 （ 右 半 闭 平 面 ） 解 析, 则
LL
? h ( t ) = w ( t )
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VS
c
+
-
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c
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YS
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? ? ? ? ? ?l i m 0 0t y t v t e?? ? ? ? ? ?????
? ? ? ? ? ?
00
1l i m l i m
1sse sE s s Ws??? ? ? ? 为 稳 态 误 差 / 系 统 误 差
17
§ 5.2 性质
– (2)
– (3)定理条件：
? ?0,j,0,0ss ? ? ? ?? ? ? ? ? 慢 变 信 号
? ? rs F s ? ?在 除 原 点 外 的 解 析
? ? 022
0
c oss u t ts ?? ??, 不 满 足 定 理 条 件
18
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 极点、零点：
–
–
? ? ? ?? ? ? ?? ?NsF s f t
Ds
??L
? ? ? ?
? ?
NDii
i
F s p F p
p D s
? ? ?的 极 点, 当 与 互 素 时,
即 的 零 点 。
? ? ? ?
? ?
0 N Dii
i
F s z F z
z N s
??的 零 点, 当 与 互 素 时,
即 的 零 点 。
19
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? ? ? ? ?
F s f t已 知, 求
? ? ? ?? ?
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@, 最 右 边 极 点
L
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S 平 面
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20
§ 5.3拉普拉斯逆变换
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j
j
j
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21
§ 5.3拉普拉斯逆变换
– 注：
(1)
(2)充要条件：
(3)
(4)
(5)
,C R R ??, 左 半 平 面
? ? ? ?1 d 0 *2j stCR F s e s? ??
? ? ? ?? ? ? ?d e g d e gNsF s N DDs? ? ?,若, 则 式 成 立
? ?ste 全 纯 解 析 函 数
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1
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2j
st
CR
Fs
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当 不 是 有 理 函 数 时 需 考 察
22
§ 5.3拉普拉斯逆变换
(6)
(7)
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当 为 的 一 阶 极 点
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当 为 的 阶 极 点
23
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? (8)
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24
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 例：
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解
25
§ 5.3拉普拉斯逆变换
? 部分分式展开：
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11
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Ns
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L阶 阶
26
§ 5.3拉普拉斯逆变换
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27
§ 5.4 系统函数
? 1.问题的提法：
R s
R
v ( t )
R L
i i ( t ) i o ( t )
Y ( t )
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
,,,
,,,
io
io
v t i t i t y t
i t v t i t y t
输 入 求
输 入 求
28
§ 5.4 系统函数
输入 /输出x ( t ) y ( t )h ( t )
? ?
? ? ? ?? ?:
ht
H s h t?
为 系 统 的 冲 击 响 应
系 统 函 数 L
x ( t )
X ( s )
y ( t )
Y ( s )
h ( t )
H ( s )
cc c
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?11
Y s H s X s
y t Y s H s X s??
?
?? 零 状 态 响 应LL
29
§ 5.4 系统函数
? 2,x(t) y(t)h (t)
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
d
|,,
d
:,
sp
y t H p x t
H s h t
Y s H s X s
H s H p p s
t
y t H s x t
Y s H s x t
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?
?
??
?
?
?
形 式
收 敛 域
注 若 写 为 则 s 表 示 微 分 算 子
但 不 能 写 作
L
30
§ 5.4 系统函数
? 系统的多种输入输出描述：
冲击响应 ~系统算子 ~系统函数 ~微分方程描述
h(t) H(p) H(s)
零状态响应
零状态响应 非零状态响应
31
§ 5.4 系统函数
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?? ? ? ?
1
11
1
11
1
11
1
11
,,de g de g
i
r
rn
rn
ii
i
i i r i
rn
ptpti
ii
i i r
H s h t
Ns
H s N D N D
Ds
Ns
Hs
s p s p s p
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h t H s C t e C e u t
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??
L
的 零 极 点 与 的 特 征 波 形 函 数
与 互 素
L
32
§ 5.4 系统函数
? 注：
– (1)
– (2)
– (3)
1 1 1 11,,,,,,,nr ptp t p t p t p tre t e t e e e??LL 线 性 无 关 与 极 点
有 关,称 为 模 态,
? ?
? ?
*
1 0 2 1 0
1 2 0
,.
j,j
s in
i
at
H s p
p a p p a
p p e tu t
??
?
? ? ? ? ?
U:
是 s 的 实 系 数 有 理 函 数 中 可 能 存 在 共 轭 对
若
? ?1 1 1 1 1,,,,,r r nC C C C H s?LL 决 定 于 的 零 极 点 分 布
33
§ 5.4 系统函数
– (4) ? ?
1
1
,R e 0,0
,,,0
i
t
pt
i
i
ptm
H s p e
p
p t e t T
??
? ? ?
??
? ? ?
对 若
是 一 阶 极 点
是 重 极 点 模 态 当 时 单 调 渐 近 于
34
§ 5.4 系统函数
– (5)
Re 0,ip ?若 即 极 点 在 虚 轴 上
σ
j ω
S 平 面
j ω 0
- j ω 0
? ?
? ?
1 0
022
0
1
sin
1
tu t
s
ut
s
?
?
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???
???
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L
L
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,0 ;
j,;
j,si n
il
i
i
p
p
p t tu t
?
?
??
??
?
?
模 态 渐 近 于
一 阶 模 态 等 幅
二 阶 模 态 线 性 增 幅
35
§ 5.4 系统函数
– (6)
虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的
R e 0,,i i rpp ? ???若 模 态 发 散
σ
j ω
o
渐 近 于 0
衰 减 越 来 越 慢
指 数 发 散
（ 指 数 ） 发 散 越 来 越 快
P
i
- P
2
- P
1
2Pte ? 1Pte ?
等 幅, 线 性 增 幅, 增 幅
36
§ 5.4 系统函数
? 4.
自由响应 强迫响应
? ? ? ? ? ?Y s H s V s? 零 极 分 布 与 响 应V ( s ) Y ( s )
H ( s )
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?R e s R e s
ij
s t s t
zs H s p V s p
ij
y t Y s e Y s e???? 极 点 极 点
37
§ 5.4 系统函数
?
? ?
? ?
? ?
? ?
,
0
l
r
Hs
Hs
Y s t
Ys
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
零 输 入 响 应 自 由 响 应 与 极 点 有 关,
与 零 点 无 关
瞬 态 响 应 在 上 极 点 贡 献 渐 近 于,
稳 态 响 应 在 上 极 点 贡 献
快 变 响 应 远 离 虚 轴 极 点 贡 献
慢 变 响 应 虚 轴 附 近 极 点 贡 献
38
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 1.正弦稳态响应、特征函数：
T, H ( s )
? ? 0jtv t e ??
? ?
0
1Vs
sj ?
?
?
? ? ? ?
0
1Y s H s
sj ?
?
?
g
? ?Yt
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
0j
R e s R e s
i
s t s t
zs p H s p
ii
y t Y s e Y s e?????? 极 点
? ? ~ B I B O 0Hs ?稳 定? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
0
0
0
00
00
j
0
j
0 j 0
j
0
jj
0
j
j | j
j
j
t
s
s
t
s
tt
s
y t H e
H H s H e
y t H e
y t T e H e
?
??
?
? ? ?
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?
??
?
?
?
???
??
?
??
?
??
39
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 注,(1)
(2)
? ?0
j
0
,0,,
:
,j
n
t
AR
eH
?
? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
对 矩 阵 A,为 特 征 根
为 特 征 向 量
对 应 上 式 有
为 特 征 函 数 为 谱 特 征 根
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
00
0 0 0 0
00
0 0 0 0
c o s
j c o s
sin
j sin
s
s
v t A t
y t H A t
v t A t
y t H A t
??
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ?
??
? ? ?
??
? ? ?
40
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 2.频率响应：
–
? ? ? ? ? ?0,,jH?? ? ? ? ?当 跑 遍 时 即 系 统 的 频 率 响 应 谱
? ? ? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ?
j
jj
,j,;
,;
B I B O,d
,j
l
H H e
H
h t t H s
H h t
??
??
?
??
?
?
??
?
??
?
? ? ?
?
?
其 中 为 系 统 的 幅 频 特 性 响 应 幅 度 谱
为 系 统 的 相 频 特 性 响 应 相 位 谱
系 统 稳 定 极 点
此 时 F
41
§ 5.5 线性定常系统频率响应
t d ?
???? ?
? ? ? ?
1
Hs
s
h t u t
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
j
1
j|
j
1
j
j
s
H H s
H h t
?
?
?
? ? ? ?
?
?
??
? ? ?而
两 者 不 相 等
F
42
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 3.确定频率特性的几何方法：
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
1
1
B I B O,,j j j
m
j
j
n
i
i
K s z
Ns
Hs
Ds
sp
s s H ?
?
?
?
??
?
? ? ? ? ? ?
?
?
稳 定 在 平 面 沿 轴 从
43
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
1
ii
1
j
j
1 1 1 j
jj
11
1
j
jj
j
m
k
kk
n
i
m m m
j k k
j j j
nn
n
ii
iii
i
K z K N e K N e
H H e
p M e
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σ
j ω
S 平 面
j ω
P i
Z k
M i
N k
θ
i
ψ
k
o
? ?
? ?
1
1
i
11
j
m
k
j
n
i
i
mn
k
ki
KN
H
M
?
? ? ? ?
?
?
??
?
??
?
?
??
注：与正实轴的夹角：逆时针为正，顺时针为负。
44
§ 5.5 线性定常系统频率响应
? 例：考虑如下的 ? ?HS
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
i
j
j
j
- j j
- j 0
22
j0
22
k
k
i
Ne
HK
Me
H H K
?
?
?
??
?
??
?
?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
??
??
? ? ? ?
45
§ 5.6 BIBO稳定性
? 1.系统稳定性：
– 零状态稳定性：
输入 ~输出,外部稳定性
BIBO稳定；
– 零输入稳定性：内部稳定性
李亚谱诺夫稳定性。
46
§ 5.6 BIBO稳定性
? 2,BIBO稳定性：
定义：零状态系统 T是 BIBO稳定的：对任一有界输入，其
输出均有界。
注,1）此定义是普适的（不要求系统是线性的）
2）系统在零状态 BIBO稳定；系统在非零状态未必
BIBO稳定。
v ( t ) Y ( t )T
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
L,,T L,
,s u p,s u p
tt
v t a b y t v t a b
v t v t y t y t
??
????
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
即 对 恒 有
即
47
§ 5.6 BIBO稳定性
? 例：
零状态 BIBO稳定
负电容指数增长放电（数学上）
非零状态非 BIBO稳定。
1 Ω
v ( t )
Y ( t )
1 Ω
1 Ω
1 Ω
- 1 F
+ V c ( t ) -
1CF??
48
§ 5.6 BIBO稳定性
? 定理：零状态线性系统 BIBO稳定
? 定理：线性定常 BIBO稳定
? ?,d,h t t??????? ? ? ??
? ?
? ? ? ?? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ? ? ?
1
d
,d e g d e g
,1 ) d e g d e g,,;
2 ) L,
3)
il
h t t
H s h t p
Ns
H s N D
Ds
N D B I B O
f t f t
?
??
??
?
? ? ?
? ? ? ?
??
?
? ? ? ? ? ?
?
的 极 点
且
注 若 则 必 非 稳 定 微 分 算 子
稳 定 信 号
临 界 稳 定 不 是 BIBO 稳 定
L
49
§ 5.6 BIBO稳定性
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
12
2
L,,L,
L,
h t v t
y t h t v t
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
定 理, 若
则 v ( t ) Y ( t )
H ( s )
BIB O 稳定
? ?2,L? ?? ?? ? ?2,L? ?? ??
50
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 1.全通系统：
? ?
? ?
? ? ? ?
:
1
2j
Hs
BIBO
HK ?
?
? ? ?
定 义 为 全 通 函 数
系 统 稳 定
51
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
– 注,(1)
σ
j ω
S 平 面
j ω
P i Z i
o
? ?
? ?
*
j
,,i l i r i i
HK
p z z p
?
????
? ? ? ?
? ? ? ?
零 点 与 极 点 关 于 虚 轴 镜 像 对 称
极 点 零 点
52
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
– (2) ? ?
? ? ?全 通 系 统 的 是 的 单 调 减 函 数
? ? ?? ? ? ? ?
零点
iz
3
2
?
? 2
?
极点
ip
2
?
?
? 2
?
? ???
2?
?
0
? ?HS
有 n 个 零点 / 极点 2 n ?
?
0
53
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 2.最小相移系统,? ? ? ?
? ?
? ?
:
1)
2)
,
il
il
il
Hs
H s p
H s z
z
?
?
?
?
?
?
??
?
?
定 义 为 最 小 相 移 系 统 函 数
的 任 意 极 点
的 任 意 零 点
若 任 意 极 点 则 为 严 格 最 小 相 移 系 统
对 幅 度 相 同 的 系 统,最 小 相 移 系 统 相 移 最 小
54
§ 5.7 全通系统 /最小相移系统
? 定理：任意 BIBO稳定的线性定常系统都可由一个
全通系统与一个最小相移系统级联构成。
?
? ?
:
d
dp
??
?
?
?@
定 理 在 所 有 幅 频 特 性 相 同 的 系 统 中 最 小 相 移 系 统
的 群 延 迟 最 小 ? ?
? ?
? ?
1
1
1 0 0 0 1
1
d
:
d
|
,|,,
p
t t t
??
??
??
?
?
??
? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ?
@群 延 时 反 映 邻 域 附 近 整 体 的 延 迟 变 化
相 位 延 时 为
处 的 相 位 延 迟
结束
